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CPGE Futur

Exercice 1 : Torseurs cinématiques

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

On s’intéresse à un mécanisme de levage industriel utilisé sur un chantier de BTP, modélisé par le système spatial schématisé ci-dessous.

Le système est rattaché à un bâti fixe noté 00. Il est composé de :

  • Un bras principal (solide 11) en liaison pivot d’axe (O,z⃗0)(O, \vec{z}_0) avec le bâti 00. On pose OA⃗=Lx⃗1\vec{OA} = L \vec{x}_1.
  • Un vérin hydraulique modélisé par deux solides en liaison glissière : le corps du vérin (solide 22) et la tige (solide 33).
    • La liaison entre le corps 22 et le bâti 00 est une liaison pivot d’axe (B,z⃗0)(B, \vec{z}_0). On note OB⃗=−hy⃗0\vec{OB} = -h \vec{y}_0.
    • La liaison entre la tige 33 et le bras 11 est une liaison pivot d’axe (C,z⃗0)(C, \vec{z}_0). On pose AC⃗=dx⃗1\vec{AC} = d \vec{x}_1.
  • Une charge (solide 44) en liaison pivot d’axe (A,z⃗0)(A, \vec{z}_0) avec le bras 11. Dans le cadre de cette étude cinématique, on se limitera à l’étude du mécanisme de déploiement (0→1→3→2)(0 \to 1 \to 3 \to 2).

Paramétrage et bases associées :

  • Base R0=(x⃗0,y⃗0,associeˊeauba^ti\mathcal{R}_0 = (\vec{x}_0, \vec{y}_0, associée au bâti 0$.
  • Base R1=(x⃗1,y⃗1,z⃗0)\mathcal{R}_1 = (\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_0) associée au solide 11, avec (x⃗0,x⃗1)=θz⃗0(\vec{x}_0, \vec{x}_1) = \theta \vec{z}_0. On a x⃗1=cos⁡θx⃗0+sin⁡θy⃗0\vec{x}_1 = \cos\theta \vec{x}_0 + \sin\theta \vec{y}_0 et y⃗1=−sin⁡θx⃗0+cos⁡θy⃗0\vec{y}_1 = -\sin\theta \vec{x}_0 + \cos\theta \vec{y}_0.
  • Le paramètre cinématique d’entrée est la vitesse de rotation θ˙=dθdt\dot{\theta} = \frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}.
  • Le paramètre de longueur du vérin est noté Lv=∥BC⃗∥L_v = \|\vec{BC}\|.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Paramétrage et fermeture géométrique

    • Exprimer le vecteur position BC⃗\vec{BC} dans la base R0\mathcal{R}_0 en fonction de LL, hh, dd et θ\theta.
    • En déduire l’expression de la longueur Lv(t)L_v(t) du vérin en fonction de ces mêmes paramètres.

  2. Champs des vitesses et torseurs cinématiques élémentaires

    • Définir et écrire le torseur cinématique de la liaison pivot entre le solide 11 et le bâti 00 au point OO, noté {V1/0}\{V_{1/0}\}.
    • Définir et écrire le torseur cinématique de la liaison pivot entre le corps 22 et le bâti 00 au point BB, noté {V2/0}\{V_{2/0}\}.

  3. Composition des vitesses et cinématique du vérin

    • Écrire la relation de composition des vitesses angulaires pour le mouvement de la tige 33 par rapport au corps 22 à travers le bras 11. Plus simplement, exprimer la fermeture cinématique via l’égalité des vitesses au point CC : V⃗(C∈3/0)=V⃗(C∈3/2)+V⃗(C∈2/0)\vec{V}(C \in 3/0) = \vec{V}(C \in 3/2) + \vec{V}(C \in 2/0).
    • En déduire la vitesse de coulissement de la tige L˙v=V⃗(C∈3/2)⋅u⃗23\dot{L}_v = \vec{V}(C \in 3/2) \cdot \vec{u}_{23} (où u⃗23\vec{u}_{23} est le vecteur unitaires dirigé de BB vers CC) en fonction de θ˙\dot{\theta} et de la géométrie du système.

  4. Analyse critique du modèle

    • Le modèle de liaison glissière entre 22 et 33 suppose des pièces parfaitement rigides. Citer un phénomène physique réel non modélisé ici qui pourrait modifier la loi entrée-sortie cinématique. Quel est l’impact sur le torseur cinématique de la liaison glissière ?

