Exercice : Filtrage linéaire et diagrammes de Bode

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On considère le circuit électrique alimenté par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. $e(t) = E_0 \cos(\omega t)$. Le montage est composé de deux cellules élémentaires couplées.

Le circuit est constitué de :

• Une résistance $R$ et une capacité $C$ montées en parallèle, formant une impédance équivalente $Z_1$.
• Une inductance $L$ et une résistance de perte $r$ montées en série, formant une impédance équivalente $Z_2$.
• L’ensemble est disposé en un pont diviseur de tension : la tension d’entrée est $e(t)$ aux bornes de l’association en série de $Z_1$ et $Z_2$, et la tension de sortie $s(t)$ est prélevée aux bornes de l’impédance $Z_2$.

Pour simplifier l’étude analytique, on pose les grandeurs caractéristiques suivantes :

• La pulsation propre du système : $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
• Le facteur de qualité : $Q = \frac{R}{L\omega_0}$ (on négligera la résistance $r$ devant $R$ pour les calculs principaux, soit $r \approx 0$).

L’objectif de ce problème est d’établir la fonction de transfert complexe de ce filtre, d’analyser son comportement asymptotique à l’aide des diagrammes de Bode, et d’étudier sa sélectivité en vue d’une application de filtrage.

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❓ Questions progressives

1. Modélisation complexe : Établir les expressions des impédances complexes $Z_1(j\omega)$ (parallèle $R-C$) et $Z_2(j\omega)$ (série $L-r$ avec $r=0$).
2. Fonction de transfert : En déduire l’expression de la fonction de transfert harmonique $H(j\omega) = \frac{\underline{S}(j\omega)}{\underline{E}(j\omega)}$ sous la forme canonique : $H(j\omega) = \frac{H_0}{1 + j Q \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \mathcal{F}(\dots) \right)}$ (Préciser l’expression exacte de $H_0$ et mettre $H(j\omega)$ sous une forme polynomiale en $x = \frac{\omega}{\omega_0}$).
3. Analyse spectrale (Bode) :
   • Déterminer le type de filtre (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande).
   • Tracer l’allure du diagramme de Bode en gain $G_{dB}(\omega) = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)$ en précisant les comportements aux basses et hautes fréquences, ainsi qu’à la résonance.
4. Étude de la sélectivité : Calculer la largeur de la bande passante à $-3\text{ dB}$ en fonction de $\omega_0$ et $Q$. Déduire l’expression de la surtension et la valeur de la pulsation de résonance en amplitude $\omega_r$.

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Réflexe MP2I : Pour l’association en parallèle de $R$ et $C$, travaillez de préférence avec les admittances complexes $\underline{Y} = \frac{1}{Z}$ pour additionner les conductances et susceptances.
• Forme canonique : Ne vous précipitez pas dans le calcul algébrique. Identifiez bien le rôle de chaque composant : $L$ et $C$ fixent la pulsation caractéristique $\omega_0$, tandis que le rapport $R/L$ module l’amortissement.
• Asymptotes : Pour les diagrammes de Bode, déterminez toujours les équations des tangentes lorsque $\omega \to 0$ et $\omega \to +\infty$ en effectuant des développements limités (DL) de $\ln(|H|)$ ou en étudiant les pentes en décades.

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📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Expression des impédances complexes

• Pour l’impédance $Z_1$ ($R$ et $C$ en parallèle) : Il est plus simple d’utiliser l’admittance complexe $\underline{Y}_1 = \frac{1}{Z_1} = \frac{1}{R} + j\omega C$. On en déduit : $\underline{Z}_1(j\omega) = \frac{R}{1 + j R C \omega}$

• Pour l’impédance $Z_2$ ($L$ et $r=0$ en série) : $\underline{Z}_2(j\omega) = j\omega L$

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2. Fonction de transfert harmonique

Le montage forme un pont diviseur de tension : $\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{S}(j\omega)}{\underline{E}(j\omega)} = \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}$

En substituant les expressions : $\underline{H}(j\omega) = \frac{j\omega L}{\frac{R}{1 + j R C \omega} + j\omega L}$

