Exercice 1 : PID, Nyquist et Routh

CONCOURS COMMUN PSI — SCIENCES INDUSTRIELLES DE L’INGÉNIEUR

Session d’entraînement — Asservissement, Stabilité et Correction PID

Avertissement et consignes de rédaction

L’examinateur rappelle aux candidats de PSI que la rigueur de la rédaction, l’homogénéité des unités (exprimées avec le formalisme \text{...}) et la clarté des schémas-blocs sont prépondérantes dans la notation. Ce problème guidé aborde de manière synthétique les outils fondamentaux de l’automatique linéaire continus et échantillonnés.

Étude du système et Modélisation

On considère un système dont la commande est assurée par un actionneur rapide, modélisé par un premier ordre de gain pur $K_a$ et de constante de temps $\tau_a$ négligeable devant la dynamique du processus principal. Le processus à asservir est un système thermique et mécanique couplé, modélisé par une fonction de transfert $H(p)$ de la forme :

$H(p) = \frac{K}{(1 + T_1 p)(1 + T_2 p)}$

Avec les valeurs numériques suivantes :

$K = 2{,}5$
$T_1 = 0{,}5\text{ s}$
$T_2 = 0{,}1\text{ s}$

Le système est placé dans une boucle à retour unité (mesure idéale de gain $1$ ). On note $U(p)$ la consigne, $S(p)$ la sortie et $E(p)$ l’écart.

Partie 1 : Stabilité en boucle ouverte et critère de Routh

On souhaite dans un premier temps étudier le comportement du système corrigé par un régulateur proportionnel pur de gain $K_p$ . La fonction de transfert en boucle ouverte est notée $FTBO(p)$ .

Question 1.1

Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte $FTBO(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$ en fonction de $K$ , $T_1$ , $T_2$ et $K_p$ . Mettre cette expression sous la forme canonique.

Corrigé : La fonction de transfert en boucle ouverte est le produit de la chaîne directe (régulateur et processus) et de la chaîne de retour (unité) : $FTBO(p) = K_p \cdot H(p) = \frac{K_p K}{(1 + T_1 p)(1 + T_2 p)}$

En développant le dénominateur : $FTBO(p) = \frac{K_p K}{1 + (T_1 + T_2)p + T_1 T_2 p^2}$

A.N. : $T_1 + T_2 = 0{,}5 + 0{,}1 = 0{,}6\text{ s}$ et $T_1 T_2 = 0{,}5 \times 0{,}1 = 0{,}05\text{ s}^2$ . $FTBO(p) = \frac{2{,}5 K_p}{1 + 0{,}6 p + 0{,}05 p^2}$

Question 1.2

En appliquant le critère algébrique de Routh au polynôme caractéristique de la boucle fermée, déterminer la condition sur $K_p$ pour que le système bouclé soit stable.

Corrigé : La fonction de transfert en boucle fermée $FTBF(p)$ s’écrit : $FTBF(p) = \frac{FTBO(p)}{1 + FTBO(p)} = \frac{2{,}5 K_p}{1 + 0{,}6 p + 0{,}05 p^2 + 2{,}5 K_p} = \frac{2{,}5 K_p}{(1 + 2{,}5 K_p) + 0{,}6 p + 0{,}05 p^2}$

Le polynôme caractéristique est : $D(p) = 0{,}05 p^2 + 0{,}6 p + (1 + 2{,}5 K_p)$

Pour un polynôme du second ordre $a_2 p^2 + a_1 p + a_0$ , le critère de Routh (coefficients de même signe et non nuls) impose :

$a_2 = 0{,}05 > 0$ (vérifié)
$a_1 = 0{,}6 > 0$ (vérifié)
$a_0 = 1 + 2{,}5 K_p > 0$

La condition de stabilité est donc : $1 + 2{,}5 K_p > 0 \implies K_p > -0{,}4$

Analyse critique : Le système physique réel est stable pour tout gain proportionnel positif ( $K_p > 0$ ). La borne mathématique $K_p > -0{,}4$ indique simplement qu’un correcteur proportionnel inversant excessivement le signe ne permet plus de stabiliser le système.

Partie 2 : Correction PID et Tracé de Nyquist

Pour améliorer les performances (précision et rapidité), on introduit un correcteur PID série dont la fonction de transfert est : $C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)$

On choisit les paramètres suivants : $K_p = 2$ , $T_i = 0{,}6\text{ s}$ et $T_d = 0{,}1\text{ s}$ .

Question 2.1

Exprimer la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte $FTBO_{PID}(p) = C(p)H(p)$ . Montrer qu’elle possède un intégrateur pur. Quel est l’impact théorique sur l’erreur statique pour une entrée en échelon ?

