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CPGE Futur

Exercice 2 : Extremums locaux et multiplicateurs de Lagrange

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Étude de cas”

Dans le cadre de la conception d’un réacteur chimique cylindrique étanche, les ingénieurs cherchent à optimiser les dimensions du réacteur pour minimiser les pertes thermiques tout en garantissant un volume réactionnel utile imposé.

La modélisation thermique montre que les pertes de chaleur surfaciques à travers les parois (cylindriques et les deux disques formant les bases) dépendent du rayon RR et de la hauteur HH du cylindre. Soit S(R,H)S(R, H) la surface totale externe du réacteur, modélisée par : S(R,H)=2πR2+2πRHS(R, H) = 2\pi R^2 + 2\pi R H Le volume utile du réacteur est fixé à une valeur constante V0>0V_0 > 0, ce qui impose la contrainte géométrique : V(R,H)=πR2H=V0V(R, H) = \pi R^2 H = V_0

Néanmoins, les contraintes industrielles et mécaniques imposent des limites opérationnelles strictes :

  1. Pour des raisons d’intégrité structurelle face aux pressions internes, le rayon et la hauteur doivent appartenir à l’ouvert U=]0,+∞[2U = ]0, +\infty[^2.
  2. Le modèle mathématique néglige l’épaisseur des parois et les effets de bord aux jonctions. Les ingénieurs doivent s’interroger sur la validité de ce modèle si RR ou HH devient trop petit ou trop grand devant l’épaisseur standard des matériaux (ϵ≈5 mm\epsilon \approx 5\,\text{mm}).

Le problème se propose de déterminer les dimensions optimales (R,H)(R, H) minimisant la surface SS sous la contrainte de volume, puis d’analyser la pertinence physique du modèle obtenu.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”
  1. Étude préliminaire et topologie : Justifier que la fonction S:U→RS : U \to \mathbb{R} est de classe C∞\mathcal{C}^\infty sur U=]0,+∞[2U = ]0, +\infty[^2. L’ensemble des contraintes C={(R,H)∈U∣πR2H=V0}\mathcal{C} = \{(R, H) \in U \mid \pi R^2 H = V_0\} est-il un fermé de UU ? Est-il compact ?
  2. Recherche d’extremum sans contrainte (hypothétique) : Déterminer les points critiques de SS sur UU. Ont-ils un sens par rapport au problème d’optimisation sous contrainte ?
  3. Application du théorème des multiplicateurs de Lagrange : a. Établir l’existence d’un lien entre les gradients de SS et de VV aux points réalisant un extremum lié sur C\mathcal{C}. b. Résoudre le système d’équations ainsi obtenu et montrer qu’il existe un unique point critique lié (R0,H0)(R_0, H_0).
  4. Nature de l’extremum : En étudiant la restriction de SS à la contrainte ou en utilisant la hessienne bordée, démontrer que le point (R0,H0)(R_0, H_0) réalise un minimum global de SS sur C\mathcal{C}. Exprimer R0R_0 et H0H_0 en fonction de V0V_0.
  5. Analyse critique et ingénierie : a. Application numérique : Pour un volume utile V0=1 m3V_0 = 1\,\text{m}^3, calculer les valeurs approchées de R0R_0 et H0H_0 (en mètres). b. Discussion critique : Le cahier des charges impose que l’épaisseur des parois soit négligeable devant RR et HH. Si l’on choisit un matériau d’épaisseur δ=2 cm\delta = 2\,\text{cm}, évaluer l’erreur relative commise sur le volume et la surface si l’on applique directement le modèle idéal. Le modèle est-il valide aux extrêmes de la plage de fabrication (par exemple si V0=10−3 m3V_0 = 10^{-3}\,\text{m}^3) ?

