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CPGE Futur

Exercice : Propagation d ondes et bilan de Poynting

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique sinusoïdale plane et progressive dans un milieu matériel homogène, isotrope, linéaire et de conductivité non nulle γ\gamma (milieu ohmique). Le milieu est caractérisé par sa permittivité électrique ε\varepsilon et sa perméabilité magnétique μ\mu. On pose μ=μ0\mu = \mu_0 et ε=εrε0\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0.

Le champ électrique associé à l’onde est supposé polarisé rectilignement selon l’axe (Ou⃗x)(O\vec{u}_x) et se propage suivant l’axe (Oz⃗)(O\vec{z}). Sa notation complexe associée est : E⃗‾(z,t)=E‾0ej(ωt−k‾z)u⃗x\underline{\vec{E}}(z, t) = \underline{E}_0 e^{j(\omega t - \underline{k}z)} \vec{u}_x avec E‾0=E0ejφ0\underline{E}_0 = E_0 e^{j\varphi_0} une amplitude réelle positive, ωpulsation\omega pulsation de l’onde, et k‾=k′−jk′′\underline{k} = k' - j k'' le vecteur d’onde complexe (avec k′,k′′>0\text{avec } k', k'' > 0).

L’objectif de ce problème est d’établir l’équation de propagation dans ce milieu conducteur, de déterminer les caractéristiques de l’onde (atténuation, vitesse de phase) et d’analyser les transferts d’énergie par le biais du vecteur de Poynting et du théorème de Poynting local.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Équations de Maxwell et équation de propagation : En partant des équations de Maxwell dans le milieu (en régime quasi-stationnaire pour l’induction, ou général avec l’ARQS magnétique), établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique E⃗(z,t)\vec{E}(z,t).

  2. Injection de la solution complexe et relation de dispersion : En injectant la forme complexe E⃗‾(z,t)\underline{\vec{E}}(z,t) dans l’équation de propagation, exprimer le vecteur d’onde complexe k‾\underline{k} en fonction de ω\omega, μ0\mu_0, ε\varepsilon et γ\gamma.

  3. Analyse de l’onde et du milieu : a) Exprimer la constante de phase k′k' et la constante d’atténuation k′′k'' en fonction des paramètres du milieu et de la pulsation ω\omega. b) Définir la skin depth (épaisseur de peau) δ\delta et donner son expression. c) Discuter de l’influence de la conductivité γ\gamma sur la propagation (milieu bon conducteur vs diélectrique).

  4. Champ magnétique associé : À l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday, déterminer l’expression du champ magnétique complexe B⃗‾(z,t)\underline{\vec{B}}(z,t) associé à l’onde. Mettre en évidence le déphasage entre E⃗\vec{E} et B⃗\vec{B}.

  5. Bilan énergétique et vecteur de Poynting : a) Rappeler l’expression du vecteur de Poynting Π⃗\vec{\Pi} dans le vide, et son extension dans ce milieu. b) Calculer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting ⟨Π⃗⟩\langle \vec{\Pi} \rangle. Comment évolue-t-elle au cours de la propagation ? Interpréter physiquement. c) Énoncer le théorème de Poynting local et l’appliquer pour relier la variation spatiale de ⟨Π⃗⟩\langle \vec{\Pi} \rangle à la puissance volumique dissipée par effet Joule.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Attention aux unités en LaTeX : Utilisez toujours \text{...} pour les unités dans les expressions mathématiques (ex: Ω⋅m−1\Omega \cdot \text{m}^{-1}, V⋅m−1\text{V} \cdot \text{m}^{-1}).
  • Équations de Maxwell dans un milieu conducteur : N’oubliez pas d’inclure la loi d’Ohm locale j⃗=γE⃗\vec{j} = \gamma \vec{E} dans l’équation de Maxwell-Ampère.
  • Complexification : Les opérateurs temporels ∂∂t\frac{\partial}{\partial t} deviennent une multiplication par jωj\omega, et spatiaux ∂∂z\frac{\partial}{\partial z} une multiplication par −jk‾-j\underline{k}.
  • Moyenne temporelle : Pour le produit de deux grandeurs sinusoïdales complexes A‾\underline{A} et B‾\underline{B}, la moyenne temporelle du produit réel est ⟨A⋅B⟩=12Re(A‾ B‾∗)\langle A \cdot B \rangle = \frac{1}{2} \text{Re}(\underline{A} \, \underline{B}^*).

