Skip to content
CPGE Futur

Exercice 1 : Équations de Maxwell dans le vide et bilans d énergie

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

On se place dans le cadre de l’électromagnétisme classique dans le vide. Le référentiel d’étude est supposé galiléen. Le vide est défini ici par l’absence de charges macroscopiques (ρ=0\rho = 0) et de courants macroscopiques (j⃗=0⃗\vec{j} = \vec{0}).

L’objectif de ce problème est d’établir l’équation de conservation de l’énergie électromagnétique (théorème de Poynting) à partir des équations de Maxwell, puis d’appliquer ce bilan à une onde plane progressive monochromatique (OPPM).

Données et constantes fondamentales :

  • Permittivité diélectrique du vide : ε0\varepsilon_0
  • Perméabilité magnétique du vide : μ0\mu_0
  • Vitesse de la lumière dans le vide : c=1ε0μ0c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”
  1. Rappel des équations de Maxwell : Écrire les équations de Maxwell dans le vide pour le champ électrique E⃗(M,t)\vec{E}(M, t) et le champ magnétique B⃗(M,t)\vec{B}(M, t).
  2. Structure des champs : En appliquant l’opérateur rotationnel à l’équation de Maxwell-Faraday, établir l’équation de propagation (ou d’onde) vérifiée par le champ E⃗\vec{E}. On rappellera l’identité vectorielle utile.
  3. Théorème de Poynting local :
    • a. En effectuant le produit scalaire de l’équation de Maxwell-Ampère par E⃗\vec{E} et de l’équation de Maxwell-Faraday par B⃗\vec{B}, exprimer les quantités E⃗⋅(∇⃗∧B⃗)\vec{E} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}) et B⃗⋅(∇⃗∧E⃗)\vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}).
    • b. À l’aide de l’analyse vectorielle, relier ces termes à la divergence d’un vecteur Π⃗\vec{\Pi} (vecteur de Poynting) et à la dérivée temporelle d’une grandeur scalaire uu (densité volumique d’énergie électromagnétique).
    • c. Mettre le résultat sous la forme d’une équation de conservation locale : ∂u∂t+∇⃗⋅Π⃗=0\frac{\partial u}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{\Pi} = 0. Préciser l’expression de uu et Π⃗\vec{\Pi} en fonction de E⃗\vec{E}, B⃗\vec{B}, ε0\varepsilon_0 et μ0\mu_0.
  4. Application aux OPPM : On considère une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la direction u⃗z\vec{u}_z, polarisée rectilignement selon u⃗x\vec{u}_x.
    • a. Rappeler la forme complexe associée E⃗‾\underline{\vec{E}} et B⃗‾\underline{\vec{B}}.
    • b. Exprimer la structure locale de l’onde (relation de Faraday).
    • c. Calculer la densité d’énergie électromagnétique uu et le vecteur de Poynting Π⃗\vec{\Pi}. En déduire la relation entre uu et Π⃗\vec{\Pi} pour une OPPM.
    • d. Définir l’intensité de l’onde II comme la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Q2 : Pensez à l’identité vectorielle ∇⃗∧(∇⃗∧V⃗)=∇⃗(∇⃗⋅V⃗)−ΔV⃗\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{V}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{V}) - \Delta \vec{V}. Dans le vide, ∇⃗⋅E⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0.
  • Q3 : Utilisez l’identité d’analyse vectorielle pour la divergence d’un produit mixte ou vectoriel : ∇⃗⋅(A⃗∧B⃗)=B⃗⋅(∇⃗∧A⃗)−A⃗⋅(∇⃗∧B⃗)\vec{\nabla} \cdot (\vec{A} \wedge \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}).
  • Q4 : Pour les calculs énergétiques avec des grandeurs harmoniques, attention aux produits de grandeurs réelles : ⟨cos⁡2(ωt−kz)⟩=12\langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle = \frac{1}{2}, et l’utilisation de la notation complexe nécessite de prendre la partie réelle avant d’effectuer des produits non linéaires (comme l’énergie ou le vecteur de Poynting).

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Équations de Maxwell dans le vide

Section titled “1. Équations de Maxwell dans le vide”

Dans le vide (ρ=0\rho = 0, j⃗=0⃗\vec{j} = \vec{0}), les équations de Maxwell s’écrivent :

  • Maxwell-Gauss : ∇⃗⋅E⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0
  • Maxwell-Thomson : ∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0
  • Maxwell-Faraday : ∇⃗∧E⃗=−∂B⃗∂t\vec{\nabla} \wedge \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
  • Maxwell-Ampère : ∇⃗∧B⃗=μ0ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla} \wedge \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

2. Équation de propagation pour le champ E⃗\vec{E}

Section titled “2. Équation de propagation pour le champ E⃗\vec{E}E”

Appliquons l’opérateur rotationnel à l’équation de Maxwell-Faraday : ∇⃗∧(∇⃗∧E⃗)=∇⃗∧(−∂B⃗∂t)\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) = \vec{\nabla} \wedge \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) En inversant l’ordre des dérivées spatiales et temporelles dans le membre de droite et en utilisant Maxwell-Ampère : ∇⃗∧(∇⃗∧E⃗)=−∂∂t(∇⃗∧B⃗)=−∂∂t(μ0ε0∂E⃗∂t)=−μ0ε0∂2E⃗∂t2\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} En utilisant l’identité vectorielle ∇⃗∧(∇⃗∧E⃗)=∇⃗(∇⃗⋅E⃗)−ΔE⃗\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta \vec{E}, et sachant que ∇⃗⋅E⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 (Maxwell-Gauss dans le vide) : −ΔE⃗=−μ0ε0∂2E⃗∂t2  ⟹  ΔE⃗−μ0ε0∂2E⃗∂t2=0⃗-\Delta \vec{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \implies \Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0} C’est l’équation de d’Alembert (ou équation de propagation) avec une célérité c=1μ0ε0c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}.

