Exercice 2 : Diagrammes d état (P, v) et (T, s) et machines thermiques

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’estude

Dans ce problème, on s’intéresse à la modélisation thermodynamique d’un cycle moteur à vapeur (cycle de Hirn ou cycle de Rankine surchauffé) utilisant de l’eau comme fluide frigorigène / caloporteur. L’objectif est d’analyser les transferts énergétiques et l’efficacité de ce cycle à l’aide des diagrammes d’état $(P, v)$ (Clapeyron) et $(T, s)$ (entropique).

On rappelle les définitions et propriétés fondamentales pour un corps pur diphasique (liquide-vapeur) :

$P$ désigne la pression, $T$ la température, $v = \frac{V}{m}$ le volume massique, et $s = \frac{S}{m}$ l’entropie massique.
Dans la zone diphasique (équilibre liquide-vapeur), la température et la pression ne sont pas indépendantes : $P = P_{\text{sat}}(T)$ .
Le titre en masse de vapeur $x$ ( $0 \le x \le 1$ ) permet d’exprimer toute grandeur extensive massique $y$ (comme $v$ ou $s$ ) par la relation de mélange : $y = (1-x)y_{\text{liq}} + xy_{\text{vap}}$ où l’indice $\text{liq}$ désigne le liquide saturé ( $x=0$ ) et $\text{vap}$ la vapeur sèche ( $x=1$ ).

Le cycle étudié est constitué de 4 transformations réversibles ou modélisées comme telles :

$1 \to 2$ : Compression adiabatique réversible (isentropique) de l’eau liquide de la pression $P_1$ à la pression $P_2$ .
$2 \to 3$ : Chauffage et vaporisation à pression constante $P_2$ , menant à de la vapeur sèche (puis éventuellement surchauffée, que l’on assimilera ici à l’état de vapeur saturée sèche pour simplifier, soit $x_3 = 1$ ).
$3 \to 4$ : Détente adiabatique réversible (isentropique) dans une turbine de la pression $P_2$ à la pression $P_1$ .
$4 \to 1$ : Condensation totale à pression constante $P_1$ ramenant l’eau à l’état de liquide saturé.

On donne les valeurs numériques suivantes :

Pression basse : $P_1 = 10\text{ kPa} = 0,1\text{ bar}$
Pression haute : $P_2 = 3\text{ MPa} = 30\text{ bar}$
Température de saturation à $P_1$ : $T_1 = 45,8^\circ\text{C} = 319\text{ K}$
Température de saturation à $P_2$ : $T_2 = 233,9^\circ\text{C} = 507\text{ K}$
Volume massique du liquide saturé à $P_1$ : $v_{\text{liq},1} \approx 1,01 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}$
Entropie massique du liquide saturé à $T_1$ : $s_{\text{liq},1} = 0,65\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$
Entropie massique de la vapeur saturée à $T_2$ : $s_{\text{vap},2} = 6,18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$
Chaleur latente de vaporisation à $T_1$ : $L_{v1} = 2395\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}$
Capacité thermique massique moyenne du liquide (supposée constante) : $c = 4,18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$