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Équations de Maxwell et équation de propagation

Section titled “1. Équations de Maxwell et équation de propagation”

Dans un milieu matériel linéaire, homogène, isotrope, sans charges libres macroscopiques (ρlibre=0\rho_{\text{libre}} = 0) mais conducteur de conductivité γ\gamma, les équations de Maxwell s’écrivent :

  • Maxwell-Gauss : div(εE⃗)=0  ⟹  div(E⃗)=0\text{div}(\varepsilon \vec{E}) = 0 \implies \text{div}(\vec{E}) = 0 (car milieu homogène)
  • Maxwell-Thomson : div(B⃗)=0\text{div}(\vec{B}) = 0
  • Maxwell-Faraday : rot(E⃗)=−∂B⃗∂t\text{rot}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
  • Maxwell-Ampère : rot(B⃗)=μ0j⃗+μ0ε∂E⃗∂t=μ0γE⃗+μ0ε∂E⃗∂t\text{rot}(\vec{B}) = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \mu_0 \gamma \vec{E} + \mu_0 \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} (en utilisant la loi d’Ohm j⃗=γE⃗\vec{j} = \gamma \vec{E})

Appliquons l’opérateur rotationnel à l’équation de Maxwell-Faraday : rot(rot(E⃗))=grad(div(E⃗))−ΔE⃗=−ΔE⃗\text{rot}\left(\text{rot}(\vec{E})\right) = \text{grad}\left(\text{div}(\vec{E})\right) - \Delta \vec{E} = -\Delta \vec{E} D’autre part : rot(−∂B⃗∂t)=−∂∂t(rot(B⃗))=−∂∂t(μ0γE⃗+μ0ε∂E⃗∂t)\text{rot}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\text{rot}(\vec{B})\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0 \gamma \vec{E} + \mu_0 \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) En égalant les deux expressions, on obtient l’équation de propagation de Helmholtz : ΔE⃗−μ0γ∂E⃗∂t−μ0ε∂2E⃗∂t2=0⃗\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} - \mu_0 \varepsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

2. Injection de la solution complexe et relation de dispersion

Section titled “2. Injection de la solution complexe et relation de dispersion”

La solution cherchée est E⃗‾(z,t)=E‾0ej(ωt−k‾z)u⃗x\underline{\vec{E}}(z, t) = \underline{E}_0 e^{j(\omega t - \underline{k}z)} \vec{u}_x. Les opérateurs se traduisent par :

  • ∂∂t→jω\frac{\partial}{\partial t} \rightarrow j\omega
  • ∂2∂t2→−ω2\frac{\partial^2}{\partial t^2} \rightarrow -\omega^2
  • Δ=∂2∂z2→(−k‾)2=k‾2\Delta = \frac{\partial^2}{\partial z^2} \rightarrow (-\underline{k})^2 = \underline{k}^2 (car E⃗\vec{E} ne dépend que de zz).

En injectant dans l’équation de propagation : −k‾2E⃗‾−μ0γ(jω)E⃗‾−μ0ε(−ω2)E⃗‾=0⃗-\underline{k}^2 \underline{\vec{E}} - \mu_0 \gamma (j\omega) \underline{\vec{E}} - \mu_0 \varepsilon (-\omega^2) \underline{\vec{E}} = \vec{0} En simplifiant par E⃗‾\underline{\vec{E}}, on obtient la relation de dispersion complexe : k‾2=μ0εω2−jμ0γω\underline{k}^2 = \mu_0 \varepsilon \omega^2 - j \mu_0 \gamma \omega

3. Analyse de l’onde et du milieu

Section titled “3. Analyse de l’onde et du milieu”

a) Constantes k′k' et k′′k'' : Posons k‾=k′−jk′′\underline{k} = k' - j k''. En élevant au carré : k‾2=(k′)2−(k′′)2−2jk′k′′=μ0εω2−jμ0γω\underline{k}^2 = (k')^2 - (k'')^2 - 2j k' k'' = \mu_0 \varepsilon \omega^2 - j \mu_0 \gamma \omega Par identification des parties réelle et imaginaire :

