Cours : Cinématique du contact

Cours de Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - PTSI

Chapitre : Cinématique du contact

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Introduction et Position du Problème

En cinématique du solide, l’étude des liaisons mécaniques repose sur la modélisation géométrique des surfaces de contact entre les solides. La cinématique du contact s’attache à caractériser le mouvement relatif instantané de deux solides en contact ponctuel, linéique ou surfacique, en traduisant les conditions géométriques de non-interpénétration ou de roulement/glissement.

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1. Modélisation du contact entre deux solides

Soit deux solides $S_1$ et $S_2$ en contact géométrique au point $I$. On note $\mathcal{R}_0$ le repère galiléen (ou d’étude) associé au projet d’étude.

Définitions fondamentales :

• Plan tangent commun ($\pi$) : Pour des solides indéformables en contact régulier en $I$, c’est le plan tangent aux surfaces des solides au point $I$.
• Normale extérieure : On définit $\vec{n}_{1 \to 2}$ le vecteur unitaire normal au contact, dirigé de $S_1$ vers $S_2$.

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2. Vitesse de glissement et Champ des vitesses

Définition : Vitesse de glissement $\vec{V}_{G}(S_2/S_1)$

La vitesse de glissement du solide $S_2$ par rapport au solide $S_1$ au point de contact $I$ est par définition la vitesse du point géométrique de contact $I \in S_2$ par rapport au point coïncident $I \in S_1$ : $\vec{V}(I \in S_2 / S_1) = \left. \frac{d\vec{OI}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_2} - \left. \frac{d\vec{OI}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_1}$

Notation usuelle : $\vec{V}_{gl}(I) = \vec{V}(I \in S_2 / S_1)$.

Théorème : Champ des vitesses de glissement

Le champ des vitesses de glissement dans le plan tangent $\pi$ obéit aux lois de la cinématique du solide indéformable : $\forall M \in \pi, \quad \vec{V}(M \in S_2 / S_1) = \vec{V}(I \in S_2 / S_1) + \vec{\Omega}(S_2/S_1) \wedge \overrightarrow{IM}$

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3. Classification cinématique des contacts ponctuels et linéiques

Selon les degrés de liberté autorisés ou contraints par la géométrie du contact, on distingue plusieurs comportements cinématiques fondamentaux :

A. Le contact strictement sans glissement (Adhérence parfaite)

La condition cinématique de non-glissement au point de contact $I$ s’exprime par : $\vec{V}(I \in S_2 / S_1) = \vec{0}$

B. Le roulement pur

Il y a roulement pur si la vitesse de glissement est nulle et si le vecteur rotation instantanée n’a pas de composante normale (pas de pivotement pur). $\vec{V}(I \in S_2 / S_1) = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{\Omega}(S_2/S_1) \cdot \vec{n}_{1 \to 2} = 0$

C. Le pivotement pur

Caractérisé par une vitesse de glissement nulle en $I$, mais une rotation instantanée portée uniquement par la normale au contact : $\vec{V}(I \in S_2 / S_1) = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{\Omega}(S_2/S_1) = \omega \cdot \vec{n}_{1 \to 2}$

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4. Torseur cinématique du contact

Le torseur cinématique représentant le mouvement de $S_2$ par rapport à $S_1$ au point $I$ s’écrit : $\{\mathcal{V}(S_2/S_1)\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{\Omega}(S_2/S_1) \\ \vec{V}(I \in S_2/S_1) \end{array} \right\}_I$

En projetant dans le repère local lié au contact $(I, \vec{x}, \vec{y}, \vec{n})$, où $(\vec{x}, \vec{y})$ forme une base du plan tangent $\pi$ et $\vec{n} = \vec{n}_{1 \to 2}$ :

$\{\mathcal{V}(S_2/S_1)\} = \begin{pmatrix} p & \cdot \\ q & \cdot \\ r & \cdot \end{pmatrix}_{\text{base }(I, \vec{x}, \vec{y}, \vec{n})}$

• $p, q$ : composantes du roulement.
• $r$ : composante du pivotement.
• Les composantes de la vitesse de glissement $\vec{V}_{gl}(I)$ occupent la résultante du torseur si l’on manipule les mobilités.

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5. Méthode : Exploiter une condition de contact cinématique en PTSI

Pour résoudre un problème de cinématique du contact (typiquement en usinage, roulement à billes, ou contact roue/sol) :

1. Identifier les solides en présence : Isoler $S_1$ et $S_2$ et repérer le point géométrique de contact $I$.
2. Définir le repère local : Déterminer clairement la normale au contact $\vec{n}$ et le plan tangent $\pi$.
3. Traduire l’hypothèse physique :
   • Contact ponctuel sans glissement $\implies \vec{V}(I \in S_2 / S_1) = \vec{0}$.
   • Contact avec roulement sans glissement $\implies \vec{V}(I \in S_2 / S_1) = \vec{0}$ et relation géométrique sur les rayons de courbure.
4. Appliquer la formule de Varignon ou l’équiprojectivité pour propager les vitesses aux autres points d’intérêt du mécanisme.
5. Projeter les équations vectorielles dans le système d’axes adapté pour obtenir le système algébrique à résoudre.

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6. Pièges et Erreurs Classiques (Attention !)

• Confondre vitesse du point $I$ et vitesse du point coïncident : $\vec{V}(I \in S_2)$ dans $\mathcal{R}_0$ n’est pas la vitesse de glissement. La vitesse de glissement est une vitesse relative $\vec{V}(I \in S_2 / S_1)$.
• Oublier la non-interpénétration : Cinématiquement, un contact unilatéral impose que la composante normale de la vitesse vérifie $V_n(I \in S_2/S_1) \ge 0$ sous peine d’avoir décollement (hors cadre des liaisons parfaites bilatérales usuelles).
• Mauvaise orientation de la normale : Veillez à toujours orienter $\vec{n}$ de manière uniforme (généralement du solide 1 vers le solide 2) pour éviter des erreurs de signe dans les produits vectoriels et les torseurs.