❓ Questions progressives

Représentation graphique :
- Esquisser qualitativement le cycle $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$ dans le diagramme de Clapeyron $(P, v)$ en y faisant figurer la courbe de saturation (cloche).
- Faire de même dans le diagramme entropique $(T, s)$ .
Compression (Transformation $1 \to 2$ ) :
- Exprimer le travail massique $w_{1\to 2}$ reçu par le fluide lors de la compression isentropique, en assimilant le liquide à un fluide incompressible de volume massique constant $v_{\text{liq}} \approx v_{\text{liq},1}$ .
- Calculer numériquement $w_{1\to 2}$ en $\text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}$ .
Chauffage et Vaporisation (Transformation $2 \to 3$ ) :
- Exprimer la quantité de chaleur massique $q_{2\to 3}$ reçue par le fluide au cours de cette étape isobare, en fonction des enthalpies massiques $h_2$ et $h_3$ .
- Évaluer la variation d’entropie massique $s_3 - s_2$ sachant que l’état 3 est de la vapeur saturée sèche à la température $T_2$ . En déduire l’expression de $s_2$ et la température intermédiaire si nécessaire.
Détente (Transformation $3 \to 4$ ) :
- La transformation $3 \to 4$ est isentropique. Exprimer le titre en masse de vapeur $x_4$ à l’état 4 en fonction des entropies massiques à l’état 1 et 2 (liquide et vapeur saturés à $T_1$ ) et de la chaleur latente $L_{v1}$ .
- Calculer la valeur numérique de $x_4$ .
Bilan énergétique et Efficacité :
- Exprimer le travail net massique $w_{\text{net}}$ fourni par le cycle, ainsi que la quantité de chaleur totale reçue de la source chaude $q_{\text{sc}}$ .
- Définir et calculer le rendement thermodynamique $\eta$ de ce cycle. Comparer brièvement avec le rendement du cycle de Carnot opérant entre les mêmes températures extrêmes $T_2$ et $T_1$ .

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Premier principe en système ouvert (stationnaire) : Pour une turbine ou une pompe adiabatique sans variation d’énergie cinétique ni potentielle, le travail technique massique s’écrit $w = \int V dP$ (pour une pompe incompressible) ou se déduit de la variation d’enthalpie $\Delta h$ (pour une turbine adiabatique).
Second principe : L’entropie est une fonction d’état. Pour une transformation isentropique réversible, $s_{\text{initial}} = s_{\text{final}}$ .
Diagramme $(T, s)$ : Les transferts thermiques réversibles s’interprètent géométriquement comme des aires sous les courbes ( $\delta q = T ds$ ).

📋 Corrigé détaillé et vérification des résultats

1. Représentation graphique

Diagramme $(P, v)$ (Clapeyron) : La cloche de saturation sépare le domaine liquide (à gauche), diphasique (au centre) et vapeur (à droite).
- $1 \to 2$ : Verticale quasi-isochore (le liquide est très peu compressible, $v \approx \text{cte}$ ) menant de $P_1$ à $P_2$ .
- $2 \to 3$ : Segment horizontal isobare dans le diagramme $P(v)$ , de l’état liquide initial vers l’état de vapeur sèche (traversée de la cloche).
- $3 \to 4$ : Courbe descendante de détente adiabatique de $P_2$ à $P_1$ .
- $4 \to 1$ : Segment horizontal isobare de condensation à $P_1$ .
Diagramme $(T, s)$ (Entropique) :
- $1 \to 2$ : Segment quasi-vertical (isentropique $s_1 = s_2$ ) dans la zone liquide.
- $2 \to 3$ : Chauffage du liquide jusqu’à $T_2$ , puis vaporisation isotherme à $T_2$ (segment horizontal si on atteint la vapeur saturée).
- $3 \to 4$ : Segment vertical descendant ( $s_3 = s_4$ ) dans la zone diphasique.
- $4 \to 1$ : Segment horizontal de condensation isotherme à $T_1$ .

2. Compression (Transformation $1 \to 2$ )

Pour un fluide incompressible ( $v = v_{\text{liq}} \approx \text{cte}$ ) subissant une transformation quasi-statique et adiabatique (donc réversible, isentropique), le premier principe appliqué sous forme ouverte (travail technique) donne : $w_{1\to 2} = -\int_{1}^{2} v \, dP = -v_{\text{liq}}(P_2 - P_1)$ Attention aux conventions de signe : le travail reçu par le fluide est positif si la pompe fournit de l’énergie. Exprimons $w_{1\to 2}$ en tenant compte du fait que la pompe comprime le fluide : $w_{\text{pompe}} = v_{\text{liq},1} (P_2 - P_1)$

A.N. :

$v_{\text{liq},1} = 1,01 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}$
$P_2 - P_1 = 3 \times 10^6\text{ Pa} - 10 \times 10^3\text{ Pa} = 2,99 \times 10^6\text{ Pa}$ $w_{\text{pompe}} = 1,01 \times 10^{-3} \times 2,99 \times 10^6 = 3,020\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} = 3,02\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}$

