Cours : Calcul différentiel à plusieurs variables
📌 1. Définitions & Cadre d’étude
Section titled “📌 1. Définitions & Cadre d’étude”Soit et deux espaces vectoriels normés (souvent de dimension finie, tels que et ). Soit un ouvert de et une application.
Différentiabilité en un point
Section titled “Différentiabilité en un point”On dit que est différentiable en un point s’il existe une application linéaire continue et une application telles que, pour tout tel que : avec .
Si une telle application existe, elle est unique. On la note ou , appelée différentielle de en .
Lien avec les dérivées partielles
Section titled “Lien avec les dérivées partielles”Si , la base canonique est notée . Si est différentiable en , alors admet des dérivées partielles par rapport à toutes ses variables en . La dérivée partielle par rapport à la -ème variable se note :
Matrice jacobienne
Section titled “Matrice jacobienne”Si et , la matrice de l’application linéaire dans les bases canoniques est la matrice jacobienne, notée :
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$$ --- ## 📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés ### Théorème de Schwarz (Symétrie des dérivées secondes) **Énoncé :** Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f : U \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $U$. Alors pour tout $a \in U$ et pour tout $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$, on a l'égalité des dérivées partielles croisées : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a)$$ --- ### Théorème de composition (Dérivation des fonctions composées) **Énoncé :** Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $V$ un ouvert de $\mathbb{R}^p$, $f : U \to V$ une application différentiable en $a \in U$, et $g : V \to \mathbb{R}^m$ une application différentiable en $b = f(a)$. Alors l'application composée $g \circ f : U \to \mathbb{R}^m$ est différentiable en $a$, et sa différentielle est donnée par la formule de composition : $$\text{d}(g \circ f)(a) = \text{d}g(f(a)) \circ \text{d}f(a)$$ **Traduction matricielle :** Les matrices jacobiennes se multiplient : $$J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \times J_f(a) \quad \text{avec} \quad J_{g \circ f}(a) \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}), \, J_g(f(a)) \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R}), \, J_f(a) \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$$ --- ## 💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes ### Algorithme de calcul de la différentielle 1. **Vérifier le domaine :** Préciser l'ouvert $U$ sur lequel la fonction est définie et étudier la régularité (les fonctions usuelles construites par sommes, produits, quotients de fonctions coordonnées sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur leur domaine). 2. **Calculer les dérivées partielles :** Pour chaque variable $x_i$, dériver la fonction en considérant les autres variables comme des constantes. 3. **Écrire la différentielle sous forme de forme linéaire :** $$\text{d}f(a) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \, \text{d}x_i$$ où les $\text{d}x_i$ désignent les formes coordonnées de $\mathbb{R}^n$. ### Recherche d'extremums locaux Soit $f : U \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^n$. 1. **Conditions nécessaires d'extremum local :** Si $a \in U$ est un extremum local (maximum ou minimum), alors $a$ est un **point critique** de $f$, c'est-à-dire : $$\text{d}f(a) = 0_{\mathcal{L}(E, \mathbb{R})} \iff \forall i \in \{1, \dots, n\}, \, \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0$$ 2. **Étude au voisinage d'un point critique (si $f$ est $\mathcal{C}^2$) :** On introduit la matrice hessienne $H_f(a) \in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ définie par $(H_f(a))_{i,j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)$. - Si les valeurs propres de $H_f(a)$ sont toutes strictement positives, $f$ présente un **minimum local** strict en $a$. - Si les valeurs propres de $H_f(a)$ sont toutes strictement négatives, $f$ présente un **maximum local** strict en $a$. - Si $H_f(a)$ possède des valeurs propres strictement positives et strictement négatives (et pas de valeur propre nulle), $a$ est un **point selle** (ou point col). --- ## ⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours 1. **Confondre continuité, existence des dérivées partielles et différentiabilité :** Une fonction peut admettre des dérivées partielles en un point sans y être continue (donc non différentiable). Pire, une fonction peut admettre des dérivées partielles partout sur un ouvert et **ne pas être continue** en un point. Pour garantir la différentiabilité, le théorème de continuité des dérivées partielles (classe $\mathcal{C}^1$) est suffisant mais non nécessaire. 2. **Oublier de préciser l'ouvert :** La notion de différentiabilité n'a de sens que sur les **ouverts** d'un espace vectoriel normé. Mentionner systématiquement que le domaine d'étude est un ouvert. 3. **Mauvaise manipulation des dimensions dans la règle de chaine :** Lors du calcul de $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) J_f(a)$, veillez scrupuleusement à la conformité des dimensions des matrices. Une erreur d'inversion entre lignes et colonnes dans la matrice jacobienne invalide immédiatement tout le calcul ultérieur de physique ou de mathématiques appliquées. 4. **Conclure hâtivement pour les points critiques :** Si la matrice hessienne est non inversible (présence d'au moins une valeur propre nulle), le test de second ordre est inopérant. Il faut alors recourir à l'étude locale directe de la fonction (par exemple, par développement limité ou par minoration/majoration le long de droites ou de paraboles passant par le point critique).