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CPGE Futur

Exercice 2 : Équations différentielles linéaires d ordre 2

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

On s’intéresse dans ce problème à l’étude d’un système oscillant amorti soumis à une excitation extérieure harmonique, modélisé par une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Ce type de modèle intervient fréquemment en physique (mécanique, électronique) et son analyse rigoureuse fait appel aux techniques fondamentales du programme de mathématiques de la filière PT.

L’objectif est de déterminer l’expression explicite des solutions de l’équation homogène associée, d’étudier l’existence et l’unicité du problème de Cauchy, puis de rechercher une solution particulière sous l’effet d’un second membre harmonique par la méthode des variations des constantes et par la méthode des amplitudes complexes.

Soit l’équation différentielle (E)(E) définie sur R\mathbb{R} par : (E):y′′(t)+2αy′(t)+ω02y(t)=f(t)(E) \quad : \quad y''(t) + 2\alpha y'(t) + \omega_0^2 y(t) = f(t) où α\alpha et ω0\omega_0 sont des paramètres réels strictement positifs, et f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} est une fonction continue. On pose ω0\omega_0 la pulsation propre du système et α\alpha le coefficient d’amortissement.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”

  1. Étude de l’équation homogène : On considère l’équation homogène associée à (E)(E) : (H):y′′(t)+2αy′(t)+ω02y(t)=0(H) \quad : \quad y''(t) + 2\alpha y'(t) + \omega_0^2 y(t) = 0 Déterminer l’équation caractéristique associée à (H)(H) et expliciter l’espace vectoriel des solutions réelles de (H)(H) en distinguant les cas selon le signe du discriminant réduit Δ′=α2−ω02\Delta' = \alpha^2 - \omega_0^2.

  2. Problème de Cauchy et structure des solutions : Soit t0∈Rt_0 \in \mathbb{R} et (y0,v1)∈R2(y_0, v_1) \in \mathbb{R}^2. Montrer, en s’appuyant sur le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, qu’il existe une unique solution maximale de (E)(E) sur R\mathbb{R} telle que y(t0)=y0y(t_0) = y_0 et y′(t0)=v1y'(t_0) = v_1. Rappeler la structure affine de l’ensemble des solutions de (E)(E).

  3. Recherche de solution particulière par la méthode des variations des constantes : On se place dans le cas sous-amorti (α<ω0\alpha < \omega_0). On pose ω1=ω02−α2\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}. Les solutions fondamentales de (H)(H) sont données par y1(t)=e−αtcos⁡(ω1t)y_1(t) = e^{-\alpha t} \cos(\omega_1 t) et y2(t)=e−αtsin⁡(ω1t)y_2(t) = e^{-\alpha t} \sin(\omega_1 t). À l’aide de la méthode des variations des constantes, exprimer une solution particulière de (E)(E) sous la forme yp(t)=λ1(t)y1(t)+λ2(t)y2(t)y_p(t) = \lambda_1(t) y_1(t) + \lambda_2(t) y_2(t), en explicitant un système vérifié par λ1′\lambda_1' et λ2′\lambda_2'.

  4. Analyse harmonique et régime permanent : On suppose que le second membre est harmonique : f(t)=F0cos⁡(Ωt)f(t) = F_0 \cos(\Omega t), avec F0∈RF_0 \in \mathbb{R} et Ω>0\Omega > 0. En passant par l’équation complexe associée, déterminer l’amplitude et le déphasage de la solution particulière stationnaire (régime permanent).

  5. Analyse critique du modèle : Discuter brièvement des limites physiques de ce modèle linéaire (validité des approximations pour de grandes amplitudes, non-linéarités des frottements).

