Exercice 1 : Espaces euclidiens

PROBLÈME GUIDÉ : Étude d’un endomorphisme remarquable et minimisation vectorielle

---

⚠️ Avertissement de l’examinateur (Filière PC)

Ce problème aborde des notions fondamentales du programme de mathématiques de seconde année en filière PC : la géométrie euclidienne, le théorème spectral (réduction des endomorphismes symétriques), ainsi que des techniques de minimisation.

Ce type de sujet est extrêmement classique à l’écrit (CCINP, Mines-Ponts, Centrale-Supélec). L’examinateur portera une attention particulière à :

1. La rigueur des justifications (notamment l’utilisation correcte des hypothèses de symétrie et de positivité).
2. La clarté de la rédaction dans le passage de l’algèbre linéaire à l’analyse (calculs de normes et de distances).
3. L’esprit critique en fin de problème sur la nature des extrema trouvés.

---

Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n \ge 1$, muni du produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et de la norme associée $\|\cdot\|$. On considère un endomorphisme $u$ de $E$ qui est symétrique et positif, c’est-à-dire :

1. $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$ (symétrie)
2. $\forall x \in E, \quad \langle u(x), x \rangle \ge 0$ (positivité)

On introduit l’application $\Phi$ définie sur $E \times E$ par : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \varphi(x, y) = \langle u(x), y \rangle$

---

Partie I : Propriétés fondamentales de $\varphi$ et diagonalisation

Question 1

Montrer que l’application $\varphi$ définie par $\varphi(x, y) = \langle u(x), y \rangle$ est un produit scalaire sur $E$ si et seulement si $u$ est défini positif, c’est-à-dire si : $\forall x \in E \setminus \{0_E\}, \quad \langle u(x), x \rangle > 0$ Indication: Repasser par la définition des quatre axiomes d’un produit scalaire, en exploitant la symétrie et la positivité de $u$.*

---

Question 2

À l’aide du théorème spectral, justifier qu’il existe une base orthonormée $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$. On note $(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ les valeurs propres associées, rangées dans l’ordre croissant : $0 \le \lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n$ Que peut-on dire du signe des $\lambda_i$ ?

---

Partie II : Inégalités spectrales et extremums

On se place désormais dans le cas où $u$ est strictement positif (i.e., $\lambda_1 > 0$).

Question 3

Établir pour tout vecteur $x$ de $E$ de norme 1 ($\|x\| = 1$) les inégalités encadrant le terme $\langle u(x), x \rangle$ à l’aide des valeurs extrémales $\lambda_1$ et $\lambda_n$.

---

Question 4

On considère la fonction $f : E \setminus \{0_E\} \to \mathbb{R}$ définie par : $f(x) = \frac{\langle u(x), x \rangle}{\|x\|^2}$ Déterminer les bornes inf et sup de $f$ sur $E \setminus \{0_E\}$. Ces bornes sont-elles atteintes ?

---

---

CORRIGÉ PAS À PAS

Partie I : Propriétés fondamentales de $\varphi$ et diagonalisation

Correction de la Question 1

Analyse de l’examinateur : Il s’agit de vérifier si $\varphi$ définit une nouvelle structure préhilbertienne (voire euclidienne) sur $E$. Il faut tester les 4 propriétés d’un produit scalaire.

Soit $\varphi(x, y) = \langle u(x), y \rangle$. Vérifions les axiomes :

1. Symétrie : Par symétrie de l’endomorphisme $u$ et du produit scalaire initial : $\varphi(y, x) = \langle u(y), x \rangle = \langle x, u(y) \rangle = \langle u(x), y \rangle = \varphi(x, y)$ La forme est bien symétrique.
2. Bilinéarité : Par linéarité de $u$ et bilinéarité du produit scalaire initial : $\varphi(\alpha x_1 + x_2, y) = \langle u(\alpha x_1 + x_2), y \rangle = \langle \alpha u(x_1) + u(x_2), y \rangle = \alpha \langle u(x_1), y \rangle + \langle u(x_2), y \rangle$ $\varphi(\alpha x_1 + x_2, y) = \alpha \varphi(x_1, y) + \varphi(x_2, y)$ Par symétrie, elle est aussi linéaire à droite. $\varphi$ est donc bilinéaire.
3. Positivité : Par hypothèse, $u$ est positif, donc $\forall x \in E, \ \varphi(x, x) = \langle u(x), x \rangle \ge 0$.
4. Caractère défini : Supposons $\varphi(x, x) = 0$, c’est-à-dire $\langle u(x), x \rangle = 0$. Si $u$ est supposé défini positif, alors nécessairement $x = 0_E$.

