Cours : Espaces préhilbertiens réels

Espaces préhilbertiens réels — Fiche de cours MPSI

1. Produit scalaire

A. Définitions fondamentales

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ est appelée produit scalaire si elle vérifie les propriétés suivantes :

1. Bilinéarité :
   • Pour tout $y \in E$, l’application $x \mapsto \langle x, y \rangle$ est linéaire ($\forall (x_1, x_2) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \langle \lambda x_1 + x_2, y \rangle = \lambda \langle x_1, y \rangle + \langle x_2, y \rangle$).
   • Pour tout $x \in E$, l’application $y \mapsto \langle x, y \rangle$ est linéaire.
2. Symétrie : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$.
3. Positivité : $\forall x \in E, \quad \langle x, x \rangle \ge 0$.
4. Caractère défini : $\forall x \in E, \quad \langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0_E$.

Un espace préhilbertien réel est un couple $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ formé d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et d’un produit scalaire. Si de plus $E$ est de dimension finie, on parle souvent d’espace euclidien.

B. Exemples fondamentaux au programme

• Sur $\mathbb{R}^n$ : Le produit scalaire usuel défini par $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$.
• Sur $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)\,\mathrm{d}t$.
• Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : $\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}({}^t\!A B)$.

---

2. Norme et orthogonalité

A. Norme induite

Tout produit scalaire permet de définir une norme sur $E$ en posant : $\forall x \in E, \quad \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

Théorème (Inégalité de Cauchy-Schwarz) : Pour tous $x, y \in E$ : $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$ Cas d’égalité : Il y equality si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée.

Théorème (Inégalité triangulaire de Minkowski) : Pour tous $x, y \in E$ : $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$

B. Orthogonalité

• Définition : Deux vecteurs $x, y \in E$ sont dit orthogonaux (noté $x \perp y$) si $\langle x, y \rangle = 0$.
• Identité de Pythagore : Si $x \perp y$, alors $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$.
• Théorème de Pythagore généralisé : Si $(x_1, \dots, x_n)$ est une famille de vecteurs deux à deux orthogonaux, alors : $\left\| \sum_{i=1}^n x_i \right\|^2 = \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2$

---

3. Familles orthonormales

A. Définitions

• Une famille de vecteurs $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ est dite orthogonale si ses éléments sont deux à deux orthogonaux ($\forall i \neq j, \langle e_i, e_j \rangle = 0$).
• Elle est dite orthonormale (FON) si elle est orthogonale et que chaque vecteur est de norme $1$ ($\forall i, j, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$).

Proposition : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En particulier, toute FON est libre.

B. Coordonnées dans une base orthonormée

Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$, alors pour tout vecteur $x \in E$ : $x = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \quad \text{et} \quad \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle^2$

C. Procédé d’orthonormalisation de Schmidt

Théorème : Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien possède une base orthonormée. De plus, tout espace préhilbertien de dimension finie possède une B.O.N.

Principe de construction (Schmidt) : À partir d’une base $(u_1, \dots, u_n)$, on construit une base orthogonale $(e_1, \dots, e_n)$ par récurrence :

1. $e_1 = u_1$
2. $e_2 = u_2 - \frac{\langle u_2, e_1 \rangle}{\|e_1\|^2} e_1$
3. Et ainsi de suite, en projetant orthogonalement le vecteur $u_k$ sur l’espace engendré par les précédents. On normalise ensuite chaque vecteur.

---

4. Supplémentaire orthogonal

A. Définition et propriétés

Soit $A$ une partie d’un espace préhilbertien $E$. L’orthogonal de $A$, noté $A^\perp$, est l’ensemble : $A^\perp = \{ x \in E \mid \forall a \in A, \langle x, a \rangle = 0 \}$

• Propriétés fondamentales :
  1. Pour toute partie $A$, $A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  2. $\{0_E\}^\perp = E$ et $E^\perp = \{0_E\}$.
  3. Si $A \subset B$, alors $B^\perp \subset A^\perp$.
  4. $A \subset (A^\perp)^\perp$.
  5. Pour tout sous-espace vectoriel $F$, $F \cap F^\perp = \{0_E\}$.

B. Cas de la dimension finie

Théorème : Si $E$ est un espace préhilbertien de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, alors : $E = F \oplus F^\perp$ De plus, $\dim(F^\perp) = \dim(E) - \dim(F)$ et $(F^\perp)^\perp = F$.

---

5. Méthodes

• Démontrer qu’une application est un produit scalaire : Vérifier rigoureusement les 4 axiomes. Pour la positivité et le caractère défini, on part souvent de $\langle x, x \rangle = 0$ pour arriver à $x=0$. Attention: * Dans les espaces de fonctions, la positivité $\int_a^b f(t)^2\,\mathrm{d}t \ge 0$ est immédiate (intégrale d’une fonction positive). Le caractère défini repose sur la continuité : si $f$ est continue et positive, d’intégrale nulle, alors $f$ est nulle.
• Calculer une distance ou un angle : Se ramener à l’utilisation du produit scalaire via $\cos(\theta) = \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\|y\|}$.
• Utiliser l’orthogonalité pour simplifier des calculs de normes : Penser immédiatement à Pythagore si les vecteurs proviennent d’une construction orthogonale.

---

6. Pièges classiques (À éviter)

1. Oublier la continuité pour le produit scalaire des fonctions : Sur $\mathbb{R}[X]$, $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$ est un produit scalaire. Sur l’espace de toutes les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, l’intégrale $\int_0^1 f(t)^2\,\mathrm{d}t = 0$ n’implique pas que $f$ est nulle partout (seulement presque partout), ce qui pose un problème pour l’axiome du caractère défini.
2. Confondre orthogonal et suppémentaire orthogonal en dimension infinie : En dimension infinie, on a bien $F \cap F^\perp = \{0_E\}$, mais on n’a pas toujours $E = F \oplus F^\perp$ (considérer par exemple un sous-espace dense strict).
3. Appliquer Schmidt sans vérifier la liberté : Le procédé de Schmidt nécessite de partir d’une base (donc d’une famille libre).