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Pensez à relier les racines de l’équation caractéristique r2+2αr+ω02=0r^2 + 2\alpha r + \omega_0^2 = 0 au signe de Δ′\Delta'. N’oubliez pas le cas particulier de la racine double (Δ′=0\Delta' = 0).
  • Question 2 : Pour l’existence et l’unicité globale, utilisez le théorème linéaire de Cauchy-Lipschitz qui s’applique directement ici car les coefficients sont continus sur R\mathbb{R} et le second membre aussi.
  • Question 3 : Le wronskien du système (y1,y2)(y_1, y_2) est un outil clé pour inverser le système linéaire issu de la méthode des variations des constantes.
  • Question 4 : L’utilisation de la notation complexe y‾′′+2αy‾′+ω02y‾=F0ejΩt\underline{y}'' + 2\alpha \underline{y}' + \omega_0^2 \underline{y} = F_0 e^{j\Omega t} simplifie grandement les calculs trigonométriques.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Étude de l’équation homogène (H)(H)

Section titled “1. Étude de l’équation homogène (H)(H)(H)”

L’équation caractéristique associée à (H)(H) est : r2+2αr+ω02=0r^2 + 2\alpha r + \omega_0^2 = 0 Le discriminant réduit est Δ′=α2−ω02\Delta' = \alpha^2 - \omega_0^2. On distingue trois cas :

  • Cas 1 : α>ω0\alpha > \omega_0 (Régime sur-amorti) Le discriminant Δ′>0\Delta' > 0. L’équation admet deux racines réelles distinctes : r1=−α−α2−ω02etr2=−α+α2−ω02r_1 = -\alpha - \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \quad \text{et} \quad r_2 = -\alpha + \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} L’ensemble des solutions réelles de (H)(H) est l’espace vectoriel engendré par t↦er1tt \mapsto e^{r_1 t} et t↦er2tt \mapsto e^{r_2 t}. La solution générale est de la forme : y(t)=Aer1t+Ber2t,(A,B)∈R2y(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}, \quad (A, B) \in \mathbb{R}^2

  • Cas 2 : α=ω0\alpha = \omega_0 (Régime critique) Le discriminant Δ′=0\Delta' = 0. L’équation admet une racine réelle double : r0=−αr_0 = -\alpha La solution générale est de la forme : y(t)=(A+Bt)e−αt,(A,B)∈R2y(t) = (A + Bt) e^{-\alpha t}, \quad (A, B) \in \mathbb{R}^2

  • Cas 3 : α<ω0\alpha < \omega_0 (Régime sous-amorti) Le discriminant Δ′<0\Delta' < 0. L’équation admet deux racines complexes conjuguées : r±=−α±jω1,avec ω1=ω02−α2r_{\pm} = -\alpha \pm j\omega_1, \quad \text{avec } \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} En passant par la forme réelle, l’ensemble des solutions est donné par : y(t)=e−αt(Acos⁡(ω1t)+Bsin⁡(ω1t)),(A,B)∈R2y(t) = e^{-\alpha t} \left( A \cos(\omega_1 t) + B \sin(\omega_1 t) \right), \quad (A, B) \in \mathbb{R}^2

2. Problème de Cauchy et structure des solutions

Section titled “2. Problème de Cauchy et structure des solutions”

Les coefficients de l’équation (E)(E), à savoir a(t)=2αa(t) = 2\alpha et b(t)=ω02b(t) = \omega_0^2, sont des fonctions constantes (donc continues) sur R\mathbb{R}. Le second membre ff est également continu sur R\mathbb{R}. D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, pour tout t0∈Rt_0 \in \mathbb{R} et tout (y0,v1)∈R2(y_0, v_1) \in \mathbb{R}^2, il existe une unique solution maximale définie sur R\mathbb{R} tout entier vérifiant les conditions initiales y(t0)=y0y(t_0) = y_0 et y′(t0)=v1y'(t_0) = v_1.

L’ensemble des solutions de l’équation avec second membre (E)(E) est une variété affine de dimension 2, dont la direction est l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène (H)(H). Toute solution de (E)(E) s’écrit donc sous la forme y=yp+yhy = y_p + y_h, où ypy_p est une solution particulière de (E)(E) et yhy_h est une solution générale de (H)(H).