Réciproquement, si $\varphi$ est un produit scalaire, il est défini, donc $\varphi(x,x) = 0 \implies x = 0_E$, ce qui implique la définition stricte.

---

Correction de la Question 2

Analyse de l’examinateur : Application directe et immédiate du cours. Ne pas oublier de mentionner le théorème spectral.

Puisque $u$ est un endomorphisme symétrique de l’espace euclidien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$, le théorème spectral garantit l’existence d’une base orthonormée $\mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$.

Soit $\lambda_i$ la valeur propre associée au vecteur $e_i$ ($u(e_i) = \lambda_i e_i$). Puisque $u$ est positif, on a : $\forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \langle u(e_i), e_i \rangle = \langle \lambda_i e_i, e_i \rangle = \lambda_i \|e_i\|^2 = \lambda_i \ge 0$ Les valeurs propres de $u$ sont donc toutes des nombres réels positifs ou nuls.

---

Partie II : Inégalités spectrales et extremums

Correction de la Question 3

Soit $x \in E$ tel que $\|x\| = 1$. Puisque $(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$, on peut décomposer $x$ dans cette base : $x = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i$ La condition $\|x\| = 1$ se réécrit, par isométrie de la base (Pythagore), sous la forme : $\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 1$

Calculons alors $\langle u(x), x \rangle$ : $\langle u(x), x \rangle = \left\langle u\left(\sum_{i=1}^n x_i e_i\right), \sum_{j=1}^n x_j e_j \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i \lambda_i e_i, \sum_{j=1}^n x_j e_j \right\rangle$ Par bilinéarité et orthogonalité de la base $(e_i)$ : $\langle u(x), x \rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \langle e_i, e_i \rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2$

Puisque $\lambda_1 \le \lambda_i \le \lambda_n$ pour tout $i$, on majore et minore ainsi : $\lambda_1 \sum_{i=1}^n x_i^2 \le \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \le \lambda_n \sum_{i=1}^n x_i^2$

Comme $\sum x_i^2 = 1$, on obtient l’encadrement fondamental : $\lambda_1 \le \langle u(x), x \rangle \le \lambda_n$

---

Correction de la Question 4

Soit $x \in E \setminus \{0_E\}$. Posons $y = \frac{x}{\|x\|}$, de sorte que $\|y\| = 1$. Par homogénéité, on a : $f(x) = \frac{\langle u(\|x\|y), \|x\|y \rangle}{\|x\|^2} = \frac{\|x\|^2 \langle u(y), y \rangle}{\|x\|^2} = \langle u(y), y \rangle$

D’après la question 3, lorsque $y$ parcourt la sphère unité, $\langle u(y), y \rangle$ prend ses valeurs dans l’intervalle $[\lambda_1, \lambda_n]$.

• Borne inférieure : $\inf_{x \neq 0} f(x) = \lambda_1$. Elle est atteinte pour $x = e_1$ (car $f(e_1) = \langle u(e_1), e_1 \rangle = \lambda_1$).
• Borne supérieure : $\sup_{x \neq 0} f(x) = \lambda_n$. Elle est atteinte pour $x = e_n$ (car $f(e_n) = \langle u(e_n), e_n \rangle = \lambda_n$).

---

💡 Analyse critique et bilan de l’examinateur

1. Ce qu’il fallait retenir : Le quotient de Rayleigh $f(x)$ est un outil puissant en physique-mathématique (mécanique des milieux continus, vibrations propres). Ses extrema sont atteints exactement sur les sous-espaces propres associés aux valeurs propres extrémales.
2. Piège classique évité : Ne pas oublier de diviser par $\|x\|^2$ pour ramener l’étude à la sphère unité. Le passage par la base orthonormée propre est l’unique voie efficace ici.