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CPGE Futur

Exercice 2 : Lentilles minces et instruments

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

L’optique géométrique fournit un cadre puissant pour modéliser les instruments d’optique usuels. Dans ce problème, on s’intéresse à l’association de deux lentilles minces sphériques coaxiales, constituant un système optique centré, et à son application à la réalisation d’une lunette afocale. L’étude abordera la recherche des foyers du système global, l’établissement de la relation de conjugaison, puis l’analyse critique des limites du modèle paroxystique (conditions de Gauss) et de l’impact des diaphragmes.

On considère un système optique S\mathcal{S} constitué de deux lentilles minces coaxiales L1L_1 et L2L_2, de centres optiques respectifs O1O_1 et O2O_2 et de distances focales images respectives O1F1′‾=f1′\overline{O_1F_1'} = f_1' et O2F2′‾=f2′\overline{O_2F_2'} = f_2'. L’axe optique commun est orienté dans le sens de propagation de la lumière. On pose l’intervalle optique Δ=F1′F2‾\Delta = \overline{F_1'F_2} et la distance inter-lentilles e=O1O2‾e = \overline{O_1O_2}.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”

  1. Relation de position et intervalle optique Exprimer l’intervalle optique Δ\Delta en fonction de ee, f1′f_1' et f2′f_2'. Préciser la condition pour que ce système soit dit “réel”.

  2. Foyers principaux du système global

    • a) Rappeler la définition du foyer principal image F′F' d’un système optique centré.
    • b) En considérant un rayon incident parallèle à l’axe optique, déterminer la position du foyer principal image F′F' du système S\mathcal{S} par rapport à O2O_2, c’est-à-dire la distance focale image globale f′=O2F′‾f' = \overline{O_2F'}. On exprimera f′f' en fonction de f1′f_1', f2′f_2' et Δ\Delta.
    • c) Par symétrie ou par un raisonnement analogue, exprimer la distance focale objet globale f=O1F‾f = \overline{O_1F} en fonction de f1′f_1', f2′f_2' et Δ\Delta.

  3. Construction et étude d’une lunette afocale

    • a) Définir ce qu’est un système afocal. Quelle est la particularité de son foyer image (et de son foyer objet) ?
    • b) On associe une lentille objective L1L_1 convergente de distance focale f1′>0f_1' > 0 et une lentille oculaire L2L_2 divergente de distance focale f2′<0f_2' < 0. Pour constituer une lunette de Galilei afocale, quelle relation doit lier ee, f1′f_1' et f2′f_2' ?
    • c) Définir le grossissement GG de la lunette pour un objet situé à l’infini, en fonction des angles α\alpha (sous lequel l’objet est vu à l’œil nu) et α′\alpha' (sous lequel l’image définitive est vue à travers la lunette). Exprimer GG en fonction des distances focales f1′f_1' et f2′f_2'.

  4. Analyse critique et limites du modèle

    • a) Le modèle des lentilles minces repose sur l’approximation de Gauss. Quelles sont les deux conditions fondamentales de cette approximation ? Quelles sont les conséquences d’un non-respect de ces conditions sur la formation des images (abérations géométriques usuelles) ?
    • b) Dans une lunette réelle, le diamètre de la pupille d’entrée est limité par le support de la lentille L1L_1. Quel est le rôle de la mise en place d’un diaphragme d’ouverture dans le plan focal image de l’objectif ? Discuter de l’influence de la diffraction sur la résolution maximale de l’instrument.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Utilisez la relation de Chasles pour décomposer la distance F1′F2‾\overline{F_1'F_2} à partir des points O1O_1 et O2O_2.
  • Question 2 : Suivez le trajet d’un faisceau incident parallèle à l’axe optique : il converge d’abord vers F1′F_1' à travers L1L_1, ce point intermédiaire jouant le rôle d’objet virtuel pour la lentille L2L_2. Appliquez la formule de conjugaison de Descartes ou de Newton pour L2L_2.
  • Question 3 : Un système afocal transforme un faisceau parallèle en un faisceau parallèle. Cela signifie que le foyer image de L1L_1 doit se confondre avec le foyer objet de L2L_2.
  • Question 4 : Pensez aux angles par rapport à l’axe optique et aux hauteurs d’incidence. Pour la diffraction, utilisez le critère de Rayleigh.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Relation de position et intervalle optique

Section titled “1. Relation de position et intervalle optique”

Par définition, l’intervalle optique est la distance algébrique Δ=F1′F2‾\Delta = \overline{F_1'F_2}. En utilisant la relation de Chasles et sachant que e=O1O2‾e = \overline{O_1O_2} : Δ=F1′O1‾+O1O2‾+O2F2‾\Delta = \overline{F_1'O_1} + \overline{O_1O_2} + \overline{O_2F_2} Or, F1′O1‾=−f1′\overline{F_1'O_1} = -f_1' et O2F2‾=−f2′\overline{O_2F_2} = -f_2' (puisque F2F_2 est le foyer objet de L2L_2, situé à une distance −f2′-f_2' de O2O_2 dans le cas général, attention aux conventions : O2F2‾=f2\overline{O_2F_2} = f_2 avec f2=−f2′f_2 = -f_2' pour une lentille mince, donc O2F2‾=−f2′\overline{O_2F_2} = -f_2'). Plus simplement, avec O1F1′‾=f1′\overline{O_1F_1'} = f_1' et O2F2′‾=f2′\overline{O_2F_2'} = f_2' : Le foyer objet de L2L_2 est situé en un point F2F_2 tel que O2F2‾=−f2′\overline{O_2F_2} = -f_2' (si l’on pose f2′f_2' la focale image, la focale objet est f2=−f2′f_2 = -f_2'). Ainsi, en décomposant F1′F2‾\overline{F_1'F_2} : Δ=e−f1′−f2′\Delta = e - f_1' - f_2' Pour que le système soit réel (les foyers intermédiaires sont accessibles sur le banc d’optique), il faut que les foyers F1′F_1' et F2F_2 ne soient pas confondus et soient ordonnés physiquement, soit Δ>0\Delta > 0 si l’on considère l’ordre de traversée, ou simplement e>f1′+f2′e > f_1' + f_2' dans le cas où les deux lentilles sont convergentes.

2. Foyers principaux du système global

Section titled “2. Foyers principaux du système global”
  • a) Le foyer principal image F′F' d’un système centré est le point conjugué d’un point situé à l’infini sur l’axe optique dans le sens incident. Tout rayon incident parallèle à l’axe optique émerge du système en passant par F′F'.
  • b) Soit un rayon incident parallèle à l’axe optique. Il traverse L1L_1 et converge vers son foyer image F1′F_1'. Le point F1′F_1' joue le rôle d’objet (virtuel ou réel) pour la lentille L2L_2. La position de ce point objet intermédiaire par rapport au centre O2O_2 est : O2F1′‾=O2O1‾+O1F1′‾=−e+f1′=−(e−f1′)\overline{O_2F_1'} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1F_1'} = -e + f_1' = -(e - f_1') Appliquons la relation de conjugaison avec origines aux centres pour la lentille L2L_2 : 1O2F′‾−1O2F1′‾=1f2′\frac{1}{\overline{O_2F'}} - \frac{1}{\overline{O_2F_1'}} = \frac{1}{f_2'} On substitue O2F1′‾\overline{O_2F_1'} : 1O2F′‾−1−e+f1′=1f2′  ⟹  1f′=1f2′+1−e+f1′\frac{1}{\overline{O_2F'}} - \frac{1}{-e + f_1'} = \frac{1}{f_2'} \implies \frac{1}{f'} = \frac{1}{f_2'} + \frac{1}{-e + f_1'} En remplaçant −e+f1′-e + f_1' par −Δ−f2′-\Delta - f_2' (d’après Δ=e−f1′−f2′  ⟹  −e+f1′=−f2′−Δ\Delta = e - f_1' - f_2' \implies -e + f_1' = -f_2' - \Delta) : 1f′=1f2′−1f2′+Δ=(f2′+Δ)−f2′f2′(f2′+Δ)=Δf2′(f2′+Δ)\frac{1}{f'} = \frac{1}{f_2'} - \frac{1}{f_2' + \Delta} = \frac{(f_2' + \Delta) - f_2'}{f_2'(f_2' + \Delta)} = \frac{\Delta}{f_2'(f_2' + \Delta)} D’où la distance focale image globale : f′=f1′f2′Δf' = \frac{f_1' f_2'}{\Delta} (en notant que f2′+Δ=f2′+e−f1′−f2′=e−f1′=−(O2F1′‾)f_2' + \Delta = f_2' + e - f_1' - f_2' = e - f_1' = -(\overline{O_2F_1'})). Plus rigoureusement, en partant de −e+f1′=−(f1′+Δ)-e + f_1' = -(f_1' + \Delta), on obtient f′=−f1′f2′Δf' = -\frac{f_1' f_2'}{\Delta}.
  • c) Par symétrie du système ou par un calcul mené en sens inverse (en étudiant un rayon issu du foyer objet FF), on trouve la distance focale objet globale : f=−f1′f2′Δf = -\frac{f_1' f_2'}{\Delta}

3. Construction et étude d’une lunette afocale

Section titled “3. Construction et étude d’une lunette afocale”
  • a) Un système est dit afocal lorsqu’il est stigmatique pour l’infini : son foyer image F′F' (et son foyer objet FF) est rejeté à l’infini. Il transforme tout faisceau parallèle incident en un faisceau parallèle émergeant.
  • b) Pour qu’un système de deux lentilles soit afocal, il faut que le foyer image de la première lentille F1′F_1' soit confondu avec le foyer objet de la seconde lentille F2F_2. Puisque Δ=F1′F2‾\Delta = \overline{F_1'F_2}, la condition afocale s’écrit : Δ=0soite=f1′+f2′\Delta = 0 \quad \text{soit} \quad e = f_1' + f_2' Pour une lunette de Galilei, l’objectif est convergent (f1′>0f_1' > 0) et l’oculaire est divergent (f2′<0f_2' < 0). La condition s’écrit donc e=f1′−∣f2′∣e = f_1' - |f_2'|.
  • c) Le grossissement GG est défini par le rapport des diamètres apparents : G=α′αG = \frac{\alpha'}{\alpha} Où α\alpha est l’angle sous lequel l’objet (à l’infini) est vu à travers l’objectif, et α′\alpha' l’angle sous lequel l’image définitive est vue à travers l’oculaire. Pour la lentille L1L_1, un objet de taille transversale intermédiaire ABAB dans le plan focal commun donne α≃AB‾f1′\alpha \simeq \frac{\overline{AB}}{f_1'}. Pour la lentille L2L_2, α′≃AB‾−f2′\alpha' \simeq \frac{\overline{AB}}{-f_2'} (ou AB‾f2\frac{\overline{AB}}{f_2} avec f2f_2 focale objet de L2L_2). En effectuant le rapport : G=−f1′f2′G = -\frac{f_1'}{f_2'} Dans le cas d’une lunette de Galilei (f2′<0f_2' < 0), G>1G > 1, l’image est droite et grossie.

4. Analyse critique et limites du modèle

Section titled “4. Analyse critique et limites du modèle”
  • a) L’approximation de Gauss repose sur deux conditions majeures :
    1. Conditions d’incidence paraxysmique : Les rayons lumineux font des angles faibles avec l’axe optique (sin⁡θ≈θ\sin \theta \approx \theta, tan⁡θ≈θ\tan \theta \approx \theta) et traversent les lentilles au voisinage immédiat du centre optique.
    2. Stigmatisme approché : Les plans de front sont assimilés à des plans perpendiculaires à l’axe. Le non-respect de ces conditions entraîne l’apparition d’aberrations géométriques :
    • Aberrations chromatiques (dépendantes de la longueur d’onde λ\lambda car l’indice n(λ)n(\lambda) varie).
    • Aberrations monochromatiques d’ordre supérieur : sphéricité (les rayons marginaux ne convergent pas au même point que les rayons paraxiaux), coma, astigmatisme, courbure de champ et distorsion.
  • b) Le diaphragme d’ouverture placé dans le plan focal image de l’objectif (qui est aussi le plan focal objet de l’oculaire) sert de stigmatisant de champ ou de limiteur de faisceau, définissant la pupille de sortie. Cependant, même dans l’approximation de Gauss, la nature ondulatoire de la lumière impose une limite fondamentale : la diffraction. Un point objet n’est pas ponctuel mais donne une tâche d’Airy dont le rayon angulaire minimal est donné par le critère de Rayleigh : θmin≈1,22λD\theta_{\text{min}} \approx 1{,}22 \frac{\lambda}{D} où DD est le diamètre de la pupille d’entrée (objectif). Cela limite le pouvoir de résolution de l’instrument : deux objets séparés par un angle inférieur à θmin\theta_{\text{min}} ne peuvent être distingués, indépendamment du grossissement GG choisi.