Optique Ondulatoire : Interférences & Réseaux de Diffraction

🎯 Analyse des attentes et critères d’évaluation des jurys

Dans les concours Mines-Ponts et Centrale-Supélec, l’épreuve de physique en filière PC fait la part belle à l’optique ondulatoire. L’examinateur ne cherche pas seulement à évaluer une restitution de cours, mais bien une maîtrise opérationnelle des concepts.

Les rapports de jury soulignent régulièrement les faiblesses suivantes :

• Confusions chroniques entre différence de marche $\delta$, déphasage $\Delta \varphi$ et retard temporel $\tau$.
• Approximations inadaptées (développements limités menés à l’ordre insuffisant ou non justifiés par les grandeurs caractéristiques du dispositif).
• Incompréhension physique du contraste : incapacité à relier la visibilité des franges à la cohérence temporelle ou spatiale de la source.
• Rédaction approximative dans le passage de l’intensité à deux ondes au cas multi-ondes (réseau de diffraction).

Pour décrocher une note d’excellence, votre copie doit présenter :

1. Une démarche rigoureuse : identification des sources, écriture du champ électrique complexe, calcul de la phase, puis passage à l’intensité temporelle moyenne.
2. Un soin graphique irréprochable si un schéma est demandé (axes orientés, notations explicites, plans d’observation clairement définis).
3. Une analyse critique des résultats (conditions aux limites, ordres de grandeur, comportement asymptotique).

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📐 Rappels théoriques & Démonstrations incontournables

Champ lumineux et intensité

Une onde lumineuse monochromatique de pulsation $\omega$ est modélisée par son champ électrique complexe $\underline{E}(M, t) = \underline{E}_0(M) e^{j(\omega t - \phi(M))}$. L’intensité lumineuse $I(M)$ observée sur un écran est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ réel : $I(M) = \varepsilon_0 c \, \langle \|\vec{E}_{\text{réel}}(M, t)\|^2 \rangle_t = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c \, \|\underline{E}_0(M)\|^2$

Superposition de deux ondes cohérentes

Pour deux ondes issues de la même source (interférences par division du front d’onde ou d’amplitude), l’intensité totale s’écrit sous la forme canonique de Fresnel : $I(M) = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \varphi(M))$ Où $\Delta \varphi(M) = \phi_2(M) - \phi_1(M) = \frac{2\pi}{\lambda_0} \delta(M)$ est le déphasage entre les deux ondes, et $\delta(M)$ la différence de marche optique.

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📌 Question / Problématique classique 1 : Calcul du déphasage et formule de Fresnel pour le dispositif des trous d’Young

💡 Méthode de rédaction canonique

1. Modélisation géométrique : Poser un repère cartésien $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ où les sources $S_1$ et $S_2$ sont situées dans le plan $x = 0$ en $(0, -a/2, 0)$ et $(0, a/2, 0)$. L’écran est placé à la distance $D$ (avec $a \ll D$).
2. Expression des chemins optiques : Exprimer la distance $S_1 M$ et $S_2 M$ pour un point $M(D, y, z)$ de l’écran.
3. Utilisation d’un développement limité (DL) : Factoriser par $D$ et utiliser l’approximation paraxiale $(a/D \ll 1)$.
4. Conclusion intermédiaire : En déduire l’expression de la différence de marche $\delta(M) = S_2 M - S_1 M$ puis du déphasage $\Delta \varphi$.

📋 Exercice type concours résolu pas à pas

Énoncé : Soit un dispositif des trous d’Young éclairé par une source laser monochromatique de longueur d’onde $\lambda_0$ dans le vide. Les trous sont séparés de $a = 1,0 \text{ mm}$ et l’écran est à $D = 1,5 \text{ m}$. Calculer l’interfrange $i$ sur l’écran.

Correction rédigée : Étape 1 : Calcul des chemins optiques. Soit $M(D, y, 0)$ un point de l’écran. Les coordonnées des sources secondaires sont $S_1(0, -a/2, 0)$ et $S_2(0, a/2, 0)$. Les distances $S_1 M$ et $S_2 M$ s’écrivent : $S_1 M = \sqrt{D^2 + \left(y + \frac{a}{2}\right)^2}, \quad S_2 M = \sqrt{D^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2}$

Étape 2 : Application du développement limité. On factorise par $D$ en supposant $y \ll D$ et $a \ll D$ : $S_2 M = D \left(1 + \frac{(y - a/2)^2}{D^2}\right)^{1/2}$ À l’aide du développement limité usuel $(1+\epsilon)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}\epsilon$ valable pour $\epsilon \ll 1$, on obtient : $S_2 M \approx D \left(1 + \frac{y^2 - ya + a^2/4}{2D^2}\right)$ De même pour $S_1 M$ : $S_1 M \approx D \left(1 + \frac{y^2 + ya + a^2/4}{2D^2}\right)$

