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CPGE Futur

Exercice 2 : Dimensionnement d engrenages

Problème guidé : Dimensionnement d’un réducteur à engrenages cylindriques à denture droite

Section titled “Problème guidé : Dimensionnement d’un réducteur à engrenages cylindriques à denture droite”

Préambule et consignes de l’examinateur

Section titled “Préambule et consignes de l’examinateur”

Ce problème aborde le dimensionnement mécanique d’un réducteur de vitesse à engrenages, thématique classique des concours de la filière PT (Sciences Industrielles de l’Ingénieur). L’objectif est d’évaluer votre capacité à lier la cinématique, l’action mécanique transmissible (statique/dynamique) et le comportement des matériaux (Résistance des Matériaux).

Il est rappelé que toute application numérique doit être précédée d’une expression littérale littéralement homogène, et que les résultats doivent être accompagnés de leurs unités exprimées à l’aide de la commande ...\text{...} en LaTeX.

Étude préliminaire : Kinématique et efforts dans l’engrenage

Section titled “Étude préliminaire : Kinématique et efforts dans l’engrenage”

On considère un réducteur de vitesse composé d’un pignon menant 11 et d’une roue menée 22.

  • Nombre de dents du pignon : Z1=20Z_1 = 20
  • Nombre de dents de la roue : Z2=80Z_2 = 80
  • Module de la denture : m=3 mmm = 3\text{ mm}
  • Angle de pression : α=20∘\alpha = 20^\circ
  • Fréquence de rotation du pignon : N1=1500 tr/minN_1 = 1500\text{ tr/min}
  • Puissance nominale transmise : P=10 kWP = 10\text{ kW}
  • Largeur de denture : b=45 mmb = 45\text{ mm}

Question 1 : Vitesse de rotation et rapport de réduction

Section titled “Question 1 : Vitesse de rotation et rapport de réduction”

Exprimer et calculer la fréquence de rotation de la roue N2N_2 en tr/min\text{tr/min}, ainsi que le rapport de réduction rr.

Corrigé guidé : Le rapport de réduction cinématique pour un engrenage extérieur est donné par : r=N2N1=−Z1Z2r = \frac{N_2}{N_1} = -\frac{Z_1}{Z_2} En valeur absolue : N2=N1×Z1Z2=1500×2080=375 tr/minN_2 = N_1 \times \frac{Z_1}{Z_2} = 1500 \times \frac{20}{80} = 375\text{ tr/min} Le rapport de réduction vaut donc ∣r∣=0,25|r| = 0{,}25.

Question 2 : Géométrie de l’engrenage

Section titled “Question 2 : Géométrie de l’engrenage”

Exprimer et calculer les diamètres de raccordement primitifs d1d_1 et d2d_2 des deux roues.

Corrigé guidé : Par définition, les diamètres primitifs s’expriment en fonction du module mm et du nombre de dents ZZ : d1=m⋅Z1=3×20=60 mm=0,06 md_1 = m \cdot Z_1 = 3 \times 20 = 60\text{ mm} = 0{,}06\text{ m} d2=m⋅Z2=3×80=240 mm=0,24 md_2 = m \cdot Z_2 = 3 \times 80 = 240\text{ mm} = 0{,}24\text{ m}

Question 3 : Torseur des actions mécaniques transmissibles

Section titled “Question 3 : Torseur des actions mécaniques transmissibles”

En supposant le rendement du contact égal à 11, exprimer le couple nominal C1C_1 appliqué sur l’arbre 11, puis déterminer la norme de l’effort tangentiel TT agissant sur le flanc de la dent au point de contact primitif.

Corrigé guidé : La puissance se relie au couple et à la vitesse angulaire ω1\omega_1 (en rad/s\text{rad/s}) par la relation P=C1⋅ω1P = C_1 \cdot \omega_1, avec ω1=2πN160\omega_1 = \frac{2\pi N_1}{60}. C1=Pω1=P⋅602πN1=10×103×602π×1500≈63,66 N⋅mC_1 = \frac{P}{\omega_1} = \frac{P \cdot 60}{2 \pi N_1} = \frac{10 \times 10^3 \times 60}{2 \pi \times 1500} \approx 63{,}66\text{ N}\cdot\text{m}

L’effort tangentiel TT au diamètre primitif découle de l’action du couple : C1=T⋅d12  ⟹  T=2C1d1C_1 = T \cdot \frac{d_1}{2} \implies T = \frac{2 C_1}{d_1} AN : T=2×63,660,06≈2122 NT = \frac{2 \times 63{,}66}{0{,}06} \approx 2122\text{ N}

L’effort normal total FnF_n s’en déduit via l’angle de pression α\alpha : Fn=Tcos⁡(α)=2122cos⁡(20∘)≈2259 NF_n = \frac{T}{\cos(\alpha)} = \frac{2122}{\cos(20^\circ)} \approx 2259\text{ N} L’effort radial vaut R=T⋅tan⁡(α)=2122×tan⁡(20∘)≈772 NR = T \cdot \tan(\alpha) = 2122 \times \tan(20^\circ) \approx 772\text{ N}.

