Cours : Électrocinétique

Électrocinétique – Fiche de Cours MPSI

Introduction et Cadre de l’Étude

L’électrocinétique étudie la circulation des charges électriques dans les conducteurs filiformes. Nous nous placerons exclusivement dans l’ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires).

Condition de l’ARQS : $\tau \ll T$ (ou $d \ll \lambda$ ), où $\tau$ est le temps de propagation des signaux électromagnétiques dans le circuit ( $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ ), $T$ la période du signal (ou le temps caractéristique de l’évolution) et $\lambda$ la longueur d’onde associée.
Conséquence : Les lois de l’électrostatique et de la magnétostatique (stationnaires) s’appliquent instantanément à chaque instant $t$ aux circuits électriques.

1. Variables et Composants de Base

Définitions Fondamentales

Intensité du courant ( $i(t)$ ) : Débit de charge traversant une section du fil. Exprimée en Ampères ( $\text{A}$ ). $i = \frac{dq}{dt}$ .
Potentiel électrique ( $V(M, t)$ ) : Grandeur scalaire mesurée en Volts ( $\text{V}$ ).
Tension ( $u(t)$ ) : Différence de potentiel entre deux points $A$ et $B$ : $u_{AB}(t) = V_A(t) - V_B(t)$ .

Conventions Récepteur et Générateur

Pour tout dipôle $D$ traversé par un courant $i$ et aux bornes duquel règne une tension $u$ :

Convention Récepteur : Les flèches de $u$ et $i$ sont de sens contraires. Le dipôle consomme de l’énergie.
Convention Générateur : Les flèches de $u$ et $i$ sont de même sens. Le dipôle fournit de l’énergie.

Les Dipôles Linéaires Passifs (Modèles de Thévenin)

Résistance (Ohmique) : Caractérisée par sa résistance $R$ $R$ en Ohms ( $\Omega$ $Ω$ ).
- Loi d’Ohm (Convention récepteur) : $u = R \cdot i$ avec $R > 0$ .
Condensateur : Caractérisé par sa capacité $C$ $C$ en Farads ( $\text{F}$ $F$ ).
- Relation charge-tension : $q = C \cdot u$ (en convention récepteur).
- Relation courant-tension : $i = C \frac{du}{dt}$ .
Bobine idéale : Caractérisée par son inductance $L$ $L$ en Henrys ( $\text{H}$ $H$ ).
- Relation courant-tension (Convention récepteur) : $u = L \frac{di}{dt}$ .

2. Lois Générales de l’Électrocinétique

Lois de Kirchhoff

Loi des Nœuds (Conservation de la charge) : $\sum_{\text{nœud}} i_k = 0$ (en comptant positivement les courants qui quittent le nœud, négativement ceux qui y arrivent).
Loi des Mailles (Conservativité du champ électrostatique dans l’ARQS) : Le long d’une maille orientée fermée, la somme algébrique des tensions est nulle : $\sum_{\text{maille}} u_k = 0$

Diviseurs de Tension et de Courant

Diviseur de tension (Association en série de résistors) : Soit $n$ résistors en série traversés par $i$ . La tension aux bornes du résistor $R_k$ est : $u_k = \frac{R_k}{\sum R_j} u_{\text{totale}}$
Diviseur de courant (Association en parallèle de résistors) : Soit deux résistors $R_1$ et $R_2$ en parallèle soumis à la même tension $u$ . Le courant $i_1$ traversant $R_1$ est : $i_1 = \frac{G_1}{G_1 + G_2} i_{\text{totale}} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} i_{\text{totale}}$ (avec $G = 1/R$ la conductance).

3. Théorèmes Généraux

Théorème de Millman

Soit un nœud $N$ relié à $n$ branches comportant chacune l’association en série d’une source idéale de tension $E_k$ et d’une résistance $R_k$ (ou un dipôle linéaire équivalent de Thévenin). Le potentiel du nœud $N$ , noté $V_N$ , est donné par : $V_N = \frac{\sum_{k=1}^n \frac{E_k}{R_k}}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}}$

Théorème de Thévenin

Tout dipôle linéaire actif équivalent (entre deux bornes $A$ et $B$ ) peut être remplacé par un modèle de Thévenin constitué :

D’une f.e.m. de Thévenin $E_{th}$ (tension à vide mesurée entre $A$ et $B$ : $E_{th} = u_{AB,\text{vide}}$ ).
En série avec une résistance de Thévenin $R_{th}$ (résistance équivalente vue entre $A$ et $B$ lorsque les sources indépendantes sont “éteintes” : sources de tension court-circuitées, sources de courant ouvertes).