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Q1 : Utiliser la relation de Chasles vectorielle : BC⃗=BO⃗+OA⃗+AC⃗\vec{BC} = \vec{BO} + \vec{OA} + \vec{AC}. Projeter habilement sur (x⃗0,y⃗0)(\vec{x}_0, \vec{y}_0).
  • Q2 : Rappeler qu’une liaison pivot d’axe (A,z⃗0)(A, \vec{z}_0) impose une vitesse de rotation orientée selon z⃗0\vec{z}_0 et une vitesse nulle au point AA.
  • Q3 : Utiliser la dérivation vectorielle dans les différentes bases pour exprimer V⃗(C∈1/0)\vec{V}(C \in 1/0) et V⃗(C∈2/0)\vec{V}(C \in 2/0).
  • Q4 : Penser aux imperfections géométriques, aux jeux dans les liaisons et aux déformations élastiques (flexion/compression) des corps de vérin sous charge.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Paramétrage et fermeture géométrique

Section titled “1. Paramétrage et fermeture géométrique”

Par application de la relation de Chasles dans le triangle des positionnements : BC⃗=BO⃗+OA⃗+AC⃗\vec{BC} = \vec{BO} + \vec{OA} + \vec{AC} D’après l’énoncé : OB⃗=−hy⃗0  ⟹  BO⃗=hy⃗0\vec{OB} = -h \vec{y}_0 \implies \vec{BO} = h \vec{y}_0. De plus, OA⃗=Lx⃗1\vec{OA} = L \vec{x}_1 et AC⃗=dx⃗1\vec{AC} = d \vec{x}_1. Donc OA⃗+AC⃗=(L+d)x⃗1\vec{OA} + \vec{AC} = (L+d)\vec{x}_1. En remplaçant x⃗1\vec{x}_1 dans R0\mathcal{R}_0 : BC⃗=hy⃗0+(L+d)(cos⁡θx⃗0+sin⁡θy⃗0)\vec{BC} = h \vec{y}_0 + (L+d)(\cos\theta \vec{x}_0 + \sin\theta \vec{y}_0) BC⃗=(L+d)cos⁡θ x⃗0+(h+(L+d)sin⁡θ) y⃗0\vec{BC} = (L+d)\cos\theta \, \vec{x}_0 + (h + (L+d)\sin\theta) \, \vec{y}_0

La longueur du vérin Lv=∥BC⃗∥L_v = \|\vec{BC}\| s’obtient par la norme du vecteur : Lv2=((L+d)cos⁡θ)2+(h+(L+d)sin⁡θ)2L_v^2 = ((L+d)\cos\theta)^2 + (h + (L+d)\sin\theta)^2 Lv(t)=(L+d)2cos⁡2θ+h2+(L+d)2sin⁡2θ+2h(L+d)sin⁡θL_v(t) = \sqrt{(L+d)^2 \cos^2\theta + h^2 + (L+d)^2 \sin^2\theta + 2h(L+d)\sin\theta} En utilisant cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 : Lv(t)=(L+d)2+h2+2h(L+d)sin⁡θL_v(t) = \sqrt{(L+d)^2 + h^2 + 2h(L+d)\sin\theta}

2. Champs des vitesses et torseurs cinématiques élémentaires

Section titled “2. Champs des vitesses et torseurs cinématiques élémentaires”

  • Mouvement de 11 par rapport à 00 ({V1/0}\{V_{1/0}\} au point OO) : Le solide 11 est en liaison pivot d’axe (O,z⃗0)(O, \vec{z}_0) avec 00. Le vecteur taux de rotation est Ω⃗1/0=θ˙z⃗0\vec{\Omega}_{1/0} = \dot{\theta} \vec{z}_0. Le point OO appartient à l’axe de rotation, donc sa vitesse est nulle : V⃗(O∈1/0)=0⃗\vec{V}(O \in 1/0) = \vec{0}. Le torseur s’écrit : {V1/0}={Ω⃗1/0=θ˙z⃗0V⃗(O∈1/0)=0⃗}O\{V_{1/0}\} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}_{1/0} = \dot{\theta} \vec{z}_0 \\ \vec{V}(O \in 1/0) = \vec{0} \end{Bmatrix}_O

  • Mouvement de 22 par rapport à 00 ({V2/0}\{V_{2/0}\} au point BB) : Le corps du vérin 22 est en liaison pivot d’axe (B,z⃗0)(B, \vec{z}_0) avec 00. Soit ψ˙\dot{\psi} sa vitesse de rotation propre (attention, cette rotation est liée à la géométrie et n’est pas un degré de liberté indépendant si le système est isostatique, mais formalisons-la). {V2/0}={Ω⃗2/0=ψ˙z⃗0V⃗(B∈2/0)=0⃗}B\{V_{2/0}\} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}_{2/0} = \dot{\psi} \vec{z}_0 \\ \vec{V}(B \in 2/0) = \vec{0} \end{Bmatrix}_B

3. Composition des vitesses et cinématique du vérin

Section titled “3. Composition des vitesses et cinématique du vérin”

