Exercice 2 : Gradient et différentielle

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Soit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre $n \ge 2$ . On rappelle que $E$ peut être muni de la norme euclidienne issue du produit scalaire canonique, dit produit scalaire de Frobenius, défini pour $A, B \in E$ par : $\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^\top B) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} b_{i,j}$ La norme associée est notée $\|A\| = \sqrt{\langle A, A \rangle}$ .

On considère l’application $f : E \to \mathbb{R}$ définie pour tout $A \in E$ par : $f(A) = \operatorname{Tr}(A^3) - 3 \operatorname{Tr}(A)$

L’objectif de ce problème est d’étudier la différentiabilité de $f$ , de calculer sa différentielle et son gradient, puis de rechercher et classifier ses extrema locaux.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Continuité et différentiabilité a) Justifier que l’application $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $E$ et exprimer sa différentielle $df(A)$ pour une matrice $A \in E$ quelconque et un accroissement $H \in E$ . b) Rappeler la définition du gradient de $f$ en $A$ , noté $\nabla f(A)$ , dans l’espace euclidien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ . Déterminer explicitement $\nabla f(A)$ en fonction de $A$ .
Recherche des points critiques a) Établir qu’une matrice $A \in E$ est un point critique de $f$ si et seulement si $3A^2 - 3I_n = 0$ , où $I_n$ désigne la matrice identité d’ordre $n$ . b) En déduire l’ensemble des points critiques de $f$ .
Étude locale et nature des extrema a) Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $E$ et calculer la différentielle seconde $d^2f(A)(H, H)$ pour $A, H \in E$ . b) Soit $A_0 = I_n$ . Étudier la nature du point critique $A_0$ à l’aide de $d^2f(A_0)$ . c) Soit $A_1 = -I_n$ . Étudier la nature du point critique $A_1$ à l’aide de $d^2f(A_1)$ .
Analyse globale et critique du modèle a) L’espace $E$ étant de dimension finie, que peut-on dire de l’existence d’extrema globaux pour $f$ ? b) Analyse critique : L’application $f$ admet-elle un maximum global sur $E$ ? Justifier rigoureusement en considérant les directions diagonales.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Question 1 : Pour calculer la différentielle, on pourra utiliser la linéarité de la trace et développer $f(A+H) - f(A)$ en négligeant les termes d’ordre supérieur ou égal à $2$ en $H$ . Pour le gradient, utilisez le théorème de représentation de Riesz qui relie $df(A)(H)$ à $\langle \nabla f(A), H \rangle$ .
Question 2 : Pensez à exploiter la cyclicité de la trace sous le produit scalaire pour identifier proprement le gradient.
Question 3 : La formule de Taylor-Young à l’ordre 2 permet de conclure quant à la nature des extrema locaux lorsque la différentielle seconde est définie (positive ou négative stricte).
Question 4 : Pour l’étude globale, pensez à examiner le comportement de $f$ le long d’une droite vectorielle ou sur les matrices diagonales lorsque les coefficients tendent vers l’infini.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Continuité et différentiabilité

a) L’application $A \mapsto A^3$ est une application polynomiale en les coefficients de la matrice $A$ (composée de produits matriciels, qui sont des applications bilinéaires). La trace est une application linéaire. Par conséquent, $f$ est une fonction polynomiale des coefficients $(a_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ de $A$ . Elle est donc de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $E$ .

Soit $A \in E$ et $H \in E$ un accroissement. Calculons $f(A+H)$ : $f(A+H) = \operatorname{Tr}((A+H)^3) - 3\operatorname{Tr}(A+H)$ Développons $(A+H)^3$ : $(A+H)^3 = (A^2 + AH + HA + H^2)(A+H) = A^3 + A^2H + AHA + AH^2 + HA^2 + HAH + H^2A + H^3$ En regroupant les termes d’ordre 1 en $H$ et en utilisant la linéarité de la trace : $\operatorname{Tr}((A+H)^3) = \operatorname{Tr}(A^3) + \operatorname{Tr}(A^2H + AHA + HA^2) + \mathcal{O}(\|H\|^2)$ Par la propriété cyclique de la trace ( $\operatorname{Tr}(XYZ) = \operatorname{Tr}(YZX) = \operatorname{Tr}(ZXY)$ ), on a : $\operatorname{Tr}(AHA) = \operatorname{Tr}(A^2H) \quad \text{et} \quad \operatorname{Tr}(HA^2) = \operatorname{Tr}(A^2H)$ Ainsi : $\operatorname{Tr}((A+H)^3) = \operatorname{Tr}(A^3) + 3\operatorname{Tr}(A^2H) + \mathcal{O}(\|H\|^2)$ De plus, $\operatorname{Tr}(A+H) = \operatorname{Tr}(A) + \operatorname{Tr}(H)$ . Finalement : $f(A+H) = f(A) + 3\operatorname{Tr}(A^2H) - 3\operatorname{Tr}(H) + \mathcal{O}(\|H\|^2)$ L’application $H \mapsto 3\operatorname{Tr}((A^2 - I_n)H)$ est linéaire et continue (car $E$ est de dimension finie). Donc $f$ est différentiable en $A$ et : $\forall H \in E, \quad df(A)(H) = 3\operatorname{Tr}((A^2 - I_n)H)$

