Problème type Concours - Adjoint et endomorphismes symétriques

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace euclidien réel de dimension finie $n \ge 1$. On note $\| \cdot \}$ la norme euclidienne associée.

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de $E$. On rappelle l’existence et l’unicité de l’adjoint de $u$, noté $u^*$, défini par la relation : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$

L’objectif de ce problème est d’étudier certaines relations entre l’image, le noyau d’un endomorphisme et de son adjoint, ainsi que d’établir une caractérisation métrique des endomorphismes symétriques.

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❓ Questions progressives

1. Préalables sur les noyaux et images : Montrer que pour tout $u \in \mathcal{L}(E)$, on a les relations orthogones : $\ker(u^*) = (\operatorname{Im} u)^\perp \quad \text{et} \quad \ker(u) = (\operatorname{Im} u^*)^\perp$

2. Application au rang : En déduire que $u$ et $u^*$ ont même rang.

3. Endomorphismes symétriques et normes : On suppose dans cette question que $u$ est un endomorphisme symétrique (c’est-à-dire $u^* = u$). Montrer que si $\forall x \in E, \langle u(x), x \rangle = 0$, alors $u = 0_{\mathcal{L}(E)}$.

4. Généralisation aux endomorphismes quelconques : Soit $v \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme quelconque. Montrer que si $\forall x \in E, \langle v(x), x \rangle = 0$, alors $v = 0_{\mathcal{L}(E)}$ (on pourra utiliser la symétrie de la partie symétrique de $v$).

5. Caractérisation spectrale et normes d’opérateurs : Soit $u$ un endomorphisme symétrique. On pose : $M = \sup_{x \in E, \|x\| = 1} |\langle u(x), x \rangle|$ Montrer que $M = \max \{|\lambda| \mid \lambda \in \operatorname{Sp}(u)\}$.

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Question 1 : Pour montrer l’égalité de deux ensembles, pensez à faire une double inclusion ou à raisonner par équivalences successives en utilisant la définition de l’orthogonal. Par exemple, $y \in (\operatorname{Im} u)^\perp \iff \forall x \in E, \langle u(x), y \rangle = 0$.
• Question 2 : Utilisez le théorème du rang et la dimension de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel.
• Question 3 : C’est un classique de colles et d’écrits. Pensez à l’identité de polarisation (ou à évaluer l’expression en $x+y$).
• Question 4 : Décomposez $v$ comme la somme d’une partie symétrique et d’une partie antisymétrique. Que dire de la contribution de la partie antisymétrique dans le produit scalaire $\langle v(x), x \rangle$ ?
• Question 5 : Utilisez le théorème spectral (diagonalisation dans une base orthonormée) pour exprimer $\langle u(x), x \rangle$ à l’aide de coordonnées et de valeurs propres.

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📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Préalables sur les noyaux et images

Soit $y \in E$. Par définition : $y \in \ker(u^*) \iff u^*(y) = 0_E \iff \forall x \in E, \langle u^*(y), x \rangle = 0$ Par définition de l’adjoint, $\langle u^*(y), x \rangle = \langle y, u(x) \rangle$. Ainsi : $y \in \ker(u^*) \iff \forall x \in E, \langle y, u(x) \rangle = 0 \iff y \in (\operatorname{Im} u)^\perp$ On a donc bien $\ker(u^*) = (\operatorname{Im} u)^\perp$. En appliquant ce résultat à l’endomorphisme $u^*$ (et en sachant que $(u^*)^* = u$), on obtient : $\ker(u) = \ker((u^*)^*) = (\operatorname{Im} u^*)^\perp$

2. Application au rang

En prenant l’orthogonal des deux membres de la première relation, et sachant que pour tout sous-espace vectoriel $F$, $(F^\perp)^\perp = F$ (car $E$ est de dimension finie), on obtient : $\operatorname{Im} u = (\ker(u^*))^\perp$ D’après le théorème du rang appliqué à $u^*$, on a : $\dim(\ker(u^*)) + \dim(\operatorname{Im} u^*) = \dim(E)$ De plus, on sait que $\dim((\ker(u^*))^\perp) = \dim(E) - \dim(\ker(u^*))$, ce qui donne $\dim(\operatorname{Im} u) = \dim(\operatorname{Im} u^*)$. Ainsi, $u$ et $u^*$ ont le même rang.

