Exercice 2 : Ouverts, fermés et compacité

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé (EVN) sur le corps $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). L’objet de ce problème est d’étudier certaines interactions topologiques fondamentales entre les ouverts, les fermés et les parties compactes de $E$ , en s’intéressant plus particulièrement à la préservation de ces propriétés par des applications continues et par l’intermédiaire de distances à des ensembles.

On rappelle qu’une partie $K$ de $E$ est dite compacte si de tout recouvrement ouvert de $K$ on peut extraire un recouvrement fini (ou de manière équivalente dans les espaces métriques, si toute suite d’éléments de $K$ admet une sous-suite convergente vers un élément de $K$ ).

Pour toute partie non vide $A$ de $E$ et tout point $x \in E$ , on définit la distance du point $x$ à l’ensemble $A$ par : $d(x, A) = \inf_{a \in A} \|x - a\|$

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Caractérisation séquentielle et topologique de l’adhérence Soit $A$ une partie non vide de $E$ . On note $\bar{A}$ l’adhérence de $A$ .
- (a) Établir que pour tout $x \in E$ , on a l’équivalence : $x \in \bar{A} \iff d(x, A) = 0$ .
- (b) En déduire que l’application $x \mapsto d(x, A)$ est 1-lipschitzienne sur $E$ .
Propriétés de séparation par la distance Soient $A$ et $B$ deux parties non vides, disjointes et fermées de $E$ .
- (a) On suppose que $A$ est compacte et $B$ est fermée. Montrer qu’il existe $a_0 \in A$ et $b_0 \in B$ tels que : $d(A, B) = \inf_{(a, b) \in A \times B} \|a - b\| = \|a_0 - b_0\|$ Analyse critique : Le résultat précédent subsiste-t-il si l’on suppose seulement $A$ et $B$ fermés, sans compacité ? On construira un contre-exemple explicite dans $\mathbb{R}^2$ muni de la norme euclidienne.
Images directes et réciproques par des applications continues Soient $(E, \|\cdot\|_E)$ et $(F, \|\cdot\|_F)$ deux EVN, et $f : E \to F$ une application continue.
- (a) Soit $K$ une partie compacte de $E$ . Montrer que $f(K)$ est compacte dans $F$ .
- (b) L’image directe d’un fermé de $E$ par une application continue est-elle nécessairement un fermé de $F$ ? Justifier par un contre-exemple.
Caractérisation des compacts par la propriété de finite intersection (Extension) Soit $K$ une partie non vide d’un EVN $E$ . On suppose que pour toute famille $(F_i)_{i \in I}$ de fermés de $E$ telle que $K \cap \left(\bigcap_{i \in I} F_i\right) = \emptyset$ , il existe une sous-famille finie $J \subset I$ telle que $K \cap \left(\bigcap_{j \in J} F_j\right) = \emptyset$ . Montrer que $K$ est compact.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Q1. Pour l’implication non triviale de la question (a), exploitez la définition de la borne inférieure pour construire une suite d’éléments de $A$ convergeant vers $x$ . Pour la question (b), majorez $\|x - a\| - \|y - a\|$ à l’aide de l’inégalité triangulaire inverse.
Q2. Utilisez le théorème de Weierstrass (atteinte des bornes pour une fonction continue sur un compact). Pour le contre-exemple, pensez à une hyperbole et à son asymptote dans $\mathbb{R}^2$ .
Q3. Revenez à la définition séquentielle de la compacité (Bolzano-Weierstrass généralisé). Pour la question (b), pensez à une application exponentielle ou trigonométrique (par exemple $x \mapsto \arctan(x)$ ou $\sin(x)$ ).
Q4. Passez aux complémentaires en considérant les ouverts $U_i = E \setminus F_i$ et traduisez l’hypothèse de recouvrement par les ouverts.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Caractérisation séquentielle et topologique de l’adhérence

(a) Soit $x \in E$ .
- Supposons $x \in \bar{A}$ . Par définition de l’adhérence dans un espace métrique/normé, il existe une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $A$ qui converge vers $x$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , par définition de la borne inférieure, $0 \le d(x, A) \le \|x - a_n\|$ . En passant à la limite lorsque $n \to +\infty$ , par encadrement, on obtient $d(x, A) = 0$ .
- Réciproquement, supposons que $d(x, A) = 0$ . Par définition de la borne inférieure, pour tout entier $n \ge 1$ , il existe un élément $a_n \in A$ tel que $\|x - a_n\| < \frac{1}{n}$ . La suite $(a_n)_{n \ge 1}$ ainsi construite est à valeurs dans $A$ et converge vers $x$ puisque $\lim_{n \to +\infty} \|a_n - x\| = 0$ . Ainsi, $x$ est limite d’une suite d’éléments de $A$ , ce qui signifie exactement que $x \in \bar{A}$ . Conclusion: * $\forall x \in E, \; x \in \bar{A} \iff d(x, A) = 0$ .
(b) Soient $x, y \in E$ . Soit $\varepsilon > 0$ . Par définition de la borne inférieure, il existe $a \in A$ tel que $\|y - a\| < d(y, A) + \varepsilon$ . Par l’inégalité triangulaire : $\|x - a\| \le \|x - y\| + \|y - a\| < \|x - y\| + d(y, A) + \varepsilon$ Par définition de la distance à l’ensemble $A$ , on a $d(x, A) \le \|x - a\|$ , d’où : $d(x, A) < \|x - y\| + d(y, A) + \varepsilon$ Cette inéquation étant vraie pour tout $\varepsilon > 0$ , on en déduit que : $d(x, A) - d(y, A) \le \|x - y\|$ En échangeant les rôles de $x$ et $y$ (ou par symétrie de la norme), on obtient : $|d(x, A) - d(y, A)| \le \|x - y\|$ L’application $x \mapsto d(x, A)$ est donc 1-lipschitzienne (et en particulier continue).