3. Chauffage et Vaporisation (Transformation $2 \to 3$ )

L’état 3 est de la vapeur saturée sèche à la température $T_2$ , son entropie est donc $s_3 = s_{\text{vap},2}$ . La transformation $2 \to 3$ étant isobare (et réversible), la chaleur massique reçue s’exprime par la variation d’enthalpie : $q_{2\to 3} = h_3 - h_2$

Puisque la transformation $1 \to 2$ est isentropique et que le liquide est peu compressible, la variation de température associée à la compression est minime, et l’entropie de l’état 2 est très proche de celle de l’état 1 : $s_2 \approx s_1 = s_{\text{liq},1}$

La quantité de chaleur reçue globalement de la source chaude (réchauffage du liquide + vaporisation) s’obtient également par intégration sur le diagramme $(T, s)$ : $q_{\text{sc}} = \int_{2}^{3} T ds$

4. Détente (Transformation $3 \to 4$ )

La détente $3 \to 4$ est isentropique, donc : $s_4 = s_3 = s_{\text{vap},2}$

À l’état 4, le fluide se trouve dans la zone diphasique à la pression $P_1$ (et température $T_1$ ). L’entropie massique s’écrit par la relation de mélange : $s_4 = (1 - x_4) s_{\text{liq},1} + x_4 s_{\text{vap},1}$

Or, la variation d’entropie lors de la vaporisation isotherme à $T_1$ relie l’entropie du liquide et de la vapeur saturés via la chaleur latente : $s_{\text{vap},1} - s_{\text{liq},1} = \frac{L_{v1}}{T_1}$

On en déduit l’expression du titre en masse de vapeur $x_4$ : $s_4 = s_{\text{liq},1} + x_4 \left(\frac{L_{v1}}{T_1}\right) \implies x_4 = \frac{s_{\text{vap},2} - s_{\text{liq},1}}{\frac{L_{v1}}{T_1}}$

A.N. :

$s_{\text{vap},2} = 6,18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$
$s_{\text{liq},1} = 0,65\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$
$L_{v1} = 2395\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}$
$T_1 = 319\text{ K}$

$\frac{L_{v1}}{T_1} = \frac{2395}{319} \approx 7,508\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ $x_4 = \frac{6,18 - 0,65}{7,508} = \frac{5,53}{7,508} \approx 0,737$ Le titre en vapeur à la fin de la détente est donc de $73,7\%$ (le fluide est bien diphasique).

5. Bilan énergétique et Efficacité

Travail net massique : Le travail total du cycle $w_{\text{net}}$ est la somme du travail fourni par la turbine ( $w_{\text{turbine}} = h_3 - h_4$ ) et du travail reçu par la pompe ( $w_{\text{pompe}}$ ) : $w_{\text{net}} = (h_3 - h_4) - w_{\text{pompe}}$ Par le premier principe appliqué sur l’ensemble du cycle fermé : $w_{\text{net}} = q_{\text{sc}} - q_{\text{f}}$
Rendement du cycle : $\eta = \frac{w_{\text{net}}}{q_{\text{sc}}}$

En première approximation, la chaleur reçue de la source chaude $q_{\text{sc}} = h_3 - h_2$ correspond principalement à l’élévation de température et au changement d’état à $T_2$ . D’un point de vue théorique maximal, le rendement d’un cycle de Carnot fonctionnant entre les températures extrêmes $T_2$ et $T_1$ vaut : $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_1}{T_2}$

A.N. Carnot : $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{319}{507} = 1 - 0,629 = 0,371 \quad (37,1\%)$ Le rendement réel du cycle de Hirn étudié est légèrement inférieur à cette limite théorique de Carnot en raison des irréversibilités thermiques internes (le transfert thermique ne s’effectue pas à température constante lors du réchauffement du liquide de $T_1$ à $T_2$ ).