Mettons cette expression sous une forme canonique en multipliant numérateur et dénominateur par $(1 + j R C \omega)$ : $\underline{H}(j\omega) = \frac{j\omega L (1 + j R C \omega)}{R + j\omega L (1 + j R C \omega)} = \frac{j\omega L - \omega^2 R L C}{R + j\omega L - \omega^2 R L C}$

Introduisons $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q = \frac{R}{L\omega_0}$ (ce qui implique $RC = \frac{R}{L\omega_0^2} = \frac{Q}{\omega_0}$). Le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par $R$ ou réécrits avec $x = \frac{\omega}{\omega_0}$ : $\underline{H}(j\omega) = \frac{j Q x}{1 - x^2 + j Q x}$ où l’on a posé $x = \frac{\omega}{\omega_0}$.

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3. Analyse spectrale et Diagramme de Bode

• Nature du filtre : L’expression de $\underline{H}(j\omega)$ est de la forme : $\underline{H}(x) = \frac{j Q x}{1 - x^2 + j Q x}$

  • Si $x \to 0$ ($\omega \ll \omega_0$) : $\underline{H}(x) \sim j Q x \to 0$ (Atténuation en $20\text{ dB/décade}$).
  • Si $x \to +\infty$ ($\omega \gg \omega_0$) : $\underline{H}(x) \sim \frac{j Q x}{-x^2} = -\frac{j Q}{x} \to 0$ (Atténuation en $-20\text{ dB/décade}$).
  • Si $x = 1$ ($\omega = \omega_0$) : $\underline{H}(1) = 1$. Le gain vaut $0\text{ dB}$.

  Il s’agit d’un filtre passe-bande.

• Diagramme de Bode en gain : Le gain en décibels est donné par : $G_{dB}(x) = 20 \log_{10}(|\underline{H}(x)|) = 20 \log_{10}\left(\frac{Qx}{\sqrt{(1-x^2)^2 + Q^2 x^2}}\right)$

  • Basses fréquences ($x \ll 1$) : $G_{dB} \approx 20 \log_{10}(Qx) = 20 \log_{10}(Q) + 20 \log_{10}(x)$. Pente de $+20\text{ dB/décade}$.
  • Hautes fréquences ($x \gg 1$) : $G_{dB} \approx 20 \log_{10}\left(\frac{Q}{x}\right) = 20 \log_{10}(Q) - 20 \log_{10}(x)$. Pente de $-20\text{ dB/décade}$.
  • À la résonance ($x = 1$) : $G_{dB}(1) = 0\text{ dB}$.

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4. Étude de la sélectivité

Le gain maximal est atteint pour $x = 1$ ($\omega_r = \omega_0$), et vaut $G_{\max} = 1$ ($0\text{ dB}$).

Les pulsations de coupure à $-3\text{ dB}$ correspondent aux fréquences pour lesquelles le gain est divisé par $\sqrt{2}$, soit $|\underline{H}(x)|^2 = \frac{1}{2}$: $\frac{Q^2 x^2}{(1-x^2)^2 + Q^2 x^2} = \frac{1}{2} \implies (1-x^2)^2 = Q^2 x^2$

Cette équation se scinde en deux cas (physiquement acceptables pour $x > 0$) :

1. $1 - x^2 = Qx \implies x^2 + Qx - 1 = 0$
2. $1 - x^2 = -Qx \implies x^2 - Qx - 1 = 0$

En résolvant ces équations du second degré pour $x > 0$ :

• Pour la première : $x_1 = \frac{-Q + \sqrt{Q^2 + 4}}{2}$
• Pour la seconde : $x_2 = \frac{Q + \sqrt{Q^2 + 4}}{2}$

La bande passante $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1$ s’obtient par : $\Delta \omega = \omega_0 (x_2 - x_1) = \omega_0 \left( \frac{Q + \sqrt{Q^2 + 4}}{2} - \frac{-Q + \sqrt{Q^2 + 4}}{2} \right) = \frac{\omega_0}{Q}$ Conclusion: ** Plus le facteur de qualité $Q$ est grand, plus la bande passante $\Delta \omega = \frac{\omega_0}{Q}$ est étroite, ce qui caractérise un filtre sélectif de haute performance en régime sinusoïdal.