Cours : Algèbre bilinéaire et géométrie euclidienne

📌 1. Definitions & Cadre d’etude

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie. La geometrie euclidienne repose sur l’introduction d’un produit scalaire, permettant de definir les notions d’orthogonalite, de norme et de distance.

Forme bilineaire : Une application $f : E \times E \to \mathbb{R}$ est dite bilineaire si elle est lineaire par rapport a chacune de ses variables.
Forme bilineaire symetrique : $f$ est symetrique si pour tout $(x, y) \in E^2$ , $f(x, y) = f(y, x)$ .
Forme bilineaire symetrique positive : Pour tout $x \in E$ , $f(x, x) \ge 0$ .
Produit scalaire : C’est une forme bilineaire symetrique, positive et definie, c’est-a-dire : $\forall x \in E, \quad (f(x, x) = 0 \implies x = 0_{E})$ Un espace vectoriel muni d’un tel produit scalaire (note $\langle \cdot, \cdot \rangle$ ) est un espace euclidien.
Norme euclidienne associee : Pour tout $x \in E$ , $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .
Inegalite de Cauchy-Schwarz : $\forall (x, y) \in E^2, \quad |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$ avec egalite si et seulement si $x$ et $y$ sont colineaires.
Orthogonalite : Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont orthogonaus (note $x \perp y$ ) si $\langle x, y \rangle = 0$ . Le theoreme de Pythagore s’applique alors : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .
Adjoint d’un endomorphisme : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . Il existe un unique endomorphisme, note $u^* \in \mathcal{L}(E)$ , appele adjoint de $u$ , tel que : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$
Endomorphismes symetriques (ou auto-adjoints) : Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est dit symetrique si $u = u^*$ , soit : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$

📐 2. Theoremes fondamentaux & Demonstrations cles

Theoreme 1 : Reduction des endomorphismes symetriques (Theoreme spectral)

Tout endomorphisme symetrique $u \in \mathcal{L}(E)$ est diagonalisable dans une base orthonormee (BON) de $E$ .

Demonstration (par recurrence sur la dimension $n = \dim(E)$ ) :

Initialisation ( $n = 1$ ) : Tout endomorphisme d’un espace de dimension 1 est homothetique, donc represente par une matrice $1 \times 1$ dans n’importe quelle BON, le resultat est immediat.

Heredite : Supposons le resultat vrai pour tout espace euclidien de dimension $n-1$ . Soit $E$ de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ symetrique. Considerons la fonction $f : x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ definie sur la sphere unite $S = \{x \in E \mid \|x\| = 1\}$ . Puisque $S$ est compacte et $f$ continue, $f$ atteint son maximum en un vecteur $e_1 \in S$ . Par le calcul differential (multiplicateurs de Lagrange), $e_1$ est vecteur propre associe a une valeur propre reelle $\lambda_1$ . Posons $F = \text{Vect}(e_1)^\perp$ . Comme $u$ est symetrique, $F$ est stable par $u$ : $\forall x \in F, \quad \langle u(x), e_1 \rangle = \langle x, u(e_1) \rangle = \langle x, \lambda_1 e_1 \rangle = \lambda_1 \langle x, e_1 \rangle = 0$ Donc $u(x) \in F$ . L’endomorphisme induit $u_F : F \to F$ est symetrique et $\dim(F) = n-1$ . Par hypothese de recurrence, il existe une BON $(e_2, \dots, e_n)$ de $F$ formee de vecteurs propres de $u_F$ . Finalement, $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est une BON de $E$ formee de vecteurs propres de $u$ . $\blacksquare$

Theoreme 2 : Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Toute base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ peut etre transformee en une base orthonormee $(u_1, \dots, u_n)$ par l’algebre lineaire, telle que pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , $\text{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \text{Vect}(u_1, \dots, u_k)$ .

💡 3. Methodes de calcul & Algorithmes

Reduction d’une matrice symetrique reelle : Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telle que $A = A^\top$ .
- Determiner le polynome caracteristique $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$ .
- Trouver les valeurs propres reelles (elles le sont toutes d’apres le theoreme spectral).
- Determiner les sous-espaces propres associes $E_\lambda = \ker(\lambda I_n - A)$ .
- Appliquer l’algorithme de Gram-Schmidt dans chaque $E_\lambda$ si $\dim(E_\lambda) \ge 2$ pour obtenir des BON de chaque sous-espace propre.
- Par orthogonalite des sous-espaces propres d’un endomorphisme symetrique, la reunion de ces BON forme une BON de $E$ . La matrice de passage $P$ est alors orthogonale ( $P^{-1} = P^\top$ ).
Reconnaissance et reduction d’une forme quadra-tique : Soit $q : E \to \mathbb{R}$ une forme quadratique associee a une matrice symetrique $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .
- Methode de Gauss : Decomposer $q$ en une somme de carres lineairement independants pour obtenir la signature $(p, q)$ de $q$ .
- Methode de reduction orthogonale : Diagonaliser la matrice $A$ dans une BON pour obtenir $q(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i X_i^2$ dans de nouvelles coordonnees.

⚠️ 4. Pieges classiques aux Concours

Attention aux endomorphismes non symetriques : Un endomorphisme quelconque peut tres bien n’avoir aucune valeur propre reelle (ex: rotation d’angle $\pi/2$ dans le plan). N’appliquez jamais le theoreme spectral a un endomorphisme qui n’est pas auto-adjoint !
Confusion entre matrice orthodiagonalisable et matrice orthogonale :
- Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ est orthogonale si $A^\top A = I_n$ .
- Une matrice est orthodiagonalisable si elle est symetrique ( $A = A^\top$ ). Ne dites pas qu’une matrice orthogonale est symetrique.
Oubli de la normalisation dans Gram-Schmidt : L’etape de orthogonalisation donne des vecteurs orthogonaux $v_k$ , mais il ne faut pas oublier l’etape de normalisation ( $u_k = \frac{v_k}{\|v_k\|}$ ) si l’on souhaite une base orthonormee.
Positivite stricte vs positivite large : Une matrice symetrique dont les valeurs propres sont toutes $\ge 0$ est positive. Si elles sont toutes $> 0$ , elle est definie positive. Veillez a bien verifier la stricte positivite lors de l’etude de produits scalaires ou de normes.