$\boxed{u_{AB} = E_{th} - R_{th} i}$

Théorème de Norton

Tout dipôle linéaire actif équivalent (entre $A$ et $B$ ) peut être remplacé par un modèle de Norton constitué :

D’un courant électromoteur de Norton $I_{n}$ (courant de court-circuit circulant de $A$ vers $B$ lorsque $A$ et $B$ sont reliés par un fil : $I_n = i_{AB,\text{cc}}$ ).
En parallèle avec une résistance de Norton $R_N = R_{th}$ .

$\boxed{i = I_n - G_N u_{AB}}$

(Passage de Thévenin à Norton : $I_n = \frac{E_{th}}{R_{th}}$ et $R_N = R_{th}$ ).

4. Régimes Transitoires (Ordre 1 et 2)

Circuit RC ou RL (Ordre 1)

L’équation différentielle générale pour une grandeur $s(t)$ (tension ou courant) s’écrit sous la forme canonique : $\tau \frac{ds}{dt} + s = S_{\infty}$

$\tau$ est le temps caractéristique du système ( $\tau = RC$ pour un circuit RC, $\tau = \frac{L}{R}$ pour un circuit RL).
$S_{\infty}$ est la valeur de régime permanent ( $t \to +\infty$ ).

Solution générale : $s(t) = (s(0^+) - S_{\infty}) e^{-t/\tau} + S_{\infty}$

Circuit RLC Série (Ordre 2)

Soumis à un échelon de tension $E$ , l’intensité $i(t)$ ou la tension aux bornes du condensateur $u_C(t)$ vérifie une équation différentielle de la forme : $\frac{d^2s}{dt^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{ds}{dt} + \omega_0^2 s = \text{Second membre}$

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ est la pulsation propre du système ( $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ).
$Q$ est le facteur de qualité ( $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ pour un circuit RLC série).

Classification des régimes selon $Q$ (ou l’amortissement $\xi = \frac{1}{2Q}$ ) :

Régime apériodique ( $Q < 1/2$ ) : Deux racines réelles pour l’équation caractéristique. Retour rapide au calme sans oscillation.
Régime critique ( $Q = 1/2$ ) : Racine double. Retour au calme le plus rapide sans dépassement.
Régime pseudo-périodique ( $Q > 1/2$ ) : Racines complexes conjuguées. Oscillations amorties de pulsation $\omega = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$ .

5. Régime Sinusoïdal Forcé et Analyse Complexe

En régime sinusoïdal permanent (RSP), toute grandeur réelle $x(t) = X_m \cos(\omega t + \phi_x)$ est associée à une amplitude complexe $\underline{X} = X_m e^{j\phi_x}$ (avec $j^2 = -1$ ).

$x(t) = \text{Re}\left(\underline{X} e^{j\omega t}\right)$ .
La dérivation par rapport au temps $\frac{d}{dt}$ correspond en complexe à une multiplication par $j\omega$ .

Impédances Complexes $\underline{Z}$ ( $\underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}}$ )

Résistance : $\underline{Z}_R = R$
Condensateur : $\underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = - \frac{j}{\omega C}$
Bobine : $\underline{Z}_L = j\omega L$

Les lois de l’électrocinétique s’appliquent à l’identique avec les nombres complexes (Ponts diviseur, Millman, Thévenin avec des impédances complexes).

6. Méthodes et Savoir-Faire

Étude d’un circuit transitoire :
- Identifier la variable d’état (continuité de $u_C$ pour le condensateur, continuité de $i_L$ pour la bobine).
- Déterminer les conditions initiales à $t = 0^+$ en utilisant la continuité.
- Établir l’équation différentielle par la loi des mailles ou des nœuds.
- Résoudre (solution homogène + solution particulière).
Recherche d’une fonction de transfert (en complexe) :
- Identifier l’entrée $E$ et la sortie $S$ .
- Calculer $\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{S}}{\underline{E}}$ .
- Mettre sous forme canonique pour faire apparaître le gain statique, la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$ .

7. Pièges à Éviter (Attention aux Erreurs Classiques)

Continuité vs Discontinuité :
- $u_C$ est toujours continue (sauf si le courant est infini, ce qui est physiquement impossible).
- $i_L$ est toujours continu (sauf si la tension est infinie).
- Attention : $i_C$ et $u_L$ ne sont pas continus !
Erreur de signe dans les conventions : Toujours flécher explicitement $u$ et $i$ sur le schéma avant d’écrire la moindre équation (et bien préciser “en convention récepteur” ou “générateur”).
Oubli de l’ARQS : Ne jamais appliquer les lois des régimes stationnaires si la fréquence du signal est très élevée (ondes électromagnétiques pures dans les fils).
Puissance reçue vs fournie : Bien vérifier le signe de la puissance $P = u \cdot i$ en fonction de la convention choisie. En convention récepteur, $P > 0$ signifie que le dipôle consomme de la puissance.