Cours : Réduction des endomorphismes

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$, avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Valeurs propres, vecteurs propres, spectres

• Définition : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est dit valeur propre de $u$ s’il existe un vecteur non nul $x \in E \setminus \{0_E\}$ tel que : $u(x) = \lambda x$ Le vecteur $x$ est alors appelé vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$. L’ensemble des valeurs propres de $u$, noté $\operatorname{Sp}(u)$, est appelé le spectre de $u$.
• Sous-espace propre : Pour $\lambda \in \operatorname{Sp}(u)$, on appelle sous-espace propre associé à $\lambda$, et on note $E_\lambda(u)$ (ou simplement $E_\lambda$), l’ensemble : $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda \operatorname{id}_E) = \{x \in E \mid u(x) = \lambda x\}$ $E_\lambda(u)$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et par définition d’une valeur propre, $E_\lambda(u) \neq \{0_E\}$.

Polynôme caractéristique

• Définition : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Le polynôme caractéristique de $A$ est défini par : $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$ (Certains auteurs utilisent $\det(A - \lambda I_n)$, ce qui diffère d’un signe $(-1)^n$). Pour un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$, on pose $\chi_u = \chi_{Mat_B(u)}$ où $B$ est une base quelconque de $E$ (cette définition est indépendante du choix de la base).
• Propriétés : $\chi_A$ est unitaire de degré $n$. Les valeurs propres de $A$ (ou de $u$) sont exactement les racines de $\chi_A$ dans $\mathbb{K}$.

Diagonalisabilité et Trigonalisabilité

• Diagonalisabilité : Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ (ou une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$) est dit diagonalisable s’il existe une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$. Matriciellement, il existe $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et une matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $A = P D P^{-1}$.
• Trigonalisabilité : Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est dit trigonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Théorème (Somme directe de sous-espaces propres)

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ des valeurs propres distinctes de $u$. La somme des sous-espaces propres $\sum_{i=1}^{p} E_{\lambda_i}(u)$ est directe.

Démonstration : Par récurrence sur le nombre $p$ de valeurs propres.

• Initialisation ($p=1$) : Triviale car un sous-espace propre est non réduit à $\{0_E\}$.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $p-1$. Soit $x_1 + \dots + x_p = 0_E$ avec $x_i \in E_{\lambda_i}(u)$ pour tout $i \in \llbracket 1, p \rrbracket$. Appliquons l’endomorphisme $u$ à cette relation : $\sum_{i=1}^{p} u(x_i) = \sum_{i=1}^{p} \lambda_i x_i = 0_E \quad (\text{relation } 1)$ Multiplions la relation initiale par $\lambda_p$ : $\sum_{i=1}^{p} \lambda_p x_i = 0_E \quad (\text{relation } 2)$ Faisons $(\text{relation } 1) - (\text{relation } 2)$ : $\sum_{i=1}^{p-1} (\lambda_i - \lambda_p) x_i = 0_E$ Par hypothèse de récurrence, les sous-espaces étant en somme directe, pour tout $i \in \llbracket 1, p-1 \rrbracket$, $(\lambda_i - \lambda_p) x_i = 0_E$. Puisque $\lambda_i \neq \lambda_p$ pour $i \neq p$, on en déduit que $x_i = 0_E$ pour tout $i \in \llbracket 1, p-1 \rrbracket$. La relation initiale se réduit alors à $x_p = 0_E$. La somme est donc directe. $\blacksquare$

Théorème de caractérisation de la diagonalisabilité

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ les valeurs propres distinctes de $u$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $u$ est diagonalisable.
2. $\sum_{i=1}^{p} \dim(E_{\lambda_i}(u)) = n$.
3. Le polynôme caractéristique $\chi_u(x)$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et, pour toute valeur propre $\lambda$, sa multiplicité algébrique $\alpha_\lambda$ est égale à sa multiplicité géométrique $\dim(E_\lambda(u))$.

Théorème de Cayley-Hamilton

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ (resp. $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$) et soit $\chi_u$ son polynôme caractéristique. Alors : $\chi_u(u) = 0_{\mathcal{L}(E)} \quad (\text{resp. } \chi_A(A) = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})})$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Algorithme de diagonalisation d’une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

1. Calculer le polynôme caractéristique : Calculer $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$ par des operations sur les lignes et colonnes pour obtenir une forme factorisée.
2. Identifier les valeurs propres : Determiner les racines $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ de $\chi_A$ et leurs multiplicités respectives $\alpha_1, \dots, \alpha_p$.
3. Tester la condition nécessaire : Si $\sum_{i=1}^p \alpha_i < n$ (et $\mathbb{K} = \mathbb{C}$), ou si le polynôme n’est pas scindé (si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$), alors $A$ n’est pas diagonalisable.
4. Déterminer les sous-espaces propres : Pour chaque $\lambda_i$, résoudre le système linéaire homogène $(A - \lambda_i I_n)X = 0_{\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}$ pour expliciter une base de $E_{\lambda_i}$.
5. Vérifier les dimensions : Pour chaque $i$, calculer $\dim(E_{\lambda_i}) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda_i I_n)$. Vérifier si $\dim(E_{\lambda_i}) = \alpha_i$ pour tout $i$.
6. Conclure et inverser : Si oui, concaténer les bases pour former la matrice de passage $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et écrire $A = PDP^{-1}$.

Réduction des endomorphismes symétriques (HP Programme PSI - Cas réel)

Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est orthogonalement diagonalisable (Théorème spectral) : il existe une base orthonormée de $E$ constituée de vecteurs propres.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confondre multiplicité algébrique et géométrique : On a toujours l’inégalité $1 \le \dim(E_\lambda) \le \alpha_\lambda$. L’égalité n’est pas garantie en general.
2. Oublier de préciser le corps $\mathbb{K}$ : Une matrice réelle peut tout à fait n’avoir aucune valeur propre réelle (ex: une rotation d’angle $\pi/2$). Préciser systématiquement si l’on travaille dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
3. Inverser la matrice de passage : Dans la formule $A = PDP^{-1}$, les colonnes de $P$ doivent être les coordonnées des vecteurs propres écrits dans le même ordre que les valeurs propres sur la diagonale de $D$. Une erreur d’ordre conduit à un calcul faux.
4. Mauvaise utilisation de Cayley-Hamilton : Le théorème de Cayley-Hamilton sert à annuler une matrice par son propre polynôme caractéristique, mais ce n’est pas le polynôme minimal. N’utilisez pas $\chi_A$ pour trouver l’inverse d’une matrice si un polynôme annulateur de plus faible degré est évident.