💡 Pistes & Indications

Section titled “💡 Pistes & Indications”
  • Question 1 : Pensez à utiliser l’image réciproque d’un singleton par une application continue pour la fermeture de C\mathcal{C}. Un ensemble non borné ne peut pas être compact dans R2\mathbb{R}^2.
  • Question 3 : Vérifiez que la différentielle de la fonction de contrainte VV ne s’annule en aucun point de C\mathcal{C} (qualification de la contrainte). Introduisez le lagrangien L(R,H,λ)=S(R,H)+λ(V(R,H)−V0)\mathcal{L}(R, H, \lambda) = S(R, H) + \lambda (V(R, H) - V_0).
  • Question 4 : Exprimez HH en fonction de RR grâce à la contrainte pour ramener l’étude à une fonction d’une seule variable réelle s(R)=S(R,V0πR2)s(R) = S(R, \frac{V_0}{\pi R^2}).
  • Question 5 : Pour l’analyse critique, pensez à quantifier les approximations géométriques (Vreˊel≈π(R+δ)2(H+2δ)V_{\text{réel}} \approx \pi (R+\delta)^2 (H+2\delta)).

📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

Section titled “📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats”

1. Étude préliminaire et topologie

Section titled “1. Étude préliminaire et topologie”

La fonction S(R,H)=2πR2+2πRHS(R, H) = 2\pi R^2 + 2\pi R H est une fonction polynomiale en RR et HH, elle est donc de classe C∞\mathcal{C}^\infty sur U=]0,+∞[2U = ]0, +\infty[^2. L’ensemble des contraintes est défini par C=f−1({V0})\mathcal{C} = f^{-1}(\{V_0\}) où f:U→Rf : U \to \mathbb{R} définie par f(R,H)=πR2Hf(R, H) = \pi R^2 H est continue (car C∞\mathcal{C}^\infty). Comme {V0}\{V_0\} est un fermé de R\mathbb{R}, par continuité de ff, C\mathcal{C} est un fermé de UU (et donc de R2\mathbb{R}^2). Cependant, C\mathcal{C} n’est pas borné : si l’on choisit Rn=nR_n = n pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, alors Hn=V0πn2H_n = \frac{V_0}{\pi n^2} conduit à des points (Rn,Hn)∈C(R_n, H_n) \in \mathcal{C} dont la norme tend vers +∞+\infty. Par conséquent, C\mathcal{C} n’est pas compact (le théorème des bornes atteintes de Weierstrass ne s’applique pas directement globalement sans précaution).

2. Recherche d’extremum sans contrainte

Section titled “2. Recherche d’extremum sans contrainte”

Les dérivées partielles premières de SS sur UU sont : ∂S∂R=4πR+2πH,∂S∂H=2πR\frac{\partial S}{\partial R} = 4\pi R + 2\pi H, \quad \frac{\partial S}{\partial H} = 2\pi R Le système ∇S(R,H)=(0,0)\nabla S(R, H) = (0, 0) donne 2R+H=02R + H = 0 et R=0R = 0, ce qui n’a pas de solution dans U=]0,+∞[2U = ]0, +\infty[^2. La fonction SS n’admet aucun point critique sur UU.

3. Multiplicateurs de Lagrange

Section titled “3. Multiplicateurs de Lagrange”

Soit f(R,H)=πR2H−V0f(R, H) = \pi R^2 H - V_0. La contrainte est définie par f(R,H)=0f(R, H) = 0. Calculons le gradient de ff : ∇f(R,H)=(2πRH,πR2)\nabla f(R, H) = (2\pi R H, \pi R^2) Pour tout (R,H)∈U(R, H) \in U, comme R>0R > 0 et H>0H > 0, on a ∇f(R,H)≠(0,0)\nabla f(R, H) \neq (0, 0). La contrainte est donc régulière (qualifiée). D’après le théorème des multiplicateurs de Lagrange, s’il existe un extremum lié en (R0,H0)(R_0, H_0), il existe un réel λ\lambda tel que : ∇S(R0,H0)+λ∇f(R0,H0)=0\nabla S(R_0, H_0) + \lambda \nabla f(R_0, H_0) = \mathbf{0} Soit le système :

