Cours : Ondes mécaniques et acoustiques

Fiche de Cours : Ondes mécaniques et acoustiques (PC)

1. Introduction et Cinématique des ondes

Définitions fondamentales

Perturbation : Modification locale et temporaire d’une grandeur physique par rapport à son état d’équilibre.
Onde mécanique : Propagation d’une perturbation dans un milieu matériel, sans transport global de matière, mais avec transport d’énergie.
Onde progressive : Onde qui se propage sans déformation (en l’absence de dispersion et d’atténuation) à partir de sa source.
Onde à une dimension (1D) : Une onde est dite à 1D si la grandeur physique caractéristique ne dépend que d’une seule variable d’espace $x$ et du temps $t$ : $\psi(x,t)$ .

Équation de propagation (Équation d’onde)

Sous certaines hypothèses (milieu linéaire, homogène, isotrope, et pour de faibles perturbations), toute grandeur $\psi(x,t)$ vérifie l’équation aux dérivées partielles d’une onde idéale : $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0$ Où $c$ représente la célérité de l’onde dans le milieu (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}).

Théorème (Forme de d’Alembert) : Toute solution générale de l’équation d’onde 1D s’écrit sous la forme : $\psi(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct)$ où $f$ représente une onde se propageant dans le sens des $x$ croissants, et $g$ dans le sens des $x$ décroissants.

2. Ondes harmoniques (ou sinusoïdales)

Définitions

Une onde harmonique est associée à une source sinusoïdale de pulsation $\omega = 2\pi f$ . La grandeur s’écrit sous forme complexe : $\underline{\psi}(x,t) = \underline{\Psi}_0 \exp\left(j(\omega t \mp kx)\right)$

Vecteur d’onde (ou nombre d’onde) : $k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$ (\text{rad}\cdot\text{m}^{-1}).
Longueur d’onde ( $\lambda$ ) : Plus petite distance séparant deux points du milieu en phase (\text{m}).
Relation de dispersion : Relation unissant $\omega$ et $k$ . Pour un milieu non dispersif, $\omega = c k$ .

Double périodicité

Périodicité temporelle : $T = \frac{2\pi}{\omega}$ (\text{s}).
Périodicité spatiale : $\lambda = \frac{2\pi}{k} = c T$ (\text{m}).

3. Acoustique dans les fluides (Aproche unidimensionnelle)

Équations régissant l’acoustique linéaire

On étudie les perturbations autour d’un état de référence au repos (pression $P_0$ , masse volumique $\rho_0$ , vitesse $\vec{v} = \vec{0}$ ). Soit $p(x,t) = P_0 + p'(x,t)$ la pression totale, avec $p'$ la surpression acoustique ( $|p'| \ll P_0$ ). Soit $v(x,t)$ la vitesse particulaire (faible).

Équation d’Euler linéarisée (conservation de la quantité de mouvement) : $\rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p'}{\partial x}$
Équation de conservation de la masse (linéarisée) : $\frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0$
Équation d’état (transformation isentropique / adiabatique réversible) : $p' = c^2 \rho' \quad \text{avec} \quad c = \sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_S} = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{\rho_0}}$ (Où $\gamma$ est le coefficient adiabatique du gaz, $\gamma = C_p/C_v$ ).

Équation d’onde acoustique

En combinant ces équations, on établit l’équation d’onde pour la surpression $p'$ et la vitesse $v$ : $\frac{\partial^2 p'}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} = 0$

Définition (Impédance acoustique caractéristique) : Pour une onde plane progressive se propageant dans un fluide, le rapport de la surpression acoustique sur la vitesse particulaire locale est une constante du milieu, appelée impédance acoustique caractéristique : $Z_c = \frac{p'}{v} = \rho_0 c$ Unités : \text{Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1} ou \text{Rayleigh} (\text{kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}).

4. Énergétique des ondes

Puissance et Intensité acoustique

Vecteur de Poynting acoustique (Puissance surfacique) : $\vec{\Pi} = p' \vec{v}$ (\text{W}\cdot\text{m}^{-2}).
Intensité acoustique ( $I$ ) : Moyenne temporelle de la puissance surfacique : $I = \langle p' v \rangle_t$ Pour une onde progressive sinusoïdale 1D : $I = \frac{{p'}_{\text{eff}}^2}{Z_c} = \frac{1}{2} \frac{{p'}_{0}^2}{Z_c}$

Niveau d’intensité acoustique

Exprimé en décibels ( $\text{dB}$ ) par rapport à une intensité de référence $I_0 = 10^{-12} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$ (seuil d’audibilité) : $L = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$

5. Réflexion, Transmission et Ondes stationnaires

Continuité aux interfaces

À l’interface entre deux milieux d’impédances $Z_1$ et $Z_2$ (en $x=0$ ), il y a continuité de la pression $p'$ et de la vitesse $v$ (donc de $\frac{\partial p'}{\partial x}$ ).

Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude

Coefficient de réflexion en pression ( $r$ ) : $\underline{r} = \frac{\underline{p}'_r}{\underline{p}'_i} = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}$
Coefficient de transmission en pression ( $t$ ) : $\underline{t} = \frac{\underline{p}'_t}{\underline{p}'_i} = \frac{2Z_2}{Z_1 + Z_2}$

Ondes stationnaires

Si une onde rencontre une paroi parfaite ( $Z_2 \to \infty$ , ex: mur rigide), $r = 1$ . L’interférence entre l’onde incidente et l’onde réfléchie donne une onde stationnaire : $\psi(x,t) = 2 A \cos(kx) \cos(\omega t)$

Nœuds d’onde : points où l’amplitude est constamment nulle ( $\cos(kx) = 0$ ).
Ventres d’onde : points où l’amplitude est maximale ( $\cos(kx) = \pm 1$ ).

6. Méthodes et Savoir-faire

Établir une équation d’onde :
- Isoler une portion élémentaire de milieu (ex: une tranche de fluide $[x, x+dx]$ , ou une corde).
- Appliquer le PFD (ou les lois de conservation).
- Linéariser en négligeant les termes d’ordre supérieur (petites perturbations).
- Identifier le coefficient $c$ sous la forme $\frac{1}{c^2} = \text{terme inertiel} \times \text{terme de rappel}$ .
Utiliser la notation complexe :
- Toujours l’utiliser pour les ondes harmoniques afin de simplifier les dérivations spatiales et temporelles ( $\partial_t \to j\omega$ , $\partial_x \to \mp jk$ ). Revenir à la partie réelle (ou physique) en fin de calcul si nécessaire.

7. Pièges à éviter

Confusion célérité / vitesse particulaire : La célérité $c$ est la vitesse de propagation de la perturbation (caractéristique du milieu). La vitesse particulaire $v(x,t)$ est la vitesse réelle de déplacement des particules du milieu autour de leur position d’équilibre (souvent très faible devant $c$ ).
Oubli de la référence dans le calcul en décibels : Ne jamais additionner des décibels directement ( $L_1 + L_2 \neq 10 \log(I_1+I_2)$ ). Il faut toujours repasser par les intensités, additionner les intensités, puis recalculer le niveau global.
Conditions aux limites : Bien identifier si l’on s’intéresse à la pression ou à la vitesse. Un nœud de pression correspond à un ventre de vitesse, et réciproquement.