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CPGE Futur

Exercice 2 : Loi binomiale et Poisson

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Dans le cadre de l’étude de la fiabilité des composants micro-électroniques produits par une chaîne d’assemblage industrielle, on s’intéresse à l’apparition de défauts de soudure. Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^* le nombre de composants testés. On suppose que les composants sont testés de manière indépendante les uns des autres.

Pour un composant donné, la probabilité qu’il présente un défaut de soudure est notée p∈]0,1[p \in ]0, 1[. On introduit la variable aléatoire XnX_n représentant le nombre total de composants défectueux parmi les nn testés.

L’objectif de ce problème est d’étudier le comportement de la loi de XnX_n lorsque nn devient grand et que la probabilité de défaut pnp_n dépend de nn de telle sorte que le nombre moyen de défauts λ=npn\lambda = n p_n reste constant. Ce passage à la limite formalise l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, fondamentale en théorie de la fiabilité et en contrôle qualité.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”

  1. Rappels sur le modèle de base : Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire XnX_n ? Préciser son espace d’état, son espérance E(Xn)\mathbb{E}(X_n) et sa variance ∇(Xn)\nabla(X_n) (ou Var(Xn)\text{Var}(X_n)).

  2. Calcul de probabilités exactes : Expliciter l’expression de la probabilité P(Xn=k)\mathbb{P}(X_n = k) pour tout k∈[[0,n]]k \in [[0, n]]. Calculer explicitement la limite de P(Xn=0)\mathbb{P}(X_n = 0) lorsque nn tend vers +∞+\infty, dans le cas où pn=λnp_n = \frac{\lambda}{n} avec λ>0\lambda > 0 fixé.

  3. Approximation asymptotique (Théorème de Poisson) : Toujours dans le cas où pn=λnp_n = \frac{\lambda}{n} (où λ>0\lambda > 0 est un réel fixé), déterminer la limite de P(Xn=k)\mathbb{P}(X_n = k) lorsque n→+∞n \to +\infty, pour un entier k∈Nk \in \mathbb{N} fixé. Reconnaître la loi de probabilité ainsi obtenue.

  4. Étude de l’erreur d’approximation : On pose P(λ)\mathcal{P}(\lambda) la loi de Poisson de paramètre λ\lambda. Pour n≥λn \ge \lambda, on définit la distance en variation totale (ou l’écart maximal) entre la loi exacte et la loi limite. Évaluer le comportement de ∣P(Xn=k)−e−λλkk!\itude∣\left| \mathbb{P}(X_n = k) - e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \itude \right| pour nn grand en effectuant un développement limité d’ordre 11 en 1n\frac{1}{n} du terme général.

  5. Analyse critique du modèle industriel : Dans une usine réelle, l’hypothèse d’indépendance des pannes entre composants est-elle toujours réaliste ? Citer un phénomène physique ou organisationnel qui pourrait vicier cette hypothèse et modifier la loi de XnX_n.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Pensez à identifier le schéma de Bernoulli élémentaire répété nn fois de manière identique et indépendante.
  • Question 2 & 3 : Transformez le produit factoriel et les puissances en passant par le logarithme népérien ou en écrivant explicitement les quotients de factorielles (simplification des n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}). Utilisez le résultat classique lim⁡n→+∞(1−λn)n=e−λ\lim_{n\to +\infty} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}.
  • Question 4 : Utilisez les équivalents et les développements limités usuels, notamment ln⁡(1−x)=−x−x22+o(x)\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} + o(x) au voisinage de 00.
  • Question 5 : Réfléchissez aux conditions de fabrication en série (panne d’une machine entière affectant un lot continu de composants).

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

Corrigé de la question 1

Section titled “Corrigé de la question 1”

Puisque chaque composant est testé de manière indépendante avec la même probabilité de succès (ici, “être défectueux”) égale à pp, la variable aléatoire XnX_n comptant le nombre de succès dans une suite de nn épreuves de Bernoulli indépendantes suit une loi binomiale de paramètres nn et pp. On note : Xn∼B(n,p)X_n \sim \mathcal{B}(n, p)

  • Espace d’état : Xn(Ω)=[[0,n]]={0,1,2,…,n}X_n(\Omega) = [[0, n]] = \{0, 1, 2, \dots, n\}.
  • Espérance : E(Xn)=np\mathbb{E}(X_n) = n p.
  • Variance : Var(Xn)=np(1−p)\text{Var}(X_n) = n p (1 - p).

Corrigé de la question 2

Section titled “Corrigé de la question 2”

Par définition de la loi binomiale, pour tout k∈[[0,n]]k \in [[0, n]] : P(Xn=k)=(nk)pk(1−p)n−k\mathbb{P}(X_n = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}

Dans le cadre où p=pn=λnp = p_n = \frac{\lambda}{n} : P(Xn=0)=(n0)(λn)0(1−λn)n−0=(1−λn)n\mathbb{P}(X_n = 0) = \binom{n}{0} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^0 \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-0} = \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n Par composition de limites (ou en passant par l’exponentielle du log), on sait que : lim⁡n→+∞P(Xn=0)=lim⁡n→+∞(1−λn)n=e−λ\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(X_n = 0) = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}

Corrigé de la question 3

Section titled “Corrigé de la question 3”

Soit k∈Nk \in \mathbb{N} fixé. Pour n≥kn \ge k, explicitons P(Xn=k)\mathbb{P}(X_n = k) avec pn=λnp_n = \frac{\lambda}{n} : P(Xn=k)=n!k!(n−k)!(λn)k(1−λn)n−k\mathbb{P}(X_n = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} Réécrivons le terme polynomial en nn : P(Xn=k)=λkk!⋅n(n−1)(n−2)…(n−k+1)nk⋅(1−λn)n⋅(1−λn)−k\mathbb{P}(X_n = k) = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{n^k} \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-k} Analysons chaque facteur lorsque n→+∞n \to +\infty (avec kk fixé) :

  1. λkk!→λkk!\frac{\lambda^k}{k!} \to \frac{\lambda^k}{k!}
  2. n(n−1)…(n−k+1)nk=1⋅(1−1n)(1−2n)…(1−k−1n)→n→+∞1\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{n^k} = 1 \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\dots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right) \xrightarrow[n\to +\infty]{} 1
  3. (1−λn\sainte)n→n→+∞e−λ\left(1 - \frac{\lambda}{n}\sainte\right)^n \xrightarrow[n\to +\infty]{} e^{-\lambda}
  4. (1−λn)−k→n→+∞1−k=1\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \xrightarrow[n\to +\infty]{} 1^{-k} = 1

Par produit de limites, on obtient : lim⁡n→+∞P(Xn=k)=e−λλkk!\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(X_n = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}

Cette limite est la probabilité d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ\lambda, notée P(λ)\mathcal{P}(\lambda). C’est le théorème de Poisson (ou loi des événements rares).

Corrigé de la question 4

Section titled “Corrigé de la question 4”

Pour estimer la vitesse de convergence, évaluons le terme général via son logarithme. Soit un=ln⁡(P(Xn=k))u_n = \ln\left(\mathbb{P}(X_n = k)\right) pour nn grand : ln⁡(P(Xn=k))=ln⁡(n!k!(n−k)!)+kln⁡(λn)+(n−k)ln⁡(1−λn)\ln\left(\mathbb{P}(X_n = k)\right) = \ln\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right) + k \ln\left(\frac{\lambda}{n}\right) + (n-k)\ln\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right) Utilisons la formule de Stirling pour ln⁡(n!)\ln(n!) ou un développement asymptotique : ln⁡(n!)=nln⁡(n)−n+12ln⁡(n)+12ln⁡(2π)+o(1)\ln(n!) = n \ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(n) + \frac{1}{2}\ln(2\pi) + o(1) Plus simplement, concentrons-nous sur le terme dominant de l’erreur commise par l’approximation de (1−λn)n−k\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} et du produit factoriel. En développant ln⁡(1−λn)=−λn−λ22n2+o(1n2)\ln\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right) = -\frac{\lambda}{n} - \frac{\lambda^2}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right), on obtient : (n−k)ln⁡(1−λn)=(n−k)(−λn−λ22n2+o(1n2))(n-k)\ln\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right) = (n-k) \left(-\frac{\lambda}{n} - \frac{\lambda^2}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) =−λ+kλn−λ22n+o(1n)= -\lambda + \frac{k\lambda}{n} - \frac{\lambda^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) De même, pour le terme factoriel ln⁡(n!(n−k)!nk)\ln\left(\frac{n!}{(n-k)! n^k}\right) : ln⁡(∏j=0k−1(1−jn))=∑j=0k−1ln⁡(1−jn)=∑j=0k−1(−jn+O(1n2))=−k(k−1)2n+O(1n2)\ln\left(\prod_{j=0}^{k-1} \left(1 - \frac{j}{n}\right)\right) = \sum_{j=0}^{k-1} \ln\left(1 - \frac{j}{n}\right) = \sum_{j=0}^{k-1} \left(-\frac{j}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = -\frac{k(k-1)}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) En sommant ces contributions dans l’expression logarithmique : ln⁡(P(Xn=k))=ln⁡(e−λλkk!)−λ2+k(k−1)2n+o(1n)\ln\left(\mathbb{P}(X_n = k)\right) = \ln\left(e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\right) - \frac{\lambda^2 + k(k-1)}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) Par exponentiation, il vient : P(Xn=k)=e−λλkk!exp⁡(−λ2+k(k−1)2n+o(1n))\mathbb{P}(X_n = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \exp\left( -\frac{\lambda^2 + k(k-1)}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) En utilisant le développement exp⁡(x)=1+x+o(x)\exp(x) = 1 + x + o(x), l’écart est en O(1n)\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right) : P(Xn=k)=e−λλkk!(1−λ2+k(k−1)2n+o(1n))\mathbb{P}(X_n = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \left( 1 - \frac{\lambda^2 + k(k-1)}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) L’erreur d’approximation est donc de l’ordre de 1n\frac{1}{n}.

Corrigé de la question 5

Section titled “Corrigé de la question 5”

Dans un contexte industriel réel, l’hypothèse d’indépendance des pannes est souvent mise en défaut.

  • Causes de non-indépendance :
    1. Effet de lot (Machine déréglée) : Si un outil de soudure sur la chaîne se dérègle, il va défectueusement souder une série continue de composants. Les pannes ne sont plus indépendantes mais corrélées temporellement.
    2. Variabilité des matières premières : Un lot entier de composants reçu d’un fournisseur peut être de moins bonne qualité, augmentant localement la probabilité de défaut pp pour ce sous-ensemble.
  • Conséquence mathématique : Si les variables de Bernoulli ne sont plus indépendantes, XnX_n ne suit plus une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n, p). On observe généralement une surdispersion (la variance de XnX_n devient supérieure à np(1−p)n p(1-p)), nécessitant des modèles plus complexes (comme les lois beta-binomiales ou l’introduction de chaînes de Markov cachées).