b) Par définition, le gradient $\nabla f(A)$ est l’unique vecteur de $E$ tel que : $\forall H \in E, \quad df(A)(H) = \langle \nabla f(A), H \rangle$ En écrivant le produit scalaire de Frobenius : $\langle \nabla f(A), H \rangle = \operatorname{(\nabla f(A)}^\top H)$ Or, on a $df(A)(H) = 3\operatorname{Tr}((A^2 - I_n)H)$ . En identifiant avec le produit scalaire $\operatorname{Tr}(\nabla f(A)^\top H)$ , et sachant que la trace est symétrique par transposition (ou en choisissant la base canonique), on obtient : $\nabla f(A) = 3(A^2 - I_n)^\top = 3(A^\top\!^2 - I_n)$ (Remarque : si l’on se place dans le cas où les matrices sont symétriques, on aurait $\nabla f(A) = 3(A^2 - I_n)$ , mais ici $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sans restriction de symétrie, donc $A^\top$ intervient par transposition).

2. Recherche des points critiques

a) Une matrice $A \in E$ est un point critique de $f$ si et seulement si $\nabla f(A) = 0_E$ , ce qui équivaut à : $3(A^\top\!^2 - I_n) = 0_E \iff A^\top\!^2 = I_n$ Correction rigoureuse : Le gradient nul équivaut aussi à l’annulation de la différentielle pour tout $H$ , soit $A^2 - I_n = 0_E$ . En effet, si $\operatorname{Tr}((A^2 - I_n)H) = 0$ pour toute matrice $H$ , en choisissant $H = (A^2 - I_n)^\top$ , on obtient $\|A^2 - I_n\|^2 = 0$ , soit $A^2 = I_n$ .

b) Les points critiques de $f$ sont donc les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A^2 = I_n$ . Cet ensemble contient notamment $I_n$ et $-I_n$ , mais aussi une infinité d’autres matrices (par exemple, toute matrice de symétrie non triviale, ou des matrices par blocs, etc.).

3. Étude locale et nature des extrema

a) $f$ étant polynomiale, elle est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $E$ . Fixons un point $A \in E$ . La différentielle seconde $d^2f(A)$ s’obtient en différentiant l’application $H \mapsto 3\operatorname{Tr}((A^2 - I_n)H)$ par rapport à $A$ dans la direction d’un second accroissement $K \in E$ . En posant $g(A) = A^2$ , on a $dg(A)(K) = AK + KA$ . Ainsi : $d^2f(A)(H, K) = 3\operatorname{Tr}((d(A^2)(K))H) = 3\operatorname{Tr}((AK + KA)H)$ Pour $K = H$ , on obtient la forme quadratique : $d^2f(A)(H, H) = 3\operatorname{Tr}((AH + HA)H) = 3\operatorname{Tr}(AH^2 + HAH)$ Par cyclicité de la trace, $\operatorname{Tr}(HAH) = \operatorname{Tr}(H^2A)$ , donc : $d^2f(A)(H, H) = 3\operatorname{Tr}(AH^2 + H^2A) = 6\operatorname{Tr}(AH^2)$

b) Étude en $A_0 = I_n$ : On a $d^2f(I_n)(H, H) = 6\operatorname{Tr}(I_n H^2) = 6\operatorname{Tr}(H^2) = 6\|H\|^2$ . Pour tout $H \neq 0_E$ , $d^2f(I_n)(H, H) = 6\|H\|^2 > 0$ . La forme quadratique est définie positive. Par la condition suffisante d’extremum local, $A_0 = I_n$ est un minimum local strict de $f$ .

c) Étude en $A_1 = -I_n$ : On a $d^2f(-I_n)(H, H) = 6\operatorname{Tr}((-I_n)H^2) = -6\operatorname{Tr}(H^2) = -6\|H\|^2$ . Pour tout $H \neq 0_E$ , $d^2f(-I_n)(H, H) = -6\|H\|^2 < 0$ . La forme quadratique est définie négative. Par conséquent, $A_1 = -I_n$ est un maximum local strict de $f$ .

4. Analyse globale et critique du modèle

a) L’espace $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est de dimension finie ( $n^2$ ), mais l’ensemble de définition de $f$ est tout l’espace, qui n’est pas compact. Le théorème des bornes atteintes (Weierstrass) ne s’applique donc pas directement pour garantir l’existence d’un maximum ou d’un minimum global.

b) Analyse critique du modèle : Étudions le comportement de $f$ sur les matrices diagonales. Soit $A = \operatorname{diag}(x_1, x_2, \dots, x_n)$ une matrice diagonale. On a : $f(A) = \sum_{i=1}^n (x_i^3 - 3x_i)$ Considérons la fonction d’une variable réelle $h(x) = x^3 - 3x$ . On a $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -\infty$ . Si l’on choisit par exemple $x_1 = t$ (avec $t \to +\infty$ ) et $x_2 = \dots = x_n = 0$ , alors : $f(A) = t^3 - 3t \xrightarrow[t \to +\infty]{} +\infty$ De même, en faisant tendre $t$ vers $-\infty$ , $f(A) \to -\infty$ . Conclusion critique : L’application $f$ n’est ni majorée ni minorée sur $E$ . Par conséquent, $f$ n’admet aucun extremum global (ni maximum global, ni minimum global) sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , bien qu’elle admette des extrema locaux stricts en $I_n$ et $-I_n$ .