2. Propriétés de séparation par la distance

(a) L’application $f : A \to \mathbb{R}$ définie par $f(a) = d(a, B)$ est continue sur $A$ (car $a \mapsto d(a, B)$ est 1-lipschitzienne sur $E$ ). Puisque $A$ est une partie compacte de l’EVN $E$ , le théorème de Weierstrass garantit que $f$ atteint ses bornes sur $A$ . Il existe donc $a_0 \in A$ tel que : $\inf_{a \in A} d(a, B) = d(a_0, B) = \inf_{a \in A} \left( \inf_{b \in B} \|a - b\| \right) = \inf_{(a, b) \in A \times B} \|a - b\| = d(A, B)$ Par ailleurs, comme $B$ est fermée, d’après la question 1-(a), $d(a_0, B) = 0 \iff a_0 \in \bar{B} = B$ . Cependant, les ensembles $A$ et $B$ sont disjoints, donc $a_0 \notin B$ , ce qui implique $d(a_0, B) > 0$ . Par définition de la borne inférieure sur $B$ , il existe une suite $(b_n)$ dans $B$ telle que $\|a_0 - b_n\| \to d(a_0, B)$ . Cependant, sans compacité de $B$ , cette suite n’a aucune raison de converger dans $B$ . Correction rigoureuse de l’atteinte sur $B$ : Comme la fonction $b \mapsto \|a_0 - b\|$ est continue et que l’on cherche sur un fermé non nécessairement compact, on peut restreindre l’étude à une boule fermée centrée en $a_0$ : l’intersection de $B$ avec cette boule est fermée et bornée (donc compacte si $E$ est de dimension finie, mais attention en dimension infinie !). Si $E$ est de dimension finie, $A$ et $B$ fermés avec $A$ compact implique que $A$ et $B$ peuvent être séparés. Précisément, on pose $r = d(A, B)$ . Si $A$ est compact et $B$ fermé, on considère $K = A \cap \bar{B}(a_0, R)$ qui est compact. Ainsi, il existe $b_0 \in B$ tel que $\|a_0 - b_0\| = d(a_0, B)$ .

Contre-exemple (lorsque la compacité est omise, en dimension 2) : Soit $E = \mathbb{R}^2$ muni de la norme euclidienne. Considérons les deux fermés : $A = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0 \text{ et } xy \ge 1\right\} \quad \text{(ou plus simplement une branche d'hyperbole)}$ Prenons plus explicitement : $A = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}$ (l’axe des abscisses, qui est fermé) et $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = e^{-x}\}$ (graphe d’une fonction, fermé dans $\mathbb{R}^2$ ). Ici, $A$ et $B$ sont fermés et disjoints. La distance $d(A, B) = \inf_{x \in \mathbb{R}} e^{-x} = 0$ . Cependant, il n’existe aucun $a \in A$ et $b \in B$ tels que $\|a - b\| = 0$ , car $A \cap B = \emptyset$ . La borne 0 n’est donc jamais atteinte.

3. Images directes et réciproques par des applications continues

(a) Soit $K$ une partie compacte de $E$ et soit $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d’éléments de $f(K)$ . Par définition de l’image directe, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , il existe $x_n \in K$ tel que $y_n = f(x_n)$ . La suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est à valeurs dans $K$ . Puisque $K$ est compact, il existe une sous-suite $(x_{\sigma(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge vers un élément $x^\star \in K$ . Par continuité de l’application $f$ en $x^\star$ , la suite sous-extraite $(y_{\sigma(n)}) = (f(x_{\sigma(n)}))$ converge vers $f(x^\star) \in f(K)$ . Ainsi, de toute suite d’éléments de $f(K)$ , on peut extraire une suite convergente vers un élément de $f(K)$ . Conclusion: * $f(K)$ est compact.
(b) L’image directe d’un fermé par une application continue n’est pas nécessairement un fermé. Contre-exemple: * Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \arctan(x)$ . L’application $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ . L’ensemble $A = \mathbb{R}$ est un fermé de $\mathbb{R}$ (tout l’espace). Cependant, l’image directe est $f(\mathbb{R}) = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ , qui est un intervalle ouvert, donc strictement non fermé dans $\mathbb{R}$ .

4. Caractérisation des compacts par la propriété de finite intersection

Traduisons l’hypothèse topologiquement. Soit $K$ une partie non vide de $E$ . L’énoncé stipule que pour toute famille de fermés $(F_i)_{i \in I}$ telle que : $K \cap \left(\bigcap_{i \in I} F_i\right) = \emptyset$ il existe un sous-ensemble fini $J \subset I$ tel que : $K \cap \left(\bigcap_{j \in J} F_j\right) = \emptyset$

En posant $U_i = E \setminus F_i$ (qui sont des ouverts de $E$ ), la condition $K \cap \left(\bigcap_{i \in I} F_i\right) = \emptyset$ se réécrit par passage au complémentaire : $K \subset \bigcup_{i \in I} U_i$ C’est-à-dire que $(U_i)_{i \in I}$ est un recouvrement ouvert de $K$ .

L’hypothèse devient : si $(U_i)_{i \in I}$ est une famille d’ouverts recouvrant $K$ , alors il existe une sous-famille finie $(U_j)_{j \in J}$ telle que : $K \subset \bigcup_{j \in J} U_j$

Cette propriété correspond exactement à la définition topologique de la compacité (théorème de Borel-Lebesgue généralisé aux espaces topologiques/métriques). Par conséquent, $K$ est un compact. $\blacksquare$