Exercice 2 : Calcul de déterminants

Problème Guidé : Étude et calcul de déterminants paramétriques et structurés

Ce problème aborde des techniques classiques de calcul de déterminants en CPGE (filière PCSI) : utilisation de relations de récurrence, opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, et factorisation de polynômes.

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Préambule et Partie I : Un déterminant tridiagonal classique

On considère, pour tout entier $n \ge 1$, la matrice $A_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

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