Cours : Topologie et calcul différentiel

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $(E, \|\cdot\|)$ et $(F, \|\cdot\|_F)$ deux espaces normés réels de dimension finie, et $U$ un ouvert de $E$.

Différentiabilité en un point

Une application $f : U \to F$ est dite différentiable en un point $a \in U$ s’il existe une application linéaire continue $L \in \mathcal{L}(E, F)$ et une application $\varepsilon : U \to F$ telles que : $\forall h \in E, \quad f(a+h) = f(a) + L(h) + \|h\| \varepsilon(h) \quad \text{avec} \quad \lim_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0_F$

L’application linéaire $L$, unique si elle existe, est appelée la différentielle de $f$ en $a$, notée $df(a)$ ou $\mathrm{d}f(a)$.

Continuité et caractérisation séquentielle

• Toute application différentiable en $a$ est continue en $a$.
• En dimension finie, toute application linéaire est continue.

Dérivées partielles

Si $E = \mathbb{R}^n$ muni d’une base canonique $(e_1, \dots, e_n)$, les dérivées partielles de $f$ en $a = (a_1, \dots, a_n)$ par rapport à la $j$-ième variable sont définies par : $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_j + t, \dots, a_n) - f(a)}{t}$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Théorème de Schwarz (Symétrie des dérivées partielles secondes)

Si $f : U \to F$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur l’ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$, alors pour tout $a \in U$ et pour tout $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$ : $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a)$

Démonstration (Cas $n=2$) : On considère la quantité membranaire (ou accroissement double) sur un rectangle $[a_1, a_1+h_1] \times [a_2, a_2+h_2]$ : $\Delta(h_1, h_2) = f(a_1+h_1, a_2+h_2) - f(a_1+h_1, a_2) - f(a_1, a_2+h_2) + f(a_1, a_2)$ En introduisant $g(t) = f(t, a_2+h_2) - f(t, a_2)$, on a $\Delta(h_1, h_2) = g(a_1+h_1) - g(a_1)$. Par le théorème des accroissements finis appliqué à $g$ : $\Delta(h_1, h_2) = h_1 g'(c_1) = h_1 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(c_1, a_2+h_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(c_1, a_2) \right)$ En appliquant à nouveau le théorème des accroissements finis par rapport à la seconde variable : $\Delta(h_1, h_2) = h_1 h_2 \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(c_1, c_2)$ En procédant de même en inversant l’ordre des applications, on obtient : $\Delta(h_1, h_2) = h_1 h_2 \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(c'_1, c'_2)$ Par continuité des dérivées partielles secondes en $(a_1, a_2)$, lorsque $(h_1, h_2) \to (0, 0)$, on conclut par isélité des limites. $\blacksquare$

Théorème des accroissements finis

Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a, b]$ et différentiable sur ouvert contenant $[a, b]$. Si $\|df(x)\| \le M$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors : $\|f(b) - f(a)\| \le M \|b - a\|$ (Attention : Faux si $F$ est de dimension infinie ou non convexe).

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Matrice Jacobienne

Si $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ est différentiable en $a$, sa différentielle $df(a) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^p)$ est représentée dans les bases canoniques par la matrice jacobienne $J_f(a) \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ :

\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$$ ### Règle de chaine (Chain Rule) Soit $U \subset \mathbb{R}^n$ et $V \subset \mathbb{R}^p$ deux ouverts. Soit $f : U \to V$ différentiable en $a$ et $g : V \to \mathbb{R}^m$ différentiable en $f(a)$. Alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et sa matrice jacobienne en $a$ vérifie : $$J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a)$$ ### Recherche d'extremums locaux 1. **Condition nécessaire d'ordre 1 :** Si $f : U \to \mathbb{R}$ admet un extremum local en $a \in U$ et si $f$ est différentiable en $a$, alors $df(a) = 0_{\mathcal{L}(E, \mathbb{R})}$ (soit $\nabla f(a) = 0_{\mathbb{R}^n}$). 2. **Condition suffisante d'ordre 2 :** Si $df(a) = 0$ et si la matrice hessienne $H_f(a) \in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ est : - Definie positive : $f$ admet un **minimum local strict**. - Definie négative : $f$ admet un **maximum local strict**. - Non dégénérée de signature mixte : $f$ a un **point selle**. --- ## ⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours 1. **Continuité des dérivées partielles vs Différentiabilité :** Ce n'est pas parce qu'un champ scalaire admet des dérivées partielles en un point qu'il y est différentiable. Pis encore : l'existence des dérivées partielles en tout point ne garantit même pas la continuité ! Le théorème fondamental à retenir est : **$\mathcal{C}^1 \implies$ différentiable $\implies$ continue et dérivées partielles existantes**. 2. **Oubli de vérifier le domaine de définition et la convexité :** Le théorème des accroissements finis **ne s'applique pas** si l'ouvert n'est pas convexe. Toujours relier les points par un segment inclus dans l'ouvert. 3. **Confusion entre gradient et vecteur normal :** Pour une surface d'équation $f(x, y, z) = 0$, le gradient $\nabla f(a)$ est orthogonal à la surface en $a$ *uniquement* si la différentielle n'est pas nulle ($\nabla f(a) \neq 0$). 4. **Mauvaise manipulation des dimensions dans la Chain Rule :** Toujours vérifier le produit des matrices jacobiennes par analyse dimensionnelle : si $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ et $g : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^m$, alors $J_g$ est de taille $m \times p$ et $J_f$ de taille $p \times n$, donc $J_{g \circ f}$ est bien de taille $m \times n$.