Exercice : Force de Laplace et conversion d énergie électromécanique

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On s’intéresse à un dispositif électromécanique idéalisé destiné à convertir de l’énergie cinétique en énergie électrique (ou inversement).

Le système est constitué d’un rail conducteur horizontal, de résistance négligeable, distant de $L$ . Ce rail est plongé dans un champ magnétique uniforme, permanent et stationnaire $\vec{B} = B_0 \vec{u}_z$ , orienté selon la verticale ascendante.

Une tige conductrice $MN$ , de masse $m$ , de résistance électrique $R$ et de longueur $L$ (assimilée à la distance entre les rails), peut glisser sans frottement sur ces rails tout en restant perpendiculaire à ceux-ci. On repère la position de la tige à l’instant $t$ par son abscisse $x(t)$ sur l’axe $(Ox)$ orienté de la gauche vers la droite. Le circuit est fermé à l’une de ses extrémités par une résistance globale $R$ (qui inclut la résistance de la tige et celle des rails).

À l’instant $t = 0$ , la tige est lancée avec une vitesse initiale $v_0 > \vec{u}_x$ depuis la position $x = 0$ . On négligera toute inductance propre du circuit ( $L_{\text{inductance}} = 0$ ).

❓ Questions progressives

Analyse préliminaire et loi de Faraday Exprimer le flux magnétique $\Phi(t)$ à travers le circuit en fonction de $B_0$ , $L$ et $x(t)$ . En déduire l’expression de la force électromotrice induite $e(t)$ dans le circuit.
Bilan électrique et loi d’Ohm En déduire l’intensité du courant induit $i(t)$ circulant dans le circuit. On précisera la convention choisie.
Force de Laplace Déterminer l’expression vectorielle de la force de Laplace $\vec{F}_L$ s’exerçant sur la tige $MN$ en fonction de $B_0$ , $L$ , $i(t)$ et des vecteurs unitaires de la base cartésienne. Quel est l’effet qualitatif de cette force sur le mouvement de la tige ?
Équation différentielle du mouvement Appliquer le théorème du centre d’inertie à la tige $MN$ pour établir l’équation différentielle vérifiée par sa vitesse $v(t) = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ . Mettre cette équation sous la forme caractéristique $\frac{\text{d}v}{\text{d}t} + \frac{v}{\tau} = 0$ et exprimer la constante de temps $\tau$ en fonction des paramètres du problème.
Résolution et étude énergétique Donner l’expression de la vitesse $v(t)$ pour $t \ge 0$ . Calculer l’énergie cinétique initiale $E_c(0)$ et déterminer l’énergie totale $E_J$ dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ sur l’ensemble de la phase de ralentissement ( $t$ de $0$ à $+\infty$ ). Conclure sur la conversion d’énergie.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Indication pour Q1 : Le flux du champ magnétique à travers un circuit plan s’exprime par $\Phi = \iint_{\text{surface}} \vec{B} \cdot \vec{n} \, \text{d}S$ . Attention au choix de la normale $\vec{n}$ pour respecter l’orientation du circuit.
Indication pour Q2 : Utilisez la loi de Faraday $e = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}$ , puis la loi d’Ohm aux bornes de la résistance équivalente $R$ .
Indication pour Q3 : La force élémentaire de Laplace sur un fil parcouru par un courant $i$ est $\text{d}\vec{F} = i \, \vec{\text{d}\ell} \wedge \vec{B}$ .
Indication pour Q5 : Pour l’énergie dissipée par effet Joule, rappelez-vous que $P_J(t) = R i(t)^2$ et que l’énergie totale est l’intégrale de cette puissance entre $0$ et $+\infty$ . Vous pouvez aussi utiliser un bilan énergétique global (théorème de l’énergie cinétique).

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Analyse préliminaire et loi de Faraday

Le circuit est délimité par les rails et la tige $MN$ mobile. La surface $S(t)$ du circuit correspond à un rectangle de longueur $x(t)$ et de largeur $L$ . Le champ magnétique est $\vec{B} = B_0 \vec{u}_z$ . Si l’on oriente le contour du circuit dans le sens trigonométrique, la normale associée $\vec{n}$ est $\vec{u}_z$ . Le flux magnétique à travers le circuit s’écrit donc : $\Phi(t) = \iint_{S(t)} B_0 \vec{u}_z \cdot \vec{u}_z \, \text{d}S = B_0 \times \text{Aire}(S) = B_0 L x(t)$

D’après la loi de Faraday, la force électromotrice induite $e(t)$ dans le circuit est : $e(t) = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t} = -B_0 L \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = -B_0 L v(t)$ où $v(t) = \dot{x}(t)$ est la vitesse de la tige.