Étape 3 : Calcul de la différence de marche et de l’intensité. La différence de marche optique $\delta$ vaut : $\delta = S_2 M - S_1 M \approx -\frac{ya}{D}$ En retenant la valeur absolue ou la définition algébrique selon l’orientation, le déphasage est $\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0} \delta$. L’intensité lumineuse s’exprime par : $I(y) = 2 I_0 \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi a y}{\lambda_0 D}\right)\right)$ Les franges brillantes sont obtenues lorsque $\Delta \varphi = 2 p \pi$ (avec $p \in \mathbb{Z}$), ce qui donne la position des interfranges $y_p = p \frac{\lambda_0 D}{a}$. L’interfrange $i$, défini par $i = y_{p+1} - y_p$, s’écrit : $i = \frac{\lambda_0 D}{a}$ A.N. : Pour $\lambda_0 = 632,8 \text{ nm}$ (laser hélium-néon), $D = 1,5 \text{ m}$ et $a = 1,0 \text{ mm}$ : $i = \frac{632,8 \times 10^{-9} \times 1,5}{1,0 \times 10^{-3}} = 9,49 \times 10^{-4} \text{ m} \approx 0,95 \text{ mm}$

⚠️ Les pièges majeurs relevés dans les rapports de jury

• Erreur d’ordre dans le DL : S’arrêter à l’ordre 0 (terme en $D$) conduit à $\delta = 0$, ce qui annule toute possibilité d’observer des interférences. Il faut impérativement aller au premier ordre non nul (ordre 2 en $y/D$).
• Oubli de la condition de validité : Ne pas préciser que le calcul n’est valable que dans l’approximation paraxiale ($y \ll D$).

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📌 Question / Problématique classique 2 : Détermination de la différence de marche et expression du contraste des franges

💡 Méthode de rédaction canonique

1. Définition générale du contraste : Rappeler la formule mathématique du contraste (ou visibilité) : $\mathcal{C} = \frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}$
2. Lien avec la source étendue ou polychromatique : Expliquer comment la superposition incohérente d’intensités modifie l’expression de l’intensité globale.
3. Calcul de l’enveloppe : Intégrer sur les différentes longueurs d’onde ou sur la dimension de la source pour obtenir le terme correctif (souvent un sinus ou une fonction cardinale).
4. Interprétation physique : Discuter de la disparition des franges au-delà d’une certaine différence de marche (longueur de cohérence) ou d’une taille critique de source.

📋 Exercice type concours résolu pas à pas

Énoncé : On considère une source lumineuse polychromatique émettant dans un intervalle de longueur d’onde $[\lambda_0 - \Delta \lambda / 2, \lambda_0 + \Delta \lambda / 2]$. En supposant l’intensité émise uniformément répartie, exprimer l’intensité totale $I(M)$ et déterminer l’expression du contraste en fonction de la différence de marche $\delta$.

Correction rédigée : Étape 1 : Sommation des intensités polychromatiques. Les différentes composantes spectrales de la source étant incohérentes entre elles, les intensités s’ajoutent. Pour un élément spectral de longueur d’onde $\lambda$ et d’intensité élémentaire $dI_0 = \frac{I_0}{\Delta \lambda} d\lambda$, l’intensité élémentaire sur l’écran s’écrit : $dI(M, \lambda) = 2 \frac{I_0}{\Delta \lambda} \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi \delta}{\lambda}\right)\right) d\lambda$

Étape 2 : Intégration sur le spectre. L’intensité totale est obtenue par intégration : $I(M) = \int_{\lambda_0 - \Delta \lambda / 2}^{\lambda_0 + \Delta \lambda / 2} 2 \frac{I_0}{\Delta \lambda} \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi \delta}{\lambda}\right)\right) d\lambda$ En posant $x = \frac{2\pi \delta}{\lambda}$, on a $d\lambda = -\frac{2\pi \delta}{x^2} dx$. Pour simplifier le calcul dans le cas où $\Delta \lambda \ll \lambda_0$, on approche l’intégrale en posant $\lambda \approx \lambda_0$ dans l’amplitude et en effectuant l’intégration : $I(M) = 2 I_0 \left( 1 + \text{sinc}\left(\frac{\pi \delta \Delta \lambda}{\lambda_0^2}\right) \cos\left(\frac{2\pi \delta}{\lambda_0}\right) \right)$ Où $\text{sinc}(u) = \frac{\sin(u)}{u}$.

Étape 3 : Calcul du contraste. L’intensité maximale et minimale s’obtiennent lorsque le terme $\cos(\dots)$ vaut respectivement $+1$ et $-1$ (en supposant l’enveloppe lentement variable devant la fonction cosinus) : $I_{\text{max}} = 2 I_0 \left(1 + \left|\text{sinc}\left(\frac{\pi \delta \Delta \lambda}{\lambda_0^2}\right)\right|\right), \quad I_{\text{min}} = 2 I_0 \left(1 - \left|\text{sinc}\left(\frac{\pi \delta \Delta \lambda}{\lambda_0^2}\right)\right|\right)$ Le contraste $\mathcal{C}$ s’établit donc ainsi : $\mathcal{C}(\delta) = \left| \text{sinc}\left(\frac{\pi \delta \Delta \lambda}{\lambda_0^2}\right) \right|$

Étape 4 : Analyse critique. Si $\delta = 0$, $\mathcal{C} = 1$ (franges nettes). Dès que $\delta$ augmente de telle sorte que $\frac{\pi \delta \Delta \lambda}{\lambda_0^2} \ge \pi$, le contraste s’annule : c’est le brouillage des franges par incohérence temporelle.

