Cours : Électrocinétique et Mécanique

Fiche de Cours : Électrocinétique et Mécanique

Niveau: ** MP2I (1ère année)
Matière : Physique-Chimie

Introduction et Outils Mathématiques

L’étude conjointe de l’électrocinétique et de la mécanique en première année de CPGE repose sur la modélisation de systèmes physiques par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. L’utilisation des nombres complexes (notation phasorielle en régime sinusoïdal) est un outil fondamental pour résoudre ces équations.

1. Électrocinétique : Rapports et Régimes Transitoires

1.1. Lois générales de l’électrocinétique

Loi d’Ohm locale et globale : Pour un resistor de résistance $R$ (\text{ohm}, $\Omega$ ), $u = Ri$ .
Lois de Kirchhoff :
- Loi des nœuds : $\sum_{\text{nœud}} i_k = 0$ .
- Loi des mailles : $\sum_{\text{maille}} u_k = 0$ .

1.2. Dipôles fondamentaux

Condensateur : $i = C \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t}$ ( $C$ en \text{farad}, $\text{F}$ ).
Bobine idéale : $u_L = L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ ( $L$ en \text{henry}, $\text{H}$ ).

1.3. Circuit RLC série en régime transitoire

Considérons un circuit série $(R, L, C)$ soumis à un échelon de tension $E$ . L’application de la loi des mailles conduit à l’équation différentielle suivante portant sur l’intensité $i(t)$ ou la tension aux bornes du condensateur $u_c(t)$ :

$\frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} \div \omega_0^2 u_c = \frac{\omega_0^2}{E} \dots \text{ (selon excitation)}$

Plus simplement, pour $u_c(t)$ : $\frac{\mathrm{d}^2 u_c}{\mathrm{d}t^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC} u_c = \frac{E}{LC}$

On introduit les paramètres caractéristiques :

Pulsation propre : $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ (\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}).
Facteur de qualité : $Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ (sans dimension).

Selon la valeur de $Q$ (ou du discriminant de l’équation caractéristique associée), on distingue trois régimes :

$Q > 1/2$ : Régime pseudo-périodique (oscillations amorties).
$Q = 1/2$ : Régime critique (retour à l’équilibre le plus rapide sans dépassement).
$Q < 1/2$ : Régime aéro-périodique (ou apériodique) (retour amorphe à l’équilibre).

2. Mécanique du Point Matériel

2.1. Cinématique du point

Dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$ , repéré par un système de coordonnées cartésiennes $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ :

Vecteur position : $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{e}_x + y(t)\vec{e}_y + z(t)\vec{e}_z$
Vecteur vitesse : $\vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{OM}}{\mathrm{d}t}$
Vecteur accélération : $\vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\vec{OM}}{\mathrm{d}t^2}$

2.2. Dynamique : Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel $M$ de masse $m$ constante :

$m \vec{a} = \sum \vec{F}_{\text{ext}}$

Exemple fondamental : Chute libre avec frottement fluide

Soit une bille de masse $m$ chutant verticalement dans un fluide exerçant une force de frottement $\vec{f} = -h \vec{v}$ ( $h > 0$ ). Le PFD projeté selon l’axe vertical descendant $Oz$ s’écrit :

$m \frac{\mathrm{d}v}{\text{d}t} = mg - hf \implies \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \frac{h}{m}v = g$

La solution de cette équation avec $v(0)=0$ est : $v(t) = v_{\text{lim}} \left( 1 - e^{-t/\tau} \} \right)$

Où :

Vitesse limite : $v_{\text{lim}} = \frac{mg}{h}$ (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}).
Temps caractéristiques : $\tau = \frac{m}{h}$ (\text{s}).

3. Analogie Électromécanique

Il existe un isomorphisme mathématique strict entre les équations régissant certains systèmes électriques et mécaniques. Cette analogie est fréquemment exploitée en MP2I pour la modélisation.

Grandeur Électrique	Grandeur Mécanique (Translatoire)
Tension $u$ (\text{V})	Force $F$ (\text{N})
Intensité $i$ (\text{A})	Vitesse $v$ (\text{m}\cdot\text{s}^{-1})
Inductance $L$ (\text{H})	Masse $m$ (\text{kg})
Résistance $R$ ( $\Omega$ )	Coefficient de frottement $h$ (\text{kg}\cdot\text{s}^{-1})
Inverse de la capacité $1/C$ ( $\text{F}^{-1}$ )	Raideur du ressort $k$ (\text{N}\cdot\text{m}^{-1})

Oscillateur RLC série : Équation en charge $q(t)$ ( $i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ ) : $L\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{C}q = E(t)$
Oscillateur Mécanique (masse-ressort-amortisseur) : Équation en position $x(t)$ ( $v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ ) : $m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + h\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx = F_{\text{ext}}(t)$

Démonstration Clé : Conservation de l’énergie mécanique pour un oscillateur harmonique

Considérons un système masse-ressort horizontal sans frottement ( $h=0$ ). Le PFD donne : $m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + kx = 0$

Multiplions cette équation scalairement par la vitesse $v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ :

$m \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + k x \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 0$

On reconnait les dérivées temporelles : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{1}{2} k x^2 \right) = 0$

Soit : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( E_c + E_p \right) = 0$

Où $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ est l’énergie cinétique et $E_p = \frac{1}{2}kx^2$ l’énergie potentielle élastique.
Conclusion: ** L’énergie mécanique totale $E_m = E_c + E_p$ est une constante du mouvement ( $\frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t} = 0$ ), ce qui traduit le caractère conservatif du système.