2. Bilan électrique et loi d’Ohm

Le circuit ne comportant pas de générateur idéal de tension et son inductance étant négligeable, la loi d’Ohm aux bornes de la résistance $R$ (unique récepteur du circuit) s’écrit : $e(t) - R i(t) = 0 \implies i(t) = \frac{e(t)}{R} = -\frac{B_0 L v(t)}{R}$ Note: Le signe dépend de l’orientation du courant. Si $v > 0$ , $i$ est négatif, ce qui signifie que le courant circule dans le sens trigonométrique indirect.*

3. Force de Laplace

La tige $MN$ est traversée par le courant $i(t)$ sur une longueur $L$ selon la direction $-\vec{u}_y$ (si les rails sont selon $\vec{u}_x$ ). La force de Laplace s’obtient en intégrant sur la portion de tige : $\vec{F}_L = \int_{M}^{N} i \, \vec{\text{d}\ell} \wedge \vec{B} = i \, (L (-\vec{u}_y)) \wedge (B_0 \vec{u}_z)$ $\vec{F}_L = -i B_0 L (\vec{u}_y \wedge \vec{u}_z) = -i B_0 L \vec{u}_x$

En remplaçant $i(t)$ par son expression trouvée à la question 2 : $\vec{F}_L = -\left(-\frac{B_0 L v(t)}{R}\right) B_0 L \vec{u}_x = -\frac{B_0^2 L^2}{R} v(t) \vec{u}_x$

Interprétation qualitative : Puisque $\vec{F}_L$ est opposée au vecteur vitesse $\vec{v} = v(t)\vec{u}_x$ (car $\frac{B_0^2 L^2}{R} > 0$ ), cette force s’oppose systématiquement au mouvement. C’est la manifestation de la loi de Lenz : le système s’oppose par ses effets à la cause qui lui a donné naissance.

4. Équation différentielle du mouvement

Appliquons le Théorème du Centre d’Inertie (TCI) à la tige $MN$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen, en projection sur l’axe $(Ox)$ : Le bilan des forces extérieures se résume à la force de Laplace $\vec{F}_L$ (les forces de frottement mécanique étant supposées nulles, de même que le poids et la réaction normale qui se compensent verticalement). $m \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = F_{L,x} = -\frac{B_0^2 L^2}{R} v(t)$

En réorganisant les termes, on obtient l’équation différentielle : $\frac{\text{d}v}{\text{d}t} + \frac{B_0^2 L^2}{m R} v(t) = 0$

Cette équation se met sous la forme canonique demandée : $\frac{\text{d}v}{\text{d}t} + \frac{v}{\tau} = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{m R}{B_0^2 L^2}$ Où $\tau$ représente une constante de temps caractéristique du freinage électromagnétique.

5. Résolution et étude énergétique

La résolution de l’équation différentielle du premier ordre avec la condition initiale $v(0) = v_0$ donne : $v(t) = v_0 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$

Énergie cinétique initiale : $E_c(0) = \frac{1}{2} m v_0^2$
Énergie dissipée par effet Joule : La puissance instantanée dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ est : $P_J(t) = R i(t)^2 = R \left(\frac{B_0 L v(t)}{R}\right)^2 = \frac{B_0^2 L^2}{R} v(t)^2$

L’énergie totale $E_J$ dissipée de $t = 0$ à $t = +\infty$ est l’intégrale de cette puissance : $E_J = \int_{0}^{+\infty} P_J(t) \, \text{d}t = \frac{B_0^2 L^2}{R} \int_{0}^{+\infty} \left( v_0 e^{-t/\tau} \right)^2 \text{d}t$ $E_J = \frac{B_0^2 L^2 v_0^2}{R} \int_{0}^{+\infty} e^{-2t/\tau} \, \text{d}t$

En calculant l’intégrale : $\int_{0}^{+\infty} e^{-2t/\tau} \, \text{d}t = \left[ -\frac{\tau}{2} e^{-2t/\tau} \right]_{0}^{+\infty} = \frac{\tau}{2}$

En remplaçant $\tau$ par $\frac{m R}{B_0^2 L^2}$ : $E_J = \frac{B_0^2 L^2 v_0^2}{R} \times \frac{1}{2} \left(\frac{m R}{B_0^2 L^2}\right) = \frac{1}{2} m v_0^2$

Conclusion sur la conversion d’énergie : On constate que $E_J = E_c(0)$ . Intégralement, l’énergie cinétique initiale de la tige a été convertie en énergie électrique, puis entièrement dissipée sous forme thermique par effet Joule dans la résistance du circuit à cause des courants induits. C’est le principe de base du freinage par courants de Foucault (conversion électromécanique passive).