  1. (k′)2−(k′′)2=μ0εω2(k')^2 - (k'')^2 = \mu_0 \varepsilon \omega^2
  2. 2k′k′′=μ0γω2 k' k'' = \mu_0 \gamma \omega

De plus, le module de k‾2\underline{k}^2 est : ∣k‾2∣=(k′)2+(k′′)2=(μ0εω2)2+(μ0γω)2=μ0ωε2ω2+γ2|\underline{k}^2| = (k')^2 + (k'')^2 = \sqrt{(\mu_0 \varepsilon \omega^2)^2 + (\mu_0 \gamma \omega)^2} = \mu_0 \omega \sqrt{\varepsilon^2 \omega^2 + \gamma^2} En combinant l’équation 1 et le module, on obtient par somme et différence : k′=μ0εω22(1+(γεω)2+1)k' = \sqrt{\frac{\mu_0 \varepsilon \omega^2}{2} \left( \sqrt{1 + \left(\frac{\gamma}{\varepsilon \omega}\right)^2} + 1 \right)} k′′=μ0εω22(1+(γεω)2−1)k'' = \sqrt{\frac{\mu_0 \varepsilon \omega^2}{2} \left( \sqrt{1 + \left(\frac{\gamma}{\varepsilon \omega}\right)^2} - 1 \right)}

b) Épaisseur de peau δ\delta : L’amplitude du champ électrique varie en e−k′′ze^{-k'' z}. L’intensité ou l’amplitude est divisée par ee sur une distance caractéristique appelée épaisseur de peau δ\delta : δ=1k′′\delta = \frac{1}{k''}

c) Discussion selon la conductivité γ\gamma :

  • Milieu diélectrique parfait (γ=0\gamma = 0) : k′′=0k'' = 0, k′=ωμ0εk' = \omega \sqrt{\mu_0 \varepsilon}. L’onde se propage sans atténuation avec la vitesse de phase vϕ=ωk′=1μ0εv_\phi = \frac{\omega}{k'} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon}}.
  • Bon conducteur (γεω≫1\frac{\gamma}{\varepsilon \omega} \gg 1) : k′≈k′′≈μ0γω2k' \approx k'' \approx \sqrt{\frac{\mu_0 \gamma \omega}{2}} L’épaisseur de peau vaut alors δ≈2μ0γω\delta \approx \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}. L’onde est fortement atténuée sur de très faibles distances (effet de स्किन / skin effect).

4. Champ magnétique associé

Section titled “4. Champ magnétique associé”

À partir de l’équation de Maxwell-Faraday en régime complexe : rot(E⃗‾)=−jωB⃗‾\text{rot}(\underline{\vec{E}}) = -j\omega \underline{\vec{B}} Exprimons le rotationnel de E⃗‾\underline{\vec{E}} : rot(E⃗‾)=∇⃗∧(E‾xu⃗x)=−∂E‾x∂zu⃗y=−(−jk‾)E‾xu⃗y=jk‾E‾xu⃗y\text{rot}(\underline{\vec{E}}) = \vec{\nabla} \wedge (\underline{E}_x \vec{u}_x) = -\frac{\partial \underline{E}_x}{\partial z} \vec{u}_y = -(-j\underline{k}) \underline{E}_x \vec{u}_y = j\underline{k} \underline{E}_x \vec{u}_y On en déduit le champ magnétique complexe : B⃗‾=−1jωrot(E⃗‾)=−k‾ωE‾0ej(ωt−k‾z)u⃗y\underline{\vec{B}} = -\frac{1}{j\omega} \text{rot}(\underline{\vec{E}}) = -\frac{\underline{k}}{\omega} \underline{E}_0 e^{j(\omega t - \underline{k}z)} \vec{u}_y En posant B‾0=k‾ωE‾0\underline{B}_0 = \frac{\underline{k}}{\omega} \underline{E}_0, on constate que B⃗‾\underline{\vec{B}} est porté par u⃗y\vec{u}_y (trièdre direct (u⃗x,u⃗y,u⃗z)(\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z)). Le champ magnétique est déphasé par rapport au champ électrique en raison de la nature complexe de k‾=∣k‾∣ejθ\underline{k} = |\underline{k}|e^{j\theta}.