Exprimons la vitesse du point CC (qui appartient à la tige 33, liée elle-même au bras 11 en CC) par rapport au bâti 00 : Puisque C∈1C \in 1 et C∈3C \in 3 (liaison pivot en CC entre 11 et 33), on a V⃗(C∈3/0)=V⃗(C∈1/0)\vec{V}(C \in 3/0) = \vec{V}(C \in 1/0). Calculons cette vitesse via le champ des moments du torseur {V1/0}\{V_{1/0}\} : V⃗(C∈1/0)=V⃗(O∈1/0)+CO⃗∧Ω⃗1/0\vec{V}(C \in 1/0) = \vec{V}(O \in 1/0) + \vec{CO} \wedge \vec{\Omega}_{1/0} Avec CO⃗=−OA⃗−AC⃗=−(L+d)x⃗1\vec{CO} = -\vec{OA} - \vec{AC} = -(L+d)\vec{x}_1. V⃗(C∈1/0)=−(L+d)x⃗1∧θ˙z⃗0=(L+d)θ˙y⃗1\vec{V}(C \in 1/0) = -(L+d)\vec{x}_1 \wedge \dot{\theta}\vec{z}_0 = (L+d)\dot{\theta} \vec{y}_1

Par ailleurs, par composition des mouvements du point CC (considéré appartenant à 33, mouvement par rapport à 22, corps du vérin) : V⃗(C∈3/0)=V⃗(C∈3/2)+V⃗(C∈2/0)\vec{V}(C \in 3/0) = \vec{V}(C \in 3/2) + \vec{V}(C \in 2/0)

  • La vitesse de glissement est portée par l’axe du vérin u⃗23=BC⃗Lv\vec{u}_{23} = \frac{\vec{BC}}{L_v}. Donc V⃗(C∈3/2)=L˙vu⃗23\vec{V}(C \in 3/2) = \dot{L}_v \vec{u}_{23}.
  • La vitesse d’entraînement due à la rotation du corps 22 autour de BB s’exprime par : V⃗(C∈2/0)=V⃗(B∈2/0)+BC⃗∧Ω⃗2/0=0⃗+Lvu⃗23∧ψ˙z⃗0\vec{V}(C \in 2/0) = \vec{V}(B \in 2/0) + \vec{BC} \wedge \vec{\Omega}_{2/0} = \vec{0} + L_v \vec{u}_{23} \wedge \dot{\psi}\vec{z}_0

En projetant judicieusement ou en dérivant directement la relation scalaire Lv2=BC⃗⋅BC⃗L_v^2 = \vec{BC} \cdot \vec{BC}, on obtient par dérivation temporelle : 2LvL˙v=2BC⃗⋅dBC⃗dt2 L_v \dot{L}_v = 2 \vec{BC} \cdot \frac{\text{d}\vec{BC}}{\text{d}t} Or, dBC⃗dt=ddt((L+d)x⃗1)=(L+d)θ˙y⃗1\frac{\text{d}\vec{BC}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left((L+d)\vec{x}_1\right) = (L+d)\dot{\theta}\vec{y}_1. Donc : LvL˙v=BC⃗⋅((L+d)θ˙y⃗1)L_v \dot{L}_v = \vec{BC} \cdot \left( (L+d)\dot{\theta}\vec{y}_1 \right) En remplaçant BC⃗=hy⃗0+(L+d)x⃗1\vec{BC} = h\vec{y}_0 + (L+d)\vec{x}_1 et en sachant que y⃗0=sin⁡θx⃗1+cos⁡θy⃗1\vec{y}_0 = \sin\theta \vec{x}_1 + \cos\theta \vec{y}_1 (à vérifier selon orientation, restons cartésiens ou scalaires) : BC⃗⋅y⃗1=((L+d)cos⁡θx⃗0+(h+(L+d)sin⁡θ)y⃗0)⋅(−sin⁡θx⃗0+cos⁡θy⃗0)\vec{BC} \cdot \vec{y}_1 = \left( (L+d)\cos\theta \vec{x}_0 + (h + (L+d)\sin\theta)\vec{y}_0 \right) \cdot (-\sin\theta \vec{x}_0 + \cos\theta \vec{y}_0) =−(L+d)cos⁡θsin⁡θ+hcos⁡θ+(L+d)sin⁡θcos⁡θ=hcos⁡θ= -(L+d)\cos\theta\sin\theta + h\cos\theta + (L+d)\sin\theta\cos\theta = h\cos\theta On en déduit la vitesse de déploiement du vérin : L˙v=h(L+d)cos⁡θLvθ˙\dot{L}_v = \frac{h(L+d)\cos\theta}{L_v} \dot{\theta}

4. Analyse critique du modèle

Section titled “4. Analyse critique du modèle”
  • Phénomène physique non modélisé : La flexion du corps du vérin (solide 22) et de la tige (solide 33) sous l’effet des efforts de transmission, ainsi que les jeux mécaniques inévitables dans les liaisons pivots (qui ne sont jamais parfaits).
  • Impact sur le torseur cinématique : Dans une liaison glissière idéale entre 22 et 33, le torseur cinématique ne comporte qu’une seule composante non nulle (la translation suivant u⃗23\vec{u}_{23}). La prise en compte des défauts géométriques et des flexions engendre des parasites cinématiques : de petits mouvements parasites de rotation selon les axes transversaux (roulis et lacet) ainsi que des translations induites non désirées, modifiant légèrement la loi entrée-sortie L˙v=f(θ˙)\dot{L}_v = f(\dot{\theta}) établie théoriquement.