Cours : Résistance des matériaux et Conception

Résistance des Matériaux (RDM) et Conception

Fiche de cours - CPGE PT
Professeur Agrégé des Sciences Industrielles de l’Ingénieur

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Introduction et Hypothèses Fondamentales

La Résistance des Matériaux a pour objet l’étude du comportement mécanique des solides déformables afin de valider leur dimensionnement en phase de conception.

Hypothèses de la RDM (Navier-Bernoulli)

1. Milieu continu, homogène et isotrope : Le matériau possède les mêmes propriétés mécaniques en tout point et dans toutes les directions.
2. Petites perturbations : Les déplacements sont infinitésimaux et les déformations sont négligeables devant les dimensions géométriques ($||\varepsilon_{ij}|| \ll 1$).
3. Hypothèse de Navier-Bernoulli : Les sections droites, planes et perpendiculaires à la fibre moyenne avant déformation, restent planes, perpendiculaires à la fibre moyenne après déformation et ne subissent aucune variation de dimension dans leur plan.
4. Saint-Venant : L’état de contrainte loin des zones d’application des charges ne dépend que de la résultante et du torseur des efforts extérieurs appliqués à la section.

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1. Torseur des efforts intérieurs (Efforts isostatiques)

Soit une poutre droite de fibre moyenne rectiligne $\mathcal{F}$, orientée par son abscisse $x \in [0, L]$.
On isole un tronçon de poutre par une coupe menée en une abscisse $x$. Le torseur des efforts intérieurs exercés par la partie située à gauche sur la partie située à droite est noté :

$\{ \mathcal{T}_{\text{int}}(x) \} = \left\{ \begin{matrix} \vec{N}(x) = N(x)\vec{u} & \text{Effort normal} \\ \vec{V}(x) = T_y(x)\vec{v} + T_z(x)\vec{w} & \text{Efforts tranchants} \end{matrix} \right\}_{\text{Centre de gravité } G(x)}$

$\{ \mathcal{T}_{\text{int}}(x) \} = \left\{ \begin{matrix} \vec{Mt}_x(x) = Mt(x)\vec{u} & \text{Moment de torsion} \\ \vec{Mf}_G(x) = Mfy(x)\vec{v} + Mfz(x)\vec{w} & \text{Moments de flexion} \end{matrix} \right\}_{\text{G}(x)}$

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2. Sollicitations simples et Contraintes Normales/Tangentielles

A. Traction / Compression simple

• Sollicitation : $\vec{N}(x) = N\vec{u}$, tous les autres éléments de réduction sont nuls.
• Contrainte normale : $\sigma_{xx}(y, z) = \frac{N}{S}$ où $S$ est l’aire de la section droite.
• Loi de Hooke 1D : $\sigma_{xx} = E \cdot \varepsilon_{xx}$ avec $E$ le module d’Young (en $\text{MPa}$ ou $\text{GPa}$).

B. Cisaillement pur

• Sollicitation : $\vec{T}(x) = T_y\vec{v}$ (par exemple).
• Contrainte tangentielle (formule approchée de Jourawski) : $\tau_{xy}(y, z) = \frac{T_y \cdot S^*(y)}{I_{zz} \cdot b(y)}$

C. Torsion simple

• Sollicitation : $Mt(x) = Mt$.
• Contrainte tangentielle (pour une section circulaire de rayon $R$) : $\tau_{\theta z}(r) = \frac{Mt \cdot r}{I_0}$ où $I_0$ est le moment quadratique polaire : $I_0 = \int_S (y^2 + z^2) dS = \frac{\pi R^4}{2}$.

D. Flexion plane pure

• Sollicitation : $Mfy(x) = Mfy$, les autres efforts sont nuls.
• Contrainte normale : $\sigma_{xx}(y, z) = -\frac{Mfy}{I_yy} \cdot z$ où $I_yy = \int_S z^2 dS$ est le moment quadratique de la section par rapport à l’axe $(G, \vec{v})$.

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3. Critères de Résistance (Conception)

Pour s’assurer qu’une structure ne subira pas de déformation plastique irréversible ou de rupture en service, on compare les contraintes effectives à la limite élastique du matériau $R_e$ via un coefficient de sécurité $s$.

A. Contrainte équivalente de Von Mises ($\sigma_{\text{VM}}$)

Dans le cas d’un état triaxial, on définit la contrainte équivalente par : $\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}$ où $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ sont les contraintes principales.

B. Condition de résistance

La condition de résistance s’exprime par : $\sigma_{\text{max}} \le Rpe = \frac{R_e}{s}$

• $R_e$ : Limite d’élasticité du matériau ($\text{MPa}$).
• $s$ : Coefficient de sécurité ($s > 1$, fixé par le cahier des charges).
• $Rpe$ : Résistance Pratique à l’Extension ($\text{MPa}$).

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4. Déformations et Énergies (Méthodes énergétiques)

Théorème des travaux virtuels / Castigliano

L’énergie de déformation élastique $W$ emmagasinée dans une poutre soumise à de la flexion est donnée par : $W = \int_0^L \frac{Mfy(x)^2}{2 E I_{yy}} dx$

La flèche $v(x_0)$ en un point $x_0$ s’obtient par la dérivée partielle de l’énergie par rapport à une force fictive $F$ appliquée en ce point : $v(x_0) = \frac{\partial W}{\partial F}$

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5. Méthodologie de Conception en SI (PT)

1. Modélisation géométrique et cinématique : Isoler le solidème critique.
2. Bilan des actions mécaniques : Appliquer le PFD ou le PFS pour déterminer les efforts de liaison.
3. Tracé des diagrammes : Mettre en évidence les sections les plus chargées (moments maximaux, efforts normaux maximaux).
4. Dimensionnement / Vérification :
   • Calculer la section minimale $S$ ou les inerties nécessaires.
   • Valider par rapport au critère de Von Mises ou aux limites admissibles en déformation (ex. : flèche maximale $\delta_{\text{max}} \le \frac{L}{500}$).