Cours : Probabilités discrètes et lois usuelles

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $\Omega$ un ensemble. Un espace probabilisable discret est un couple $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega))$ muni d’une application $\mathbb{P} : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$ appelée probabilité, vérifiant les axiomes de Kolmogorov :

1. $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.
2. Pour toute suite (finie ou dénombrable) d’événements $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux à deux incompatibles ($\forall i \neq j, \, A_i \cap A_j = \emptyset$), on a : $\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)$

Une variable aléatoire réelle discrète $X$ sur $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})$ est une application $X : \Omega \to X(\Omega) \subset \mathbb{R}$ telle que $X(\Omega)$ est fini ou dénombrable, et pour tout $x \in X(\Omega)$, $\{X = x\} = X^{-1}(\{x\}) \in \mathcal{P}(\Omega)$.

La loi de $X$ est caractérisée par l’ensemble des probabilités élémentaires $(\mathbb{P}(X = x))_{x \in X(\Omega)}$.

Espérance et Variance

• Espérance : $X$ admet une espérance si la famille $(\omega \cdot \mathbb{P}(\{\omega\}))_{\omega \in \Omega}$ est sommable, ou de manière équivalente si la série $\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X = x)$ est absolument convergente. On note : $\mathbb{E}(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X = x)$
• Variance : Si $X$ admet un moment d’ordre $2$ ($\mathbb{E}(X^2) < +\infty$), la variance de $X$ est définie par : $V(X) = \mathbb{E}\left((X - \mathbb{E}(X))^2\right) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2$ L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Théorème : Théorème de transfert (IPMS)

Soit $X$ une variable aléatoire discrète et $g : X(\Omega) \to \mathbb{R}$ une application. La variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si la famille $(g(x)\mathbb{P}(X=x))_{x \in X(\Omega)}$ est sommable, et dans ce cas : $\mathbb{E}(g(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x) \mathbb{P}(X = x)$

Démonstration

Par définition de l’espérance de la variable aléatoire $Y = g(X)$ : $\mathbb{E}(Y) = \sum_{y \in Y(\Omega)} y \mathbb{P}(Y = y)$ Or, l’événement $\{Y = y\}$ se réécrit comme la réunion disjointe des événements élémentaires $\{X = x\}$ pour $x \in X(\Omega)$ tels que $g(x) = y$ : $\{Y = y\} = \bigcup_{x \in X(\Omega), \, g(x) = y} \{X = x\}$ Par additivité de la probabilité : $\mathbb{P}(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega), \, g(x) = y} \mathbb{P}(X = x)$ En reportant dans la somme définissant $\mathbb{E}(Y)$ : $\mathbb{E}(g(X)) = \sum_{y \in Y(\Omega)} y \left( \sum_{x \in X(\Omega), \, g(x) = y} \mathbb{P}(X = x) \right) = \sum_{y \in Y(\Omega)} \left( \sum_{x \in X(\Omega), \, g(x) = y} g(x) \mathbb{P}(X = x) \right)$ Par regroupement des termes (la convergence absolue garantissant l’inconditionnalité de la sommation sur l’ensemble $X(\Omega)$), on obtient le résultat escompté : $\mathbb{E}(g(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x) \mathbb{P}(X = x)$ $\blacksquare$

Lois usuelles au programme des CPGE PT

1. Loi uniforme sur $\llbracket 1, n \llbracket$ (ou $\{1, \dots, n\}$) : $X(\Omega) = \llbracket 1, n \llbracket$, $\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{n}$.

   • $\mathbb{E}(X) = \frac{n+1}{2}$
   • $V(X) = \frac{n^2-1}{12}$

2. Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ ($p \in [0, 1]$) : $X(\Omega) = \{0, 1\}$, $\mathbb{P}(X = 1) = p$, $\mathbb{P}(X = 0) = 1-p$.

   • $\mathbb{E}(X) = p$
   • $V(X) = p(1-p)$

3. Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : Somme de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant une loi $\mathcal{B}(p)$.

   • $X(\Omega) = \llbracket 0, n \llbracket$
   • $\mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
   • $\mathbb{E}(X) = np$
   • $V(X) = np(1-p)$

4. Loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ ($p \in ]0, 1]$) : Modèle le temps d’attente du premier succès.

   • $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$
   • $\mathbb{P}(X = k) = (1-p)^{k-1} p$
   • $\mathbb{E}(X) = \frac{1}{p}$
   • $V(X) = \frac{1-p}{p^2}$

5. Loi de Poisson $\mathcal{mathcal{P}}(\lambda)$ ($\lambda > 0$) :

   • $X(\Omega) = \mathbb{N}$
   • $\mathbb{P}(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$
   • $\mathbb{E}(X) = \lambda$
   • $V(X) = \lambda$

💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Calcul d’espérance et de variance par dérivation de séries entières

Pour des lois à support infini dénombrable ($\mathcal{G}(p)$ ou $\mathcal{P}(\lambda)$), on recourt souvent aux séries entières. Exemple pour la loi géométrique : On sait que pour tout $x \in ]-1, 1[$ : $\sum_{k=1}^{+\infty} x^k = \frac{x}{1-x}$ En dérivant terme à terme (ce qui est licite sur l’intervalle ouvert de convergence) : $\sum_{k=1}^{+\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ En posant $x = 1-p$ (avec $p \in ]0, 1[$) : $\sum_{k=1}^{+\infty} k (1-p)^{k-1} p = p \sum_{k=1}^{+\infty} k (1-p)^{k-1} = p \frac{1}{(1-(1-p))^2} = p \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}$ On retrouve ainsi rigoureusement $\mathbb{E}(X) = \frac{1}{p}$.

Utilisation de la linéarité de l’espérance

Pour calculer l’espérance d’une variable suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, on exprime $X$ comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes : $X = \sum_{i=1}^n X_i$ où les $X_i \sim \mathcal{B}(p)$. Par linéarité de l’espérance : $\mathbb{E}(X) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) = \sum_{i=1}^n p = np$ Cette méthode évite le calcul lourd avec les coefficients binomiaux $\sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Existence des moments avant tout calcul : Ne jamais écrire $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2$ ou manipuler des espérances sans avoir préalablement établi l’existence de $\mathbb{E}(X^2)$ (convergence absolue de la série associée).
2. Incompatibilité entre indépendance et non-corrélation : Deux variables aléatoires peuvent être de covariance nulle sans pour autant être indépendantes (l’indépendance est une notion bien plus forte).
3. Confusion du support dans les lois usuelles :
   • Pour la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$, le support commence à $1$ ($\mathbb{N}^*$).
   • Pour la loi de Poisson $\mathcal{mathcal{P}}(\lambda)$, le support commence à $0$ ($\mathbb{N}$).
4. Mauvaise manipulation de $\Omega$ infini : L’interversion de limites et de sommes infinies nécessite des justifications rigoureuses (théorème de Fubini pour les séries ou convergence normale/absolue), souvent éludées à tort par les candidats.