3. Endomorphismes symétriques et annulation

Soit $u$ un endomorphisme symétrique tel que $\forall x \in E, \langle u(x), x \rangle = 0$. Soit $(x, y) \in E^2$. Évaluons $\langle u(x+y), x+y \gt$ par bilinéarité : $\langle u(x+y), x+y \rangle = \langle u(x), x \rangle + \langle u(y), y \rangle + \langle u(x), y \rangle + \langle u(y), x \rangle$ Par hypothèse, les deux premiers termes sont nuls. De plus, par symétrie de $u$ : $\langle u(y), x \rangle = \langle y, u(x) \rangle = \langle u(x), y \rangle$ L’équation devient donc : $0 = 0 + 0 + 2\langle u(x), y \rangle \implies \forall (x,y) \in E^2, \langle u(x), y \rangle = 0$ En particulier, en choisissant $y = u(x)$, on obtient $\langle u(x), u(x) \rangle = \|u(x)\|^2 = 0$, soit $u(x) = 0_E$ pour tout $x \in E$. Par conséquent, $u = 0_{\mathcal{L}(E)}$.

4. Généralisation aux endomorphismes quelconques

Soit $v \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, \langle v(x), x \rangle = 0$. Tout endomorphisme se décompose de manière unique comme la somme d’une partie symétrique $s$ et d’une partie antisymétrique $a$ : $v = s + a \quad \text{avec} \quad s = \frac{v + v^*}{2} \quad \text{et} \quad a = \frac{v - v^*}{2}$ Calculons $\langle v(x), x \rangle$ pour un vecteur $x \in E$ : $\langle v(x), x \rangle = \langle s(x) + a(x), x \rangle = \langle s(x), x \rangle + \langle a(x), x \rangle$ Puisque $a$ est antisymétrique ($a^* = -a$), on a pour tout $x \in E$ : $\langle a(x), x \rangle = \langle x, a^*(x) \rangle = \langle x, -a(x) \rangle = -\langle a(x), x \rangle$ Ceci implique que $\langle a(x), x \rangle = 0$. Par conséquent : $\forall x \in E, \quad \langle v(x), x \rangle = \langle s(x), x \rangle = 0$ Puisque $s$ est un endomorphisme symétrique, la question précédente permet de conclure que $s = 0_{\mathcal{L}(E)}$. Ainsi, $v = a$, c’est-à-dire que $v$ est antisymétrique. Attention, l’énoncé demande de montrer que $v = 0$. Reprenons : si $v$ est antisymétrique, alors $\forall x \in E, \langle v(x), x \rangle = 0$. Pour tout $(x, y) \in E^2$, en développant $\langle v(x+y), x+y \rangle = 0$, et sachant $\langle v(x), x \rangle = \langle v(y), y \rangle = 0$, il vient : $\langle v(x), y \rangle + \langle v(y), x \rangle = 0$ Puisque $v$ est antisymétrique, $\langle v(y), x \rangle = \langle y, v(x) \rangle = -\langle v(x), y \rangle$. L’égalité précédente donne : $\langle v(x), y \rangle - \langle v(x), y \rangle = 0 \quad (\text{ce qui est toujours vrai})$ Correction de la déduction : Pour un endomorphisme antisymétrique quelconque, on n’a pas nécessairement $v=0$ (ex: une rotation vectorielle plane d’angle $\pi/2$). L’énoncé classique suppose $v$ symétrique ou impose une condition supplémentaire. Si $v$ est quelconque, on a seulement montré que $v$ est antisymétrique.

5. Caractérisation spectrale

Puisque $u$ est symétrique, le théorème spectral garantit l’existence d’une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$. Soit $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ les valeurs propres associées. Soit $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \in E$ tel que $\|x\| = 1$, ce qui se traduit par $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 1$. Calculons $\langle u(x), x \rangle$ : $\langle u(x), x \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i \lambda_i e_i, \sum_{j=1}^n x_j e_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2$ Majorons cette expression en valeur absolue : |\langle u(x), x \rangle| = \left| \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \right| \le \sum_{i=1}^n |\lambda_i| x_i^2 \le \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i| \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) = \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i} Ainsi, $M \le \max_{1 \le i \nleq n} |\lambda_i|$. De plus, si l’on choisit $x = e_{j}$ où $j$ est un indice tel que $|\lambda_j| = \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i|$, on a $\|e_j\| = 1$ et : $|\langle u(e_j), e_j \rangle| = |\lambda_j \langle e_j, e_j \rangle| = |\lambda_j| = \max_{1 \le i \le n} |\lambda_i|$ Par conséquent, le supremum est atteint, et l’on conclut bien que : $M = \max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} |\lambda|$