3. Théorème de Poynting local

Section titled “3. Théorème de Poynting local”

  • a. Multiustions scalaires : Multiplions Maxwell-Ampère par E⃗\vec{E} : E⃗⋅(∇⃗∧B⃗)=μ0ε0E⃗⋅∂E⃗∂t=μ0ε02∂∂t(E⃗2)\vec{E} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}) = \mu_0 \varepsilon_0 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{\mu_0 \varepsilon_0}{2} \frac{\partial}{\partial t}(\vec{E}^2) Multiplions Maxwell-Faraday par B⃗\vec{B} : B⃗⋅(∇⃗∧E⃗)=−B⃗⋅∂B⃗∂t=−12∂∂t(B⃗2)\vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) = -\vec{B} \cdot \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t}(\vec{B}^2)

  • b. et c. Combinaison et bilan : L’identité du produit vectoriel donne : ∇⃗⋅(E⃗∧B⃗μ0)=1μ0[B⃗⋅(∇⃗∧E⃗)−E⃗⋅(∇⃗∧B⃗)]\vec{\nabla} \cdot \left(\frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}\right) = \frac{1}{\mu_0} \Big[ \vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) - \vec{E} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}) \Big] En injectant les expressions précédentes : ∇⃗⋅(E⃗∧B⃗μ0)=1μ0[−12∂∂t(B⃗2)−μ0ε012∂∂t(E⃗2)]\vec{\nabla} \cdot \left(\frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}\right) = \frac{1}{\mu_0} \left[ -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t}(\vec{B}^2) - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t}(\vec{E}^2) \right] ∇⃗⋅(E⃗∧B⃗μ0)=−∂\partialt(ε02E2+12μ0B2)\vec{\nabla} \cdot \left(\frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}\right) = -\frac{\partial}{\text{\partial t}} \left( \frac{\varepsilon_0}{2} E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2 \right) On obtient l’équation de conservation locale ∂u∂t+∇⃗⋅Π⃗=0\frac{\partial u}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{\Pi} = 0 en identifiant :

    • La densité volumique d’énergie électromagnétique uu (\text{en } \text{J}\cdot\text{m}^{-3}) : u=12ε0E2+12μ0B2u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2
    • Le vecteur de Poynting Π⃗\vec{\Pi} (\text{en } \text{W}\cdot\text{m}^{-2}) représentant le flux surfacique d’énergie : Π⃗=1μ0E⃗∧B⃗\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \wedge \vec{B}

4. Application aux OPPM

Section titled “4. Application aux OPPM”

  • a. Forme complexe : E⃗‾(M,t)=E0e‾j(ωt−kz)u⃗x\underline{\vec{E}}(M, t) = E_0 \underline{e}^{j(\omega t - kz)} \vec{u}_x

  • b. Structure locale (Relation de Faraday) : Pour une OPPM, B⃗=1ω(k⃗∧E⃗)\vec{B} = \frac{1}{\omega} (\vec{k} \wedge \vec{E}). Avec k⃗=ku⃗z\vec{k} = k \vec{u}_z et kω=1c=μ0ε0\frac{k}{\omega} = \frac{1}{c} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} : B⃗(M,t)=1cu⃗z∧E⃗=E(z,t)cu⃗y\vec{B}(M, t) = \frac{1}{c} \vec{u}_z \wedge \vec{E} = \frac{E(z,t)}{c} \vec{u}_y On a donc B=EcB = \frac{E}{c} à tout instant.

  • c. Énergie et Vecteur de Poynting d’une OPPM : Calculons les contributions électriques et magnétiques de la densité d’énergie :

    • Partie électrique : 12ε0E2\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2
    • Partie magnétique : 12μ0B2=12μ0(Ec)2=12μ0μ0ε0E2=12ε0E2\frac{1}{2\mu_0} B^2 = \frac{1}{2\mu_0} \left(\frac{E}{c}\right)^2 = \frac{1}{2\mu_0} \mu_0 \varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Conclusion remarquable : L’énergie d’une OPPM se partage à parts égales entre le champ électrique et le champ magnétique (uelec=umagu_{\text{elec}} = u_{\text{mag}}). u=ε0E2=ε0E02cos⁡2(ωt−kz)u = \varepsilon_0 E^2 = \varepsilon_0 E_0^2 \cos^2(\omega t - kz)

    Pour le vecteur de Poynting : Π⃗=1μ0(Eu⃗x∧Ecu⃗y)=E2μ0cu⃗z=ε0cE2u⃗z=c u u⃗z\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} \left(E \vec{u}_x \wedge \frac{E}{c} \vec{u}_y\right) = \frac{E^2}{\mu_0 c} \vec{u}_z = \varepsilon_0 c E^2 \vec{u}_z = c \, u \, \vec{u}_z On remarque la relation fondamentale Π⃗=c u u⃗z\vec{\Pi} = c \, u \, \vec{u}_z.

  • d. Intensité de l’onde : L’intensité OUROUR (ou II) est la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting : I=⟨∥Π⃗∥⟩=ε0cE02⟨cos⁡2(ωt−kz)⟩I = \langle \|\vec{\Pi}\| \rangle = \varepsilon_0 c E_0^2 \langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle Puisque la moyenne temporelle de cos⁡2\cos^2 sur une période vaut 12\frac{1}{2} : I=12ε0cE02I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2