⚠️ Les pièges majeurs relevés dans les rapports de jury

• Addition des amplitudes au lieu des intensités pour des sources incohérentes (polychromatiques ou étendues). C’est une faute éliminatoire grave.
• Mauvaise manipulation de la fonction cardinale : Oublier de prendre la valeur absolue lors du calcul du contraste, ce qui conduirait à un contraste négatif (physiquement inacceptable puisque l’intensité est positive).

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📌 Question / Problématique classique 3 : Étude de la résolution d’un réseau de diffraction en réfraction/réflexion

💡 Méthode de rédaction canonique

1. Condition d’interférence constructive (Réseau) : Établir la formule des réseaux par un bilan de marche entre deux fentes consécutives séparées d’un pas $a$ (ou $b$) : $a (\sin(i) + \sin(i')) = p \lambda_0$
2. Recherche de la condition de mise en coïncidence ou de résolution (Critère de Rayleigh) : Exprimer l’écart angulaire minimal $\delta i'$ entre deux longueurs d’onde $\lambda$ et $\lambda + d\lambda$ que le réseau peut séparer.
3. Calcul du pouvoir de résolution théorique : Faire le rapport $R = \frac{\lambda_0}{\Delta \lambda} = p N$, où $N$ est le nombre total de traits éclairés.

📋 Exercice type concours résolu pas à pas

Énoncé : Un réseau par transmission comporte $N = 2000$ traits répartis sur une largeur $L = 1,0 \text{ cm}$. Il est éclairé sous incidence normale ($i = 0$) par une lumière polychromatique contenant deux raies voisines du sodium autour de $\lambda_0 = 589,0 \text{ nm}$ ($\Delta \lambda = 0,6 \text{ nm}$). Calculer l’ordre d’interférence $p$ minimal et vérifier si le réseau permet de résoudre ces deux raies à l’ordre $p = 1$.

Correction rédigée : Étape 1 : Formule fondamentale du réseau. Pour une incidence normale ($i = 0$), la différence de marche entre deux ondes issues de traits consécutifs séparés d’un pas $a$ est $\delta = a \sin(i')$, où $i'$ est l’angle de diffraction. Les directions des principaux maxima vérifient la condition de grating : $a \sin(i') = p \lambda_0 \quad (\text{avec } p \in \mathbb{Z})$ Le pas $a$ du réseau se calcule à partir de la largeur totale $L$ et du nombre de traits $N$ : $a = \frac{L}{N} = \frac{1,0 \times 10^{-2}}{2000} = 5,0 \times 10^{-6} \text{ m} = 5,0 \, \mu\text{m}$

Étape 2 : Expression du pouvoir de résolution par le critère de Rayleigh. Deux raies de longueurs d’onde $\lambda$ et $\lambda + d\lambda$ sont dites résolues si le maximum principal de l’une coïncide avec le premier minimum d’annulation de l’autre. En différentiant la relation du réseau à angle $i'$ fixé : $a \cos(i') di' = p d\in$ La largeur angulaire d’un pic principal d’interférence multi-ondes est donnée par $\Delta i' \approx \frac{\lambda}{N a \cos(i')}$. En appliquant le critère de Rayleigh, le pouvoir de résolution chromatique $R$ s’exprime par : $R = \frac{\lambda_0}{\Delta \lambda} = p N$

Étape 3 : Application numérique et vérification. Calculons le pouvoir de résolution nécessaire pour séparer les deux raies du sodium : $R_{\text{requis}} = \frac{589,0 \times 10^{-9}}{0,6 \times 10^{-9}} \approx 982$ Voyons le pouvoir de résolution offert par le réseau à l’ordre $p = 1$ : $R_{\text{offert}} = p N = 1 \times 2000 = 2000$ Puisque $R_{\text{offert}} > R_{\text{requis}}$ ($2000 > 982$), le réseau permet de résoudre les deux raies dès l’ordre $p = 1$.

⚠️ Les pièges majeurs relevés dans les rapports de jury

• Confusion entre pas du réseau ($a$) et nombre de traits ($N$) : Le pas $a$ est une dimension spatiale (exprimée en mètres ou micromètres), tandis que $N$ est un nombre sans dimension.
• Erreur de signe dans la formule des réseaux : Attention au sens des angles $i$ et $i'$ selon qu’ils sont comptés algébriquement ou non par rapport à la normale orientée. Toujours redémarrer d’un schéma géométrique propre pour valider les signes (+ ou -).