Cours : Mécanique des fluides

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

La mécanique des fluides étudie le comportement des fluides (liquides et gaz) au repos (statique) ou en mouvement (cinématique et dynamique).

Hypothèse du milieu continu

Un fluide est macroscopiquement décrit par des champs eulériens continus et différentiables des variables d’espace $\vec{r} = (x, y, z)$ et de temps $t$.

• Champ de vitesse : $\vec{v}(M, t)$
• Champ de pression : $P(M, t)$
• Champ de masse volumique : $\mu(M, t)$ (ou $\rho$)

Cette description est valable si le libre parcours moyen $\ell$ des molécules est très inférieur à l’échelle caractéristique $L$ du système, ce qui se traduit par un nombre de Knudsen négligeable : $\text{Kn} = \frac{\ell}{L} \ll 1$

Fluide parfait vs Fluide visqueux

• Fluide parfait : Modèle idéal pour lequel le tenseur des contraintes se réduit à la pression isotrope. Il n’y a pas de transport quantité de mouvement par frottement visqueux.
• Fluide visqueux : Fluide manifestant une résistance à l’écoulement (viscosité dynamique $\eta$ ou cinématique $\nu = \eta/\rho$).

Écoulement incompressible

Un écoulement est dit incompressible si la masse volumique $\rho$ de chaque particule fluide se conserve au cours du temps. L’équation de conservation de la masse (équation de continuité) se simplifie en : $\text{div}(\vec{v}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Relation fondamentale de la statique des fluides (RFSF)

Dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), pour un fluide au repos ($\vec{v} = \vec{0}$) soumis à un champ de pesanteur uniforme $\vec{g} = -g\vec{u}_z$, l’application du PFD à une particule fluide de volume $d\tau$ donne : $-\vec{\nabla} P + \rho \vec{g} = \vec{0}$ En projection sur l’axe vertical ascendant $Oz$ : $\frac{\partial P}{\partial z} = -\rho g$ Pour un fluide incompressible ($\rho = \text{cte}$), on intègre entre une altitude $z_0$ et $z$ : $P(z) + \rho g z = \text{cte}$

B. Théorème d’Euler (Conservation de la quantité de mouvement)

Soit $\mathcal{D}(t)$ un volume de contrôle mobile indformable ou déformable. Le bilan de la quantité de mouvement s’écrit sous forme intégrale : $\frac{d}{dt} \iint \iint_{\mathcal{D}(t)} \rho \vec{v} \, d\tau = \iiint_{\mathcal{D}(t)} \rho \vec{f}_{\text{vol}} \, d\tau + \iint_{\partial\mathcal{D}(t)} \underline{\underline{\sigma}} \cdot \vec{n} \, dS$

C. Équation d’Euler (Fluide parfait)

En appliquant le théorème précédent à une particule fluide et en introduisant l’accélération d’une particule : $\vec{a} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}$ On obtient l’équation d’Euler valable pour un fluide parfait non visqueux : $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} P + \rho \vec{g}$

D. Démonstration de l’équation de Bernoulli le long d’une ligne de courant

Cadre: Écoulement stationnaire ($\partial / \partial t = 0$), parfait, incompressible, soumis à un champ de forces de pesanteur conservatif ($\vec{g} = -\vec{\nabla}(gz)$).*

1. Partons de l’équation d’Euler stationnaire : $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} = -\frac{1}{\rho}\vec{\nabla}P - \vec{\nabla}(gz)$
2. Utilisons l’identité vectorielle : $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} = \vec{\nabla}\left(\frac{v^2}{2}\right) - \vec{v} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{v})$.
3. Projetons cette relation sur un vecteur unitaire $\vec{t}$ tangent à une ligne de courant ($\vec{v} = v\vec{t}$). Le terme vectoriel $\vec{v} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{v})$ est orthogonal à $\vec{v}$ et s’annule par projection.
4. Il vient le long d’une ligne de courant : $\vec{t} \cdot \vec{\nabla}\left( \frac{v^2}{2} + \frac{P}{\rho} + gz \right) = 0$
5. Conclusion (Bernoulli) : Le long d’une même ligne de courant, la quantité suivante est constante : $\frac{1}{2}\rho v^2 + P + \rho gz = \text{cte}$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Algorithme de résolution d’un problème d’hydrodynamique

1. Définir le cadre : Préciser si le fluide est parfait ou visqueux, compressible ou incompressible, et si l’écoulement est stationnaire.
2. Choisir le système de coordonnées : Adapté aux symétries du problème (cartésien, cylindrique, sphérique).
3. Appliquer l’équation de continuité : Pour l’incompressibilité, $\text{div}(\vec{v}) = 0$. En régime permanent monodimensionnel (section $S(x)$ et vitesse $v(x)$), cela se traduit par la conservation du débit volumique : $Q_v = v_1 S_1 = v_2 S_2 = \text{cte}$
4. Appliquer le théorème adéquat :
   • Si le fluide est parfait et l’écoulement stationnaire le long d’une ligne de courant reliant deux points $A$ et $B$ : utiliser Bernoulli.
   • S’il y a des forces de frottement ou si l’on cherche une variation globale d’énergie : utiliser le premier principe thermodynamique ouvert (généralisation de Bernoulli avec terme de perte de charge $P_{\text{ch}}$).
   • Pour relier des forces globales à des variations de quantité de mouvement : utiliser le théorème d’Euler sur un volume de contrôle bien choisi.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Utiliser Bernoulli hors de son domaine de validité : Ne jamais appliquer Bernoulli entre deux points $A$ et $B$ s’ils ne sont pas sur la même ligne de courant, sauf si l’écoulement est irrotationnel ($\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = \vec{0}$) partout dans le domaine connexe.
2. Oublier le référentiel : Les lois de la statique (RFSF) et d’Euler ne s’expriment sous ces formes que dans un référentiel galiléen. En repère non galiléen, il faut ajouter les forces d’inertie (d’entraînement et de Coriolis).
3. Confusion entre pression statique et pression dynamique : Dans la formule de Bernoulli, $P$ est la pression statique mesurée en suivant le fluide. La pression de stagnation (ou totale) s’obtient au point d’arrêt ($v=0$) et vaut $P_0 = P + \frac{1}{2}\rho v^2$ (en négligeant les variations d’altitude).
4. Erreur de signe dans les bilans de quantité de mouvement (Théorème d’Euler) : Bien veiller à ce que les flux sortants de quantité de mouvement soient comptés positivement ($\iint_{\partial\mathcal{D}} \rho \vec{v} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dS$).