Cours : Séries de Fourier et analyse harmonique

📚 Mathématiques MP : Séries de Fourier et analyse harmonique

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’étude des séries de Fourier s’inscrit dans le cadre de l’approximation des fonctions périodiques par des fonctions trigonométriques simples (harmoniques).

Espace des fonctions continues par morceaux et $T$-périodiques

Soit $T > 0$ un réel fixé, et $\omega = \frac{2\pi}{T}$ la pulsation fondamentale. On note $\mathcal{E}_T$ l’espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ (ou $\mathbb{R}$) qui sont $T$-périodiques et continues par morceaux sur $\mathbb{R}$.

Produit hermitien et structure préhilbertienne

Sur l’espace $\mathcal{C}_{pm}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ des fonctions $T$-périodiques et continues par morceaux, on définit un produit scalaire hermitien par : $\langle f, g \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)\overline{g(t)} \, \mathrm{d}t$ La norme associée est la norme quadratique moyenne : $\|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \left( \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(t)|^2 \, \mathrm{d}t \right)^{\frac{1}{2}}$

Coefficients de Fourier

Pour $f \in \mathcal{E}_T$ et $n \in \mathbb{Z}$, on définit le $n$-ième coefficient de Fourier exponentiel de $f$ par : $c_n(f) = \langle f, e_{n} \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} \, \mathrm{d}t$ où $e_n : t \mapsto e^{in\omega t}$.

Pour des fonctions à valeurs réelles, on utilise souvent les coefficients trigonométriques : $a_0(f) = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \, \mathrm{d}t = 2c_0(f)$ $a_n(f) = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos(n\omega t) \, \mathrm{d}t = c_n(f) + c_{-n}(f) \quad (\text{pour } n \ge 1)$ $b_n(f) = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin(n\omega t) \, \mathrm{d}t = i(c_n(f) - c_{-n}(f)) \quad (\text{pour } n \ge 1)$

Série de Fourier

On appelle série de Fourier de $f$ la série de fonctions notée $\mathcal{S}(f)$ : $\mathcal{S}(f)(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f)e^{in\omega t} = a_0(f) + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n(f)\cos(n\omega t) + b_n(f)\sin(n\omega t) \right)$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Lemme de Riemann-Lebesgue

Énoncé : Si $f \in \mathcal{E}_T$, alors $\lim_{|n| \to +\infty} c_n(f) = 0$ (et de même pour $a_n(f)$ et $b_n(f)$).

Démonstration :

1. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$, une integration par parties donne : $c_n(f) = \frac{1}{T} \left[ f(t) \frac{e^{-in\omega t}}{-in\omega} \right]_0^T - \frac{1}{T} \int_0^T f'(t) \frac{e^{-in\omega t}}{-in\omega} \, \mathrm{d}t$ Par $T$-periodicite, le terme tout integre s’annule, et le reste est en $O(1/n)$, ce qui tend vers $0$.
2. Si $f$ est seulement continue par morceaux, par densite des fonctions $\mathcal{C}^1$ dans $\mathcal{E}_T$ pour la norme $\|\cdot\|_1$ (ou approximation par des fonctions en escalier), pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $g \in \mathcal{C}^1$ telle que $\|f-g\|_1 \le \varepsilon$. On conclut par l’inegalite $|c_n(f)| \le |c_n(f-g)| + |c_n(g)| \le \frac{1}{T}\|f-g\|_1 + |c_n(g)|$.

Théorème de Dirichlet (Convergence simple)

Énoncé : Si $f \in \mathcal{E}_T$ et est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, alors pour tout $t \in \mathbb{R}$, la série de Fourier de $f$ converge et : $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f)e^{in\omega t} = \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ En tout point de continuité, la série converge vers $f(t)$.

Théorème de Parseval

Énoncé : Si $f \in \mathcal{E}_T$, alors la famille $(e_{n})_{n \in \mathbb{Z}}$ n’est pas seulement orthonormée, elle est totale (théorème de Weierstrass trigonométrique). Dès lors, pour tout $f \in \mathcal{E}_T$, on a l’égalité de Parseval : $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2 = \|f\|_2^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(t)|^2 \, \mathrm{d}t$ Sous forme trigonométrique : $\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)^2 \, \mathrm{d}t$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Exploitation des parités

Soit $f \in \mathcal{E}_T$.

• Si $f$ est paire, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $b_n(f) = 0$ et $c_n(f) = \frac{a_n(f)}{2} \in \mathbb{R}$.
• Si $f$ est impaire, alors $a_0(f) = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $a_n(f) = 0$ et $c_n(f) = -i \frac{b_n(f)}{2} \in i\mathbb{R}$.

Dérivation et intégration des séries de Fourier

• Intégration : Si $f \in \mathcal{E}_T$ et $F(t) = \int_{0}^{t} \left( f(u) - c_0(f) \right) \mathrm{d}u$, alors $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et ses coefficients de Fourier s’obtiennent par division par $in\omega$ des coefficients de $f$. La série de Fourier de $F$ s’obtient par intégration terme à terme de la série de $f$.
• Dérivation : Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $T$-périodique, les coefficients de Fourier de $f'$ sont $c_n(f') = in\omega c_n(f)$.

Algorithme de sommation d’une série numérique via Parseval

Pour sommer une série du type $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ :

1. Choisir une fonction $f$ simple (souvent $f(t) = t$ sur $]-\pi, \pi[$ prolongée par $2\pi$-périodicité).
2. Calculer ses coefficients de Fourier ($a_n = 0$, $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$).
3. Appliquer le théorème de Parseval sur l’intervalle de définition pour obtenir la somme des carrés des coefficients.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confusion entre convergence simple, normale et en norme quadratique : Le théorème de Dirichlet assure une convergence simple (voire uniforme sur tout compact ne contenant pas de points de discontinuité si $f$ est continue). Cependant, la convergence normale de la série de Fourier $\sum c_n e^{in\omega t}$ n’est pas garantie si $f$ est seulement $\mathcal{C}^1$ par morceaux (la convergence normale implique la continuité de la somme, ce qui échouerait si $f$ a des sauts). Pour avoir convergence normale, il faut que $f$ soit continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux.

2. Oubli du facteur $1/T$ ou $2/T$ dans les formules d’intégrations. Soyez rigoureux sur les bornes : $\int_0^T$ ou $\int_{-T/2}^{T/2}$.

3. Mauvaise application de Parseval : Parseval s’applique avec la norme $\|\cdot\|_2^2$, c’est-à-dire avec le facteur $\frac{1}{T} \int_0^T |f(t)|^2 \, \mathrm{d}t$ à gauche, et non $\int_0^T |f(t)|^2 \, \mathrm{d}t$.

4. Évaluation de la série de Fourier en un point de discontinuité : Ne jamais affirmer qu’une série de Fourier converge vers $f(t)$ en un point de saut $t_0$, mais bien vers $\frac{1}{2}(f(t_0^+) + f(t_0^-))$. Mentionner systématiquement les hypothèses du théorème de Dirichlet.