4\pi R_0 + 2\pi H_0 + \lambda (2\pi R_0 H_0) = 0 \\ 2\pi R_0 + \lambda (\pi R_0^2) = 0 \\ \pi R_0^2 H_0 = V_0 \end{cases}$$ De la deuxième équation, comme $\pi R_0 \neq 0$, on tire : $$2 + \lambda R_0 = 0 \implies \lambda = -\frac{2}{R_0}$$ En injectant $\lambda$ dans la première équation : $$4\pi R_0 + 2\pi H_0 - \frac{2}{R_0}(2\pi R_0 H_0) = 0 \implies 4\pi R_0 + 2\pi H_0 - 4\pi H_0 = 0 \implies 4\pi R_0 - 2\pi H_0 = 0$$ On en déduit la relation fondamentale : $$H_0 = 2R_0$$ En reportant dans la contrainte de volume : $$\pi R_0^2 (2R_0) = V_0 \implies 2\pi R_0^3 = V_0 \implies R_0 = \left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}$$ Et par conséquent : $$H_0 = 2\left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3} = \left(\frac{4V_0}{\pi}\right)^{1/3}$$ Il existe un unique point critique lié $(R_0, H_0)$. #### 4. Nature de l'extremum Exprimons la surface en fonction de la seule variable $R$ sur $\mathcal{C}$ en posant $H = \frac{V_0}{\pi R^2}$ : $$s(R) = 2\pi R^2 + 2\pi R \left(\frac{V_0}{\pi R^2}\right) = 2\pi R^2 + \frac{2V_0}{R}$$ Étudions $s$ sur $]0, +\infty[$ : $$s'(R) = 4\pi R - \frac{2V_0}{R^2} = \frac{4\pi R^3 - 2V_0}{R^2}$$ Le signe de $s'(R)$ est celui de $2\pi R^3 - V_0$. - Pour $R \in ]0, R_0[$, $s'(R) < 0$ (la fonction est strictement décroissante). - Pour $R \in ]R_0, +\infty[$, $s'(R) > 0$ (la fonction est strictement croissante). De plus, $\lim_{R \to 0^+} s(R) = +\infty$ et $\lim_{R \to +\infty} s(R) = +\infty$. Par conséquent, le point $R_0 = \left(\frac{V_0}{2\pi}\right)^{1/3}$ réalise un **minimum global** de $s$ sur $]0, +\infty[$. Le réacteur minimise ses pertes thermiques surfaciques lorsque sa hauteur est exactement égale à son diamètre ($H_0 = 2R_0$). #### 5. Analyse critique et ingénierie - **a. Application numérique :** Pour $V_0 = 1\,\text{m}^3$ : $$R_0 = \left(\frac{1}{2\pi}\right)^{1/3} \approx 0{,}542\,\text{m} \quad (\text{soit } 54{,}2\,\text{cm})$$ $$H_0 = 2R_0 \approx 1{,}084\,\text{m}$$ - **b. Discussion critique des limites du modèle :** * *Effet de l'épaisseur :* Si l'on considère une épaisseur de paroi $\delta = 0{,}02\,\text{m}$ ($2\,\text{cm}$), les dimensions intérieures sont $R_0$ et $H_0$, mais les dimensions extérieures réelles (qui dictent les échanges thermiques) sont $R_{\text{ext}} = R_0 + \delta$ et $H_{\text{ext}} = H_0 + 2\delta$. L'erreur relative sur les dimensions est de l'ordre de $\frac{\delta}{R_0} \approx \frac{0{,}02}{0{,}542} \approx 3{,}7\%$, ce qui reste acceptable pour un avant-projet, mais modifie légèrement l'optimalité théorique stricte. * *Limites du modèle aux extrêmes :* Si $V_0 = 10^{-3}\,\text{m}^3$ ($1\,\text{L}$), alors $R_0 \approx 0{,}054\,\text{m}$ ($5{,}4\,\text{cm}$). Avec une épaisseur de matériau $\delta = 5\,\text{mm}$, l'épaisseur représente près de $10\%$ du rayon. **L'hypothèse d'une surface mince s'effondre** : les effets de bord géométriques (rayons de raccourcissement, volume des fonds bombés réels) ne sont plus négligeables et le modèle mathématique idéalisé conduit à une erreur d'optimisation majeure. Le modèle mathématique diverge de la réalité physique.