Résistance des matériaux : Vérification de la résistance des dents à la flexion (Formule de Lewis)

Section titled “Résistance des matériaux : Vérification de la résistance des dents à la flexion (Formule de Lewis)”

On modélise une dent du pignon 11 comme une poutre encastrée à sa base, de longueur égale à la hauteur utile, de largeur bb et d’épaisseur critique à la base notée ss. L’effort critique est l’effort normal FnF_n dont seule la composante tangentielle TT crée un moment de flexion prépondérant à l’encastrement.

La formule de Lewis évalue la contrainte normale maximale de flexion σmax\sigma_{\text{max}} au pied de la dent par la relation : σmax=Tb⋅m⋅Y\sigma_{\text{max}} = \frac{T}{b \cdot m \cdot Y} où YY est le facteur de forme de Lewis, dépendant du profil de la dent. Pour Z1=20Z_1 = 20 et α=20∘\alpha = 20^\circ, on relève Y≈0,32Y \approx 0{,}32.

Question 4 : Calcul de la contrainte maximale de flexion

Section titled “Question 4 : Calcul de la contrainte maximale de flexion”

Calculer la contrainte maximale σmax\sigma_{\text{max}} subie par le pignon 11. Conclure vis-à-vis d’un acier traité dont la limite élastique est Re=600 MPaR_e = 600\text{ MPa}, en adoptant un coefficient de sécurité sc=2s_c = 2.

Corrigé guidé : Application numérique directe de la formule de Lewis : σmax=212245×10−3×3×10−3×0,32\sigma_{\text{max}} = \frac{2122}{45 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-3} \times 0{,}32} σmax=2122432×10−6≈4,91×106 Pa=4,91 MPa\sigma_{\text{max}} = \frac{2122}{432 \times 10^{-6}} \approx 4{,}91 \times 10^6\text{ Pa} = 4{,}91\text{ MPa}

Attention aux erreurs d’homogénéité classiques en concours : bb et mm doivent être exprimés en mètres si l’on souhaite un résultat en Pascals (N/m2\text{N/m}^2).

Comparaison avec la condition de résistance : La contrainte admissible en flexion est : σadm=Πadm=Resc=6002=300 MPa\sigma_{\text{adm}} = \Pi_{\text{adm}} = \frac{R_e}{s_c} = \frac{600}{2} = 300\text{ MPa} Puisque σmax=4,91 MPa≪σadm\sigma_{\text{max}} = 4{,}91\text{ MPa} \ll \sigma_{\text{adm}}, la condition de résistance à la flexion est largement validée.

Question 5 : Dimensionnement en pression de Hertz (Critère d’usure / matage)

Section titled “Question 5 : Dimensionnement en pression de Hertz (Critère d’usure / matage)”

Le contact entre deux dents est modélisé par un contact linéique chargé. La pression de Hertz maximale pHp_H s’exprime par la loi de Hertz : pH=Fn⋅E∗π⋅b⋅ρ∗p_H = \sqrt{\frac{F_n \cdot E^*}{\pi \cdot b \cdot \rho^*}} Avec :

  • E∗E^* le module d’Young équivalent (pour l’acier, E∗≈E2(1−ν2)≈115 GPaE^* \approx \frac{E}{2(1-\nu^2)} \approx 115\text{ GPa}).
  • ρ∗\rho^* le rayon de courbure équivalent au point de contact : ρ∗=d1⋅d22(d1+d2)⋅sin⁡(α)\rho^* = \frac{d_1 \cdot d_2}{2(d_1 + d_2)} \cdot \sin(\alpha).

Calculer ρ∗\rho^*, puis évaluer pHp_H. Sachant que la pression limite admissible au matage pour cet acier trempé est plim=1200 MPap_{\text{lim}} = 1200\text{ MPa}, le dimensionnement est-il correct au matage ?

Corrigé guidé :

  1. Calcul du rayon de courbure équivalent ρ∗\rho^* : ρ∗=0,06×0,242(0,06+0,24)×sin⁡(20∘)=0,01442×0,30×sin⁡(20∘)=0,024×sin⁡(20∘)≈8,208×10−3 m\rho^* = \frac{0{,}06 \times 0{,}24}{2(0{,}06 + 0{,}24)} \times \sin(20^\circ) = \frac{0{,}0144}{2 \times 0{,}30} \times \sin(20^\circ) = 0{,}024 \times \sin(20^\circ) \approx 8{,}208 \times 10^{-3}\text{ m}

  2. Calcul de la pression de Hertz pHp_H : pH=2259×115×109π×(45×10−3)×(8,208×10−3)p_H = \sqrt{\frac{2259 \times 115 \times 10^9}{\pi \times (45 \times 10^{-3}) \times (8{,}208 \times 10^{-3})}} Sous le radical : Numeˊrateur=2,597×1014\text{Numérateur} = 2{,}597 \times 10^{14} Deