Exercice 2 : Formules de Taylor

Concours Blanc - Correction détaillée : Formules de Taylor et Développements Limités

Filière : MP2I
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Suites, dérivées et développements limités
Thème : Formules de Taylor avec reste intégral et applications aux suites récurrentes et aux équations différentielles.

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Introduction de l’examinateur

Ce problème aborde l’utilisation des formules de Taylor, en particulier la formule de Taylor avec reste intégral et l’inégalité de Taylor-Lagrange, qui sont des outils fondamentaux en classe de MP2I. L’objectif est d’évaluer la rigueur dans la manipulation des bornes d’intégration, l’estimation d’erreurs, ainsi que la capacité à lier analyse locale (développements limités) et analyse globale (comportement de suites).

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Énoncé du Problème

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle $I$ contenant $0$.

Partie I : Formule de Taylor avec reste intégral

On rappelle que pour tout $x \in I$, la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre $n$ s’écrit : $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt$

1. Démontrer cette formule par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$.
2. En déduire l’inégalité de Taylor-Lagrange : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[0, x]$ (avec $x > 0$) et qu’il existe une constante $M_{n+1} \ge 0$ telle que pour tout $t \in [0, x]$, $|f^{(n+1)}(t)| \le M_{n+1}$, alors : $\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k \right| \le M_{n+1} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

Partie II : Étude d’une fonction et développement asymptotique

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ par $f(x) = \ln(\cos(x))$.

1. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur son intervalle de définition et calculer ses premières dérivées en $0$.
2. Déterminer le développement limité de $f$ à l’ordre $4$ en $0$.
3. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = \sin(u_n)$. Déterminer un équivalent de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$.

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Corrigé Rédigé Pas à Pas

Partie I : Formule de Taylor avec reste intégral

Question 1 : Démonstration par récurrence

• Initialisation ($n = 0$) : Pour $n = 0$, la formule s’écrit : $f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) \, dt$ C’est une application directe du théorème fondamental de l’analyse (puisque $f$ est $\mathcal{C}^1$). L’initialisation est vraie.

• Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que la formule soit vraie au rang $n$, c’est-à-dire : $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt$ Intégrons par parties le terme de reste $R_n(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt$. Posons :

  • $u(t) = f^{(n+1)}(t) \implies u'(t) = f^{(n+2)}(t)$
  • $v'(t) = \frac{(x-t)^n}{n!} \implies v(t) = -\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$

  Les fonctions $u$ et $v'$ sont continues (car $f$ est $\mathcal{C}^{n+2}$). L’intégration par parties donne : $R_n(x) = \left[ -\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(t) \right]_0^x - \int_0^x \left( -\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} \right) f^{(n+2)}(t) \, dt$ En évaluant aux bornes :

  • En $t = x$, le terme s’annule (car $x-x = 0$).
  • En $t = 0$, on obtient : $-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(0)$. Avec le signe $-$, cela fait $\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} x^{n+1}$.

  On a donc : $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} x^{n+1} + \int_0^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+2)}(t) \, dt$ En réinjectant dans l’hypothèse de récurrence : $f(x) = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \int_0^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+2)}(t) \, dt$ La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

• Conclusion : Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. $\blacksquare$

Question 2 : Inégalité de Taylor-Lagrange

À partir de la formule précédente, pour $x > 0$ : $f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt$ En passant à la valeur absolue : $\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k \right| \le \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} \left| f^{(n+1)}(t) \right| \, dt$ Puisque pour tout $t \in [0, x]$, on a $\left| f^{(n+1)}(t) \right| \le M_{n+1}$ et que $(x-t)^n \ge 0$ sur $[0, x]$ : $\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k \text{ \text{---} } \right| \le \frac{M_{n+1}}{n!} \int_0^x (x-t)^n \, dt$ Calculons l’intégrale : $\int_0^x (x-t)^n \, dt = \left[ -\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1} \right]_0^x = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ Finalement : $\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k \right| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} x^{n+1} \quad \blacksquare$

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Partie II : Étude d’une fonction et développement asymptotique

Question 1 : Régularité et dérivées de $f$

La fonction $x \mapsto \cos(x)$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ et à valeurs dans $\left[0, 1\right[$. La fonction $u \mapsto \ln(u)$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\left[0, 1\right[$ (en tant que restriction). Par composition, $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.

Calculons les dérivées successives :

• $f(x) = \ln(\cos(x)) \implies f(0) = 0$
• $f'(x) = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x) \implies f'(0) = 0$
• $f''(x) = -(1 + \tan^2(x)) \implies f''(0) = -1$
• $f^{(3)}(x) = -2\tan(x)(1+\tan^2(x)) \implies f^{(3)}(0) = 0$
• $f^{(4)}(x) = -2(1+\tan^2(x))^2 - 4\tan^2(x)(1+\tan^2(x)) \implies f^{(4)}(0) = -2$

Question 2 : Développement limité à l’ordre 4

Par la formule de Taylor-Young (ou en utilisant les DL usuels de $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$) : $f(x) = \ln\left(1 - \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right) + o(x^4)\right)$ En utilisant le DL de $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$ avec $u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ : $f(x) = \left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^4)$ $f(x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^4}{8} + o(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} + o(x^4)$

Question 3 : Étude de la suite $(u_n)$

1. Comportement de la suite : Puisque $u_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ et que pour tout $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, $0 < \sin(x) < x$, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante et minorée par $0$. Elle converge donc vers une limite $\ell \ge 0$. Par continuité de $\sin$, $\ell = \sin(\ell)$, d’où $\ell = 0$.
2. Équivalent de $u_n$ : Étudions la suite des inverses $\frac{1}{u_n^2}$. $\frac{1}{u_{n+1}^2} = \frac{1}{\sin^2(u_n)}$ Utilisons le DL de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ : $\sin^2(u_n) = \left(u_n - \frac{u_n^3}{6} + o(u_n^3)\right)^2 = u_n^2 - \frac{u_n^4}{3} + o(u_n^4)$ Ainsi : $\frac{1}{u_{n+1}^2} = \frac{1}{u_n^2 \left(1 - \frac{u_n^2}{3} + o(u_n^2)\right)} = \frac{1}{u_n^2} \left(1 + \frac{u_n^2}{3} + o(u_n^2)\right) = \frac{1}{u_n^2} + \frac{1}{3} + o(1)$ On reconnait une suite arithmético-géométrique sur $v_n = \frac{1}{u_n^2}$ : $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{3} + o(1)$ Par sommation de Cesaro ou télescopage, $v_n \sim \frac{n}{3}$. Par conséquent : $\frac{1}{u_n^2} \sim \frac{n}{3} \implies u_n^2 \sim \frac{3}{n} \implies u_n \underset{n\to+\infty}{\sim} \sqrt{\frac{3}{n}}$

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Analyse Critique des Résultats par l’Examinateur

• Points de vigilance : L’utilisation de l’intégration par parties dans la question I.1 exige de bien justifier la classe de régularité ($\mathcal{C}^{n+2}$) pour éviter toute rupture d’hypothèse.
• Piège classique : Dans la partie II.3, l’oubli du terme d’ordre 4 dans l’élévation au carré de $\sin(u_n)$ conduit à une erreur de reste qui fausse l’estimation de $\frac{1}{u_{n+1}^2} - \frac{1}{u_n^2}$.
• Conclusion pédagogique : Ce problème illustre la puissance des développements limités combinés aux relations de récurrence non linéaires, un grand classique des concours MP2I.