Cours : Géométrie vectorielle et repérée

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le cadre d’etude fondamental de la geometrie vectorielle et reperee en classe de premiere annee BCPST est l’espace affine euclidien reel de dimension 3, note $\mathcal{E}$, associe a son espace vectoriel directeur $\vec{\mathcal{E}}$ muni d’un produit scalaire.

Espace vectoriel euclidien

On considere $\vec{\mathcal{E}}$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ ($n \in \{2, 3\}$). Un produit scalaire sur $\vec{\mathcal{E}}$ est une application bilineaire, symetrique, definie positive, note $\langle \cdot, \cdot \rangle$ ou $\cdot$.

• Inegalite de Cauchy-Schwarz : Pour tous $\vec{u}, \vec{v} \in \vec{\mathcal{E}}$, $|\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle| \leq \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|$
• Inegalite triadique (minkowski) : Pour tous $\vec{u}, \vec{v} \in \vec{\mathcal{E}}$, $\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$

Repere cartesien et bases

• Un repère orthonorme (RON) de $\mathcal{E}$ est donne par un origine $O \in \mathcal{E}$ et une base orthonormee $\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de $\vec{\mathcal{E}}$.
• Tout vecteur $\vec{u} \in \vec{\mathcal{E}}$ se decompose de maniere unique dans $\mathcal{B}$ sous la forme $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, ce qui permet d’identifier $\vec{u}$ a sa matrice colonne des coordonnees : $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Produit mixte et produit vectoriel en dimension 3

Soit $\vec{\mathcal{E}}$ un espace vectoriel euclidien oriente de dimension 3.

Definition (Produit vectoriel)

Pour $\vec{u}, \vec{v} \in \vec{\mathcal{E}}$, le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est l’unique vecteur de $\vec{\mathcal{E}}$ defini par :

1. Pour tout $\vec{w} \in \vec{\mathcal{E}}$, $\langle \vec{u} \wedge \vec{v}, \vec{w} \rangle = \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ dans toute base orthonormee directe.
2. Proprietes algebriques : bilineaire, antisymetrique ($\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}$).

Proposition (Expression analytique dans un RON direct)

Si $\vec{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$, alors : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ z_1 x_2 - x_1 z_2 \\ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{pmatrix}$

Demonstration cle : Expression du produit mixte et invariance

Le produit mixte de trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ est le reel $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$. Soit $\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ un RON direct. Soit $P \in \mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{R})$ la matrice de passage d’une base orthonormee directe a une autre. La matrice de passage d’un RON direct a un autre verifie $P^T P = I_3$ et $\det(P) = 1$. Par invariance du determinant par changement de base orthonormee directe : $\det_{\mathcal{B}'}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \det(P^{-1}) \det_{\mathcal{B}}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \det(P^T) \det_{\mathcal{B}}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 1 \cdot \det_{\mathcal{B}}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ Ce scalaire represente geometriquement le volume signe du parallelepipede derobe par les trois vecteurs. $\blacksquare$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Calcul de la distance d’un point a une droite ou un plan

Soit un repere orthonorme $\mathcal{R} = (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

1. Distance d’un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ a un plan $(P)$ d’equation cartesienne $ax + by + cz + d = 0$ :

La formule officielle exigée aux concours est : $d(M_0, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Algorithme de calcul :

1. Identifier le vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ associe au plan $(P)$.
2. Verifier que le point n’appartient pas deja au plan.
3. Appliquer directement la formule analytique.

2. Distance d’un point $M_0$ a une droite $(D)$ passee par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ :

$d(M_0, D) = \frac{\|\vec{AM_0} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oubli de la nature directe du repere : Utiliser la formule du produit vectoriel ou du produit mixte dans un repere qui n’est pas orthonorme direct conduit a des erreurs de signe fatales. Toujours preciser : “Dans un repere orthonorme direct…”.
2. Confusions dimensionnelles : Une equation cartesienne $ax + by + cz + d = 0$ represente un plan en dimension 3, mais une droite en dimension 2. En dimension 3, une droite se definit par un systeme de deux equations cartesiennes (intersection de deux plans non paralleles).
3. Vecteurs normaux vs vecteurs directeurs : Lors de l’etude d’une orthogonalite, ne pas confondre le vecteur normal a un plan et le vecteur directeur d’une droite orthogonale a ce plan.
4. Denomination des matrices : Ne jamais ecrire une matrice sans preciser son ensemble d’appartenance (ex: $M \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$).