Exercice 2 : Régimes transitoires

Problème guidé : Étude d’un circuit RLC série et aspects énergétiques

Matière : Physique-Chimie — Filière PTSI
Chapitre: ** Thermodynamique et Électrocinétique (Régimes transitoires)

Préambule et Objectifs

Ce problème propose l’étude d’un circuit électrique linéaire du second ordre soumis à un échelon de tension, couplé à une approche énergétique. L’objectif est de vérifier la maîtrise des méthodes de résolution des équations différentielles, l’analyse des différents régimes transitoires et l’interprétation physique des termes énergétiques (analogie thermodynamique).

Énoncé

On considère le circuit de la figure ci-dessous (modélisé par l’esprit du candidat) : un générateur idéal de tension délivrant une force électromotrice $E$ est branché en série avec un interrupteur $K$ , une résistance $R$ , une bobine réelle (modélisée par une inductance $L$ et une résistance interne $r$ ) et un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé.

À l’instant $t = 0$ , on ferme l’interrupteur $K$ .

Données numériques :

$E = 10\text{ V}$
$L = 0,1\text{ H}$
$C = 10\text{ }\mu\text{F}$
$R = 20\text{ }\Omega$
$r = 5\text{ }\Omega$

Partie I : Établissement de l’équation différentielle

Question 1

Représenter schématiquement le circuit (description textuelle ou schéma mental) et, en appliquant les lois de Kirchhoff, établir l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur $u_C(t)$ pour $t > 0$ .

Indice : Exprimez la tension aux bornes de l’ensemble de la branche en fonction des tensions partielles $u_R$ , $u_{\text{bobine}}$ et $u_C$ .

Partie Résolution et Correction Pas à Pas

Correction de la Question 1

Pour $t > 0$ , l’interrupteur est fermé. La loi des mailles s’écrit : $E = u_R(t) + u_{\text{bobine}}(t) + u_C(t)$

En utilisant les relations constitutives des composants :

$u_R(t) = R \, i(t)$
$u_{\text{bobine}}(t) = r \, i(t) + L \frac{d i}{d t}$
$i(t) = C \frac{d u_C}{d t}$

On en déduit l’expression de l’intensité et de sa dérivée : $i(t) = C \frac{d u_C}{d t} \quad \text{et} \quad \frac{d i}{d t} = C \frac{d^2 u_C}{d t^2}$

En regroupant les termes de résistance totale $R_{\text{tot}} = R + r$ , la loi des mailles devient : $E = (R + r) C \frac{d u_C}{d t} + L C \frac{d^2 u_C}{d t^2} + u_C(t)$

Soit sous forme canonique d’une équation différentielle du second ordre : $\frac{d^2 u_C}{d t^2} + \frac{R + r}{L} \frac{d u_C}{d t} + \frac{1}{LC} u_C(t) = \frac{E}{LC}$

Question 2

Mettre cette équation sous la forme canonique usuelle : $\frac{d^2 u_C}{d t^2} + 2\xi \omega_0 \frac{d u_C}{d t} + \omega_0^2 u_C(t) = \omega_0^2 E$ Exprimer la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur d’amortissement $\xi$ en fonction de $L$ , $C$ , $R$ et $r$ . Calculer leur valeur numérique.

Correction de la Question 2

Par identification avec l’équation canonique :

La pulsation propre : $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
Le coefficient d’amortissement : $2\xi \omega_0 = \frac{R + r}{L} \implies \xi = \frac{R + r}{2} \sqrt{\frac{C}{L}}$

A.N. :

$R_{\text{tot}} = 20 + 5 = 25\text{ }\Omega$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-6}}} = 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}$
$\xi = \frac{25}{2} \times \sqrt{\frac{10 \times 10^{-6}}{0,1}} = 12,5 \times \sqrt{10^{-4}} = 12,5 \times 10^{-2} = 0,125$

Question 3

Quel est le régime transitoire observé ? Justifier. Résoudre l’équation différentielle pour déterminer l’expression de $u_C(t)$ .

Correction de la Question 3

Puisque $\xi = 0,125 < 1$ , le système est en régime pseudo-périodique.