5. Bilan énergétique et vecteur de Poynting

Section titled “5. Bilan énergétique et vecteur de Poynting”

a) Expression du vecteur de Poynting : Dans tout milieu, le vecteur de Poynting traduisant le transport d’énergie électromagnétique s’écrit : Π⃗=1μ0E⃗∧B⃗\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \land \vec{B}

b) Valeur moyenne temporelle : En régime harmonique, la moyenne temporelle du vecteur de Poynting s’exprime à partir des amplitudes complexes : ⟨Π⃗⟩=12Re(1μ0E⃗‾∧B⃗‾∗)\langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re}\left(\frac{1}{\mu_0} \underline{\vec{E}} \land \underline{\vec{B}}^*\right) Avec E⃗‾=E‾0e−k′′zej(ωt−k′z)u⃗x\underline{\vec{E}} = \underline{E}_0 e^{-k''z} e^{j(\omega t - k'z)} \vec{u}_x et B⃗‾∗=−k‾∗ωE‾0∗e−k′′ze−j(ωt−k′z)u⃗y\underline{\vec{B}}^* = -\frac{\underline{k}^*}{\omega} \underline{E}_0^* e^{-k''z} e^{-j(\omega t - k'z)} \vec{u}_y. Le produit vectoriel donne u⃗x∧u⃗y=u⃗z\vec{u}_x \land \vec{u}_y = \vec{u}_z. En notant k‾=k′−jk′′=∣k‾∣e−jϕ\underline{k} = k' - j k'' = |\underline{k}| e^{-j\phi}, on obtient : ⟨Π⃗⟩=∣E‾0∣22μ0ωe−2k′′zRe(k‾∗)u⃗z=k′∣E‾0∣22μ0ωe−2k′′zu⃗z\langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{|\underline{E}_0|^2}{2 \mu_0 \omega} e^{-2k''z} \text{Re}(\underline{k}^*) \vec{u}_z = \frac{k' |\underline{E}_0|^2}{2 \mu_0 \omega} e^{-2k''z} \vec{u}_z Interprétation : ⟨Π⃗⟩\langle \vec{\Pi} \rangle est dirigé selon la direction de propagation u⃗z\vec{u}_z. Son module décroît spatialement en e−2k′′ze^{-2k''z}, ce qui traduit l’atténuation de l’onde : l’énergie électromagnétique est perdue au profit du milieu.

c) Théorème de Poynting local : Le théorème de Poynting local s’écrit : div⁡(Π⃗)+∂eem∂t=−j⃗⋅E⃗\operatorname{div}(\vec{\Pi}) + \frac{\partial e_{\text{em}}}{\partial t} = -\vec{j} \cdot \vec{E} En prenant la moyenne temporelle en régime permanent stationnaire en amplitude (la moyenne temporelle de ∂eem∂t\frac{\partial e_{\text{em}}}{\partial t} est nulle) : div⁡(⟨Π⃗⟩)=−⟨j⃗⋅E⃗⟩=−γ⟨E2⟩\operatorname{div}(\langle \vec{\Pi} \rangle) = -\langle \vec{j} \cdot \vec{E} \rangle = -\gamma \langle E^2 \rangle Vérifions-le avec notre expression : div⁡(⟨Π⃗⟩)=∂∂z(k′∣E‾0∣22μ0ωe−2k′′z)=−2k′′(k′∣E‾0∣22μ0ωe−2k′′z)\operatorname{div}(\langle \vec{\Pi} \rangle) = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{k' |\underline{E}_0|^2}{2 \mu_0 \omega} e^{-2k''z} \right) = -2k'' \left( \frac{k' |\underline{E}_0|^2}{2 \mu_0 \omega} e^{-2k''z} \right) Or, on a vu que 2k′k′′=μ0γω2k'k'' = \mu_0 \gamma \omega, soit 2k′k′′μ0ω=γ\frac{2k'k''}{\mu_0 \omega} = \gamma. Ainsi : div⁡(⟨Π⃗⟩)=−γ∣E‾0∣22e−2k′′z=−γ⟨E2⟩\operatorname{div}(\langle \vec{\Pi} \rangle) = -\gamma \frac{|\underline{E}_0|^2}{2} e^{-2k''z} = -\gamma \langle E^2 \rangle Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface de contrôle diminue exactement de la quantité d’énergie convertie en chaleur par effet Joule dans le milieu conducteur. Le bilan énergétique est rigoureusement vérifié.