Cours : Variables aléatoires à densité

Cours de Mathématiques - MP : Variables Aléatoires à Densité

Professeur de CPGE (MP)

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1. Introduction et Définitions Fondamentales

Dans le cadre du programme de mathématiques de MP, l’étude des variables aléatoires réelles (v.a.r.) à densité formalise l’intuition de phénomènes aléatoires continus.

1.1. Espace probabilisé et v.a.r.

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé. Définition. Une application $X : \Omega \to \mathbb{R}$ est dite variable aléatoire réelle si pour tout $x \in \mathbb{R}$, l’événement $\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \le x\}$ (noté $(X \le x)$) appartient à la tribue $\mathcal{A}$.

1.2. Fonction de répartition

Définition. La fonction de répartition d’une v.a.r. $X$ est la fonction $F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]$ définie par : $\forall x \in \mathbb{R}, \quad F_X(x) = P(X \le x)$

Propriétés fondamentales (admises ou démontrées selon le cas) :

1. $F_X$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
2. $\lim_{-\infty} F_X = 0$ et $\lim_{+\infty} F_X = 1$.
3. $F_X$ est continue à droite en tout point.
4. Pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a \le b$, $P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$.

1.3. Variables aléatoires à densité

Définition. Une v.a.r. $X$ est dite à densité si sa fonction de répartition $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$ (ou plus généralement continue, et de classe $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points). On appelle densité de probabilité de $X$ toute fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$ continue par morceaux, positive, et telle que : $\forall x \in \mathbb{R}, \quad F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$

Remarque cruciale : La valeur de $f$ en un nombre fini de points ne modifie pas l’intégrale. Une densité n’est donc pas unique, mais l’ensemble des densités d’une même v.a.r. coïncide presque partout.

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2. Propriétés d’une Densité et Calculs de Probabilités

2.1. Conditions pour qu’une fonction soit une densité

Théorème. Une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est la densité d’une variable aléatoire si et seulement si :

1. Positivité : $\forall x \in \mathbb{R}, \; f(x) \ge 0$.
2. Continuité par morceaux : $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$.
3. Normalisation : L’intégrale impropre $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt$ converge et vaut $1$.

2.2. Calculs d’événements

Soit $X$ une v.a.r. de densité $f$. Pour tous réels $a$ et $b$ ($a \le b$) :

• $P(X = a) = 0$ (conséquence de la continuité de $F_X$).
• $P(a \le X \le b) = P(a < X \le b) = P(a \le X < b) = P(a < X < b) = \int_a^b f(t) \, dt$.
• $P(X > a) = \int_a^{+\infty} f(t) \, dt$.

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3. Espérance et Variance (Moments d’ordre 1 et 2)

3.1. Espérance

Définition. Soit $X$ une v.a.r. à densité de densité $f$. On dit que $X$ admet une espérance (ou qu’elle est d’ordre 1) si l’intégrale impropre $\int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt$ est absolument convergente. Le cas échéant, l’espérance de $X$, notée $E(X)$, est définie par : $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt$

3.2. Variance

Définition. Soit $X$ une v.a.r. admettant un moment d’ordre 2 (c’est-à-dire que $\int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f(t) \, dt$ converge absolument). La variance de $X$, notée $V(X)$ (ou $\text{Var}(X)$), est définie par : $V(X) = E\left( (X - E(X))^2 \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} (t - E(X))^2 f(t) \, dt$

Théorème de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ où $E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f(t) \, dt$.

L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

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4. Lois Usuelles (Programme de MP)

Loi	Notation	Densité $f(x)$	Espérance $E(X)$	Variance $V(X)$
Uniforme sur $[a, b]$ ($a<b$)	$\mathcal{U}([a, b])$	$\frac{1}{b-a} \mathbb{I}_{[a, b]}(x)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Exponentielle de paramètre $\lambda > 0$	$\mathcal{E}(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x} \mathbb{I}_{[0, +\infty[}(x)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
Centrée réduite (Gaussienne)	$\mathcal{N}(0, 1)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2 / 2}$	$0$	$1$
Gaussienne générale ($\mu, \sigma^2$)	$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$
Note: * La notation $\mathbb{I}_{A}$ désigne la fonction indicatrice de l’ensemble $A$.

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5. Théorème de Transfert (Loi de $g(X)$)

Théorème (Hors-programme admis ou démontré selon les cas, fondamental en pratique). Soit $X$ une v.a.r. à densité $f$ et $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue (ou continue par morceaux). La variable aléatoire $Y = g(X)$ admet une espérance si et seulement si l’intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) f(t) \, dt$ converge absolument. Dans ce cas : $E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) f(t) \, dt$

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6. Méthodes et Savoir-Faire en MP

Méthode 1 : Déterminer si une fonction est une densité

1. Vérifier la positivité $f \ge 0$ (souvent sur un domaine précis, attention aux zéros).
2. Vérifier la continuité par morceaux.
3. Calculer l’intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt$ comme une limite d’intégrales sur des segments (intégrales impropres) et s’assurer qu’elle vaut $1$.

Méthode 2 : Trouver la densité d’une fonction d’une variable aléatoire ($Y = g(X)$)

Méthode de la fonction de répartition (universelle) :

1. Poser $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y)$.
2. Résoudre l’inéquation $g(X) \le y$ en fonction de $X$ pour exprimer cet événement à l’aide de $X$.
3. Exprimer $F_Y(y)$ à l’aide de la fonction de répartition $F_X$ ou de la densité $f_X$ (en calculant l’intégrale correspondante).
4. Dériver $F_Y$ (là où elle est $\mathcal{C}^1$) pour obtenir $f_Y$.

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7. Pièges Classiques et Mises en Garde

1. Confusion entre v.a. discrète et v.a. à densité : Pour une v.a. à densité, $P(X = c) = 0$ pour tout $c \in \mathbb{R}$. On a donc $P(X \le c) = P(X < c)$. Ne jamais écrire $P(X=c) > 0$.
2. Convergence des intégrales pour les moments : Pour affirmer qu’une espérance existe, il ne suffit pas de dire que l’intégrale converge (au sens semi-convergent), il faut impérativement vérifier la convergence absolue ($\int |t|f(t)dt < +\infty$). C’est un point de rigueur absolue en CPGE.
3. Domaine de validité d’une densité : Une densité est nulle en dehors de son support. Ne pas oublier de préciser les indicatrices ou les bornes des intégrales lors des calculs d’espérance.