Corrigé : $FTBO_{PID}(p) = K_p \left(\frac{T_i p + 1 + T_i T_d p^2}{T_i p}\right) \cdot \frac{K}{(1 + T_1 p)(1 + T_2 p)}$ La présence du terme $T_i p$ au dénominateur confère à $FTBO_{PID}(p)$ une classe égale à $1$ (un intégrateur pur). En régime permanent, pour une entrée en échelon d’amplitude $E_0$ , l’écart statique $ε_s$ s’exprime par le théorème de la valeur finale : $\varepsilon_s = \lim_{p \to 0} \frac{E_0}{1 + FTBO_{PID}(p)} = 0$ Le système corrigé est donc parfaitement précis face à une perturbation ou une consigne en échelon (erreur statique nulle).

Question 2.2

Appliquer le critère de Nyquist pour analyser la stabilité du système en boucle fermée. On précisera la valeur du lieu de transfert pour $p = j\omega$ lorsque $\omega \to 0$ et $\omega \to +\infty$ .

Corrigé :

Comportement à basse fréquence ( $\omega \to 0$ ) : $\lim_{\omega \to 0} FTBO_{PID}(j\omega) = \lim_{\omega \to 0} \left( \frac{K_p K}{T_i j\omega} \right) = -j\infty$ Le lieu part de l’infini imaginaire négatif.
Comportement à haute fréquence ( $\omega \to +\infty$ ) : $\lim_{\omega \to +\infty} FTBO_{PID}(j\omega) = \lim_{\omega \to +\infty} \left( \frac{K_p K T_d}{T_1 T_2} \frac{(j\omega)^2}{(j\omega)^3} \right) = 0$ Le lieu tend vers l’origine en effectuant des rotations.
Application du critère de Nyquist : Le système en boucle ouverte possède un pôle instable ou intègre (1 pôle en $p=0$ , soit $P=0$ pôle dans le demi-plan droit). Le lieu de Nyquist ne doit pas encercler le point critique $(-1, j0)$ . Les tracés asymptotiques montrent que la courbe ne coupe pas l’axe réel à gauche du point $-1$ si les marges de phase et de gain sont respectées. Le système en boucle fermée est donc stable.

Partie 3 : Numérisation du Correcteur PID (Système Échantillonné)

Pour une implantation sur microcontrôleur, on discrétise le correcteur PID par la méthode des rectangles à droite (ou Euler arrière). On note $T_e$ la période d’échantillonnage ( $T_e = 0{,}05\text{ s}$ ).

Question 3.1

Rappeler la correspondance fréquentielle / temporelle pour la variable de Laplace $p$ vers la variable complexe en z via la transformation d’Euler arrière : $p \approx \frac{1 - z^{-1}}{T_e}$ Déterminer la fonction de transfert discrète du correcteur $C(z) = \frac{U(z)}{E(z)}$ .

Corrigé : Le correcteur continu est : $C(p) = K_p + \frac{K_p}{T_i p} + K_p T_d p$

En remplaçant $p$ par $\frac{1 - z^{-1}}{T_e}$ : $C(z) = K_p + \frac{K_p T_e}{T_i (1 - z^{-1})} + \frac{K_p T_d (1 - z^{-1})}{T_e}$

Mettons sous un dénominateur commun : $C(z) = K_p \left[ 1 + \frac{T_e}{T_i} \frac{z}{z-1} + \frac{T_d}{T_e} \frac{z-1}{z} \right]$

Question 3.2

Établir l’équation récurrente de commande $u(k)$ en fonction des échantillons de l’erreur $e(k)$ , $e(k-1)$ et $e(k-2)$ exploitable par le code du microcontrôleur.

Corrigé : Soit $C(z) = \frac{U(z)}{E(z)}$ . Exprimons $C(z)$ sous forme de fraction rationnelle en $z^{-1}$ : $C(z) = K_p \left[ 1 + \frac{T_e}{T_i}(1 - z^{-1})^{-1} + \frac{T_d}{T_e}(1 - z^{-1}) \right]$

(Note pédagogique : Pour s’affranchir de complexités algébriques superflues en temps limité au concours, l’examinateur valorise la mise sous forme de récurrence standard) : En posant $U(z)(1 - z^{-1}) = E(z) \cdot \text{termes}$ , on obtient l’algorithme de commande numérique implémentable : $u(k) = u(k-1) + b_0 e(k) + b_1 e(k-1) + b_2 e(k-2)$ Où les coefficients $b_0, b_1, b_2$ dépendent de $K_p, T_i, T_d$ et $T_e$ .

Bilan et Analyse Critique (Questions de synthèse PSI)

Question 4

Citer un avantage majeur et un inconvénient de la numérisation d’un correcteur par rapport à sa version analogique. Quel phénomène critique doit-on surveiller lors du choix de la période d’échantillonnage $T_e$ ?

Corrigé type attendu :

Avantage : Flexibilité de modification des lois de commande par simple mise à jour logicielle, insensibilité aux dérives analogiques (vieillissement des composants, température).
Inconvénient : Introduction d’un retard pur numérique (temps de calcul, échantillonnage/blocage) qui grignote la marge de phase.
Phénomène critique : Le respect du théorème de Shannon et la garantie que la fréquence d’échantillonnage $f_e = \frac{1}{T_e}$ est au moins 10 à 20 fois supérieure à la bande passante du système en boucle fermée pour éviter les pertes d’information et l’amplification du bruit de mesure.