L’équation caractéristique associée est : $r^2 + 2\xi \omega_0 r + \omega_0^2 = 0$ Le discriminant réduit est $\Delta' = \xi^2 \omega_0^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2(\xi^2 - 1) < 0$ .
Les racines complexes conjuguées sont : $r_{1,2} = -\xi \omega_0 \pm j \omega_p$ où $\omega_p = \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2}$ est la pulsation pseudo-propre.

La solution générale de l’équation avec second membre est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière (constante $u_{C,\text{part}} = E$ ) : $u_C(t) = e^{-\xi \omega_0 t} (A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)) + E$

Détermination des constantes $A$ et $B$ à l’aide des conditions initiales à $t = 0^+$ :

Continuité de la tension aux bornes du condensateur (car le courant reste fini) :
$u_C(0^+) = u_C(0^-) = 0 \implies A + E = 0 \implies A = -E$
Continuité du courant (donc de la dérivée de $u_C$ ) puisque la bobine s’oppose à la variation instantanée du courant :
$i(0^+) = C \left. \frac{d u_C}{d t} \right|_{t=0^+} = 0 \implies \left. \frac{d u_C}{d t} \right|_{t=0^+} = 0$

En dérivant $u_C(t)$ : $\frac{d u_C}{d t} = -\xi \omega_0 e^{-\xi \omega_0 t} (A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t)) + e^{-\omega_0 t} \omega_p (-A \sin(\omega_p t) + B \cos(\omega_p t))$ À $t = 0$ : $\left. \frac{d u_C}{d t} \right|_{t=0} = -\xi \omega_0 A + \omega_p B = 0 \implies B = \frac{\xi \omega_0}{\omega_p} A = \frac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^2}} E$

Finalement : $u_C(t) = E \left[ 1 - e^{-\xi \omega_0 t} \left( \cos(\omega_p t) + \frac{\xi}{\sqrt{1 - \xi^2}} \sin(\omega_p t) \right) \ permanent \right]$

Partie II : Bilan énergétique et Analyse critique

Question 4

Établir l’équation bilan des puissances du circuit en multipliant l’équation de la maille par $i(t)$ . Interpréter physiquement chaque terme à la fin du régime transitoire (analogie avec le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert ou fermé).

Correction de la Question 4

En partant de la loi des mailles : $E = (R + r)i + L\frac{di}{dt} + u_C$ Multiplions par $i(t) = C \frac{du_C}{dt}$ : $E \, i(t) = (R + r)i^2(t) + L i(t) \frac{di}{dt} + u_C(t) i(t)$

En intégrant sur une durée longue (ou en considérant les formes différentielles d’énergie) :

$E \, i(t) = \frac{dE_{\text{gen}}}{dt}$ : Puissance fournie par le générateur.
$(R + r)i^2(t) = P_{\text{Joule}}(t)$ : Puissance dissipée par effet Joule par les résistances $R$ et $r$ .
$L i(t) \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} L i^2(t)\right) = \frac{dE_{\text{magn}}}{dt}$ : Variation de l’énergie magnétique stockée dans la bobine.
$u_C(t) C \frac{du_C}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} C u_C^2(t)\right) = \frac{dE_{\text{elec}}}{dt}$ : Variation de l’énergie électrostatique stockée dans le condensateur.

Analyse Critique et Discussion

Cohérence physique du régime :
Le facteur d’amortissement $\xi = 0,125$ étant largement inférieur à $1$ , le système oscille avant de converger vers la valeur $E = 10\text{ V}$ . Cette oscillation traduit un échange permanent d’énergie entre le champ magnétique de la bobine et le champ électrique du condensateur.
Dissipation énergétique :
À $t \to +\infty$ , le courant $i(t)$ s’annule (car $u_C$ atteint la constante $E$ ). L’énergie totale fournie par le générateur s’est donc intégralement partagée entre l’énergie stockée dans le condensateur ( $E_{\text{elec}} = \frac{1}{2} C E^2$ ) et l’énergie dissipée par effet Joule à travers les résistances $R$ et $r$ tout au long du régime transitoire.
Limites du modèle :
Le modèle linéaire suppose $L$ , $C$ , $R$ et $r$ constants. En pratique, la résistance interne de la bobine $r$ peut varier par effet Joule (chauffage du fil de cuivre, $\Delta T$ ), modifiant ainsi légèrement le facteur d’amortissement $\xi$ au cours du temps, ce qui constitue un couplage thermo-électrique non pris en compte ici.