Cours : Calcul différentiel

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels normés (où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), le plus souvent de dimension finie dans le cadre du programme de MP. Soit $U$ un ouvert de $E$.

1.1 Différentiabilité en un point

Définition : Une application $f : U \to F$ est dite différentiable en un point $a \in U$ s’il existe une application linéaire continue $L \in \mathcal{L}(E, F)$ et une application $r : U \to F$ telles que, pour tout $h$ dans un voisinage de $0$ dans $E$ tel que $a+h \in U$ : $f(a+h) = f(a) + L(h) + \|h E\| \, \varepsilon(h)$ où $\lim_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0_F$.

Si une telle application $L$ existe, elle est unique. On la note $df(a)$ ou $f'(a)$, appelée la différentielle de $f$ en $a$.

1.2 Continuité des fonctions différentiables

Proposition: ** Si $f : U \to F$ est différentiable en $a \in U$, alors $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse.

1.3 Dérivées partielles et gradient

• Dérivées partielles : Si $E = \mathbb{R}^n$ muni d’une base canonique $(e_1, \dots, e_n)$, la dérivée partielle de $f$ par rapport à la $i$-ième variable en $a = (a_1, \dots, a_n)$ est définie par : $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_i + t, \dots, a_n) - f(a)}{t}$
• Gradient : Si $F = \mathbb{R}$ et $E$ est un espace préhilbertien réel, le gradient $\nabla f(a)$ est l’unique vecteur de $E$ tel que, pour tout $h \in E$, $df(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

2.1 Théorème de Schwarz (Symétrie des dérivées secondes)

Énoncé : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f : U \to F$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $U$. Pour tout $a \in U$ et pour tout $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$, on a : $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a)$

2.2 Théorème des accroissements finis (et inégalité)

Inégalité des accroissements finis (IAF) : Soit $U$ un ouvert convexe de $E$ et $f : U \to F$ différentiable sur $U$. S’il existe une constante $k \in \mathbb{R}_+$ telle que, pour tout $x \in U$, $\|df(x)\|_{\mathcal{L}(E,F)} \leq k$, alors : $\forall (x, y) \in U^2, \quad \|f(y) - f(x)\| \leq k \|y - x\|$ Attention: * L’égalité des accroissements finis est fausse en dimension strictement supérieure à $1$ (prendre $f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2, t \mapsto (\cos t, \sin t)$).

2.3 Théorème d’inversion locale (TIL)

Énoncé : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $f : U \to \mathbb{R}^n$ une application de classe $\mathcal{C}^k$ (avec $k \geq 1$) et $a \in U$. Si la différentielle $df(a)$ est un isomorphisme (c’est-à-dire $\det(Jac_f(a)) \neq 0$), alors il existe un ouvert $U$ contenant $a$ et un ouvert $V$ contenant $f(a)$ tels que :

1. $f$ réalise un $\mathcal{C}^k$-difféomorphisme de $U$ sur $V$.

2.4 Théorème des fonctions implicites (TFI)

Énoncé : Soit $E, F, G$ des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels normés de dimension finie, $U \times V$ un ouvert de $E \times F$ et $f : U \times V \to G$ une application de classe $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$). Soit $(x_0, y_0) \partial U \times V$ tel que $f(x_0, y_0) = 0_G$. Si l’application partielle $y \mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$ est un isomorphisme de $F$ sur $G$, alors il existe un voisinage ouvert $U_0$ de $x_0$ dans $E$, un voisinage ouvert $V_0$ de $y_0$ dans $F$ et une unique application $\varphi : U_0 \to V_0$ de classe $\mathcal{C}^k$ telle que : $f(x, \varphi(x)) = 0_G \iff (x, y) \in U_0 \times V_0 \text{ et } y = \varphi(x)$

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💡 3. Méthodes classiques de résolution

3.1 Calcul de différentielles par composition (Dérivation des fonctions composées)

Pour calculer la différentielle d’une fonction composée $h = g \circ f$, on utilise la règle de chaine (chain rule) : $dh(a) = dg(f(a)) \circ df(a)$ En termes matriciels (Jacobiennes) : $\text{Jac}_{g \circ f}(a) = \text{Jac}_g(f(a)) \times \text{Jac}_f(a)$

3.2 Recherche d’extremums locaux

Soit $f : U \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U$.

1. Condition nécessaire d’extremum local : Si $a \in U$ est un extremum local de $f$, alors $df(a) = 0$ (le point $a$ est dit critique).
2. Étude en dimension $2$ (Matrice hessienne) : Si $f$ est $\mathcal{C}^2$ et $a$ est un point critique, on étudie la signature des valeurs propres de la matrice hessienne $\nabla^2 f(a)$ :
   • Si les valeurs propres sont strictement de même signe (déterminant strictement positif et trace de même signe que les valeurs propres), $f$ présente un extremum local strict.
   • Si les valeurs propres sont de signes estrictement opposés ($\det < 0$), $f$ présente un point selle (ou col).
   • Si le déterminant est nul, l’étude ne permet pas de conclure (termes d’ordre supérieur nécessaires).

3.3 Changement de variables dans les équations aux dérivées partielles (EDP)

Pour résoudre une EDP :

1. Identifier l’ouvert de définition et la classe de régularité recherchée.
2. Poser le changement de variables $(u, v) = \Phi(x, y)$ en s’assurant que $\Phi$ est un $\mathcal{C}^k$-difféomorphisme.
3. Exprimer les dérivées partielles premières et secondes de $f(x, y)$ en fonction de $g(u, v) = f(\Phi^{-1}(u, v))$ en utilisant systématiquement la règle de composition.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confondre différentiabilité et existence des dérivées partielles : L’existence des dérivées partielles premières en un point n’implique pas la différentiabilité (sauf si ces dérivées partielles sont de surcroît continues en ce point, ce qui caractérise les fonctions $\mathcal{C}^1$).
2. Oublier de vérifier l’ouvert : Les théorèmes fondamentaux (Accroissements finis, Inversion locale, Fonctions implicites) s’appliquent exclusivement sur des ouverts. Vérifier systématiquement que le domaine est ouvert avant d’appliquer un théorème.
3. Mauvaise application du Théorème de Schwarz : Vérifier rigoureusement que la fonction est de classe $\mathcal{C}^2$ (ou au moins deux fois différentiable avec continuité des dérivées mixtes) avant d’inverser l’ordre des dérivées partielles.
4. Conclusion hâtive sur les points critiques : Conclure qu’un point est un extremum sous prétexte que le gradient s’annule, sans étudier la Hessienne ou le signe local de $f(x) - f(a)$. Un point critique n’est ni nécessairement un maximum, ni un minimum (ex: point selle).
5. Confusion entre applications linéaires et matrices : Dans la rédaction, bien distinguer la différentielle $df(a)$ qui est une application linéaire, et la matrice jacobienne ou hessienne qui en sont des représentations matricielles dans une base fixée.