3. Méthode des variations des constantes (cas sous-amorti)

Section titled “3. Méthode des variations des constantes (cas sous-amorti)”

On cherche une solution particulière sous la forme : yp(t)=λ1(t)y1(t)+λ2(t)y2(t)y_p(t) = \lambda_1(t) y_1(t) + \lambda_2(t) y_2(t) avec y1(t)=e−αtcos⁡(ω1t)y_1(t) = e^{-\alpha t} \cos(\omega_1 t) et y2(t)=e−αtsin⁡(ω1t)y_2(t) = e^{-\alpha t} \sin(\omega_1 t). La méthode des variations des constantes conduit au système linéaire suivant pour λ1′\lambda_1' et λ2′\lambda_2' :

\lambda_1'(t) y_1(t) + \lambda_2'(t) y_2(t) = 0 \\ \lambda_1'(t) y_1'(t) + \lambda_2'(t) y_2'(t) = f(t) \end{cases}$$ Le déterminant du système est le wronskien $W(t) = y_1(t)y_2'(t) - y_1'(t)y_2(t)$. Un calcul classique donne $W(t) = \omega_1 e^{-2\alpha t} \neq 0$ (car $\omega_1 > 0$). En résout par Cramer : $$\lambda_1'(t) = \frac{-f(t)y_2(t)}{W(t)} = -\frac{f(t) e^{-\alpha t} \sin(\omega_1 t)}{\omega_1 e^{-2\alpha t}} = -\frac{1}{\omega_1} f(t) e^{\alpha t} \sin(\omega_1 t)$$ $$\lambda_2'(t) = \frac{f(t)y_1(t)}{W(t)} = \frac{f(t) e^{-\alpha t} \cos(\omega_1 t)}{\omega_1 e^{-2\alpha t}} = \frac{1}{\omega_1} f(t) e^{\alpha t} \cos(\omega_1 t)$$ Par intégration, on obtient les fonctions $\lambda_1(t)$ et $\lambda_2(t)$, ce qui fournit l'expression intégrale de la solution particulière : $$y_p(t) = -\frac{y_1(t)}{\omega_1} \int_{t_0}^t f(u) e^{\alpha u} \sin(\omega_1 u) \, du + \frac{y_2(t)}{\omega_1} \int_{t_0}^t f(u) e^{\alpha u} \cos(\omega_1 u) \, du$$ #### 4. Analyse harmonique et régime permanent On considère $f(t) = F_0 \cos(\Omega t)$. On associe l'équation complexe : $$(\underline{E}) \quad : \quad \underline{y}'' + 2\alpha \underline{y}' + \omega_0^2 \underline{y} = F_0 e^{j\Omega t}$$ On cherche une solution stationnaire sous la forme $\underline{y}_p(t) = \underline{A} e^{j\Omega t}$. En injectant dans $(\underline{E})$ : $$\left( -\Omega^2 + 2j\alpha\Omega + \omega_0^2 \right) \underline{A} e^{j\Omega t} = F_0 e^{j\Omega t}$$ Soit : $$\underline{A} = \frac{F_0}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2j\alpha\Omega}$$ On met $\underline{A}$ sous forme polaire $\underline{A} = |\underline{A}| e^{-j\varphi}$, avec : $$|\underline{A}| = \frac{F_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\alpha^2 \Omega^2}} \quad \text{et} \quad \tan(\varphi) = \frac{2\alpha\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$$ La solution physique (partie réelle de $\underline{y}_p(t)$) est alors : $$y_{p,\text{réel}}(t) = |\underline{A}| F_0 \cos(\Omega t - \varphi)$$ C'est le **régime permanent**. L'amplitude maximale est obtenue pour $\Omega \approx \omega_0$ (phénomène de résonance). #### 5. Analyse critique du modèle * **Limites de la linéarité :** Le terme de frottement visqueux linéaire $-2\alpha y'$ n'est qu'une approximation valable pour de faibles vitesses. En pratique, pour de grandes amplitudes, les frottements fluides peuvent devenir quadratiques (en $-(y')^2$), ce qui rendrait l'équation non linéaire et modifierait le profil de résonance (phénomène de saut de résonance). * **Hypothèse d'invariance :** Les coefficients $\alpha$ et $\omega_0$ sont supposés constants, ce qui suppose un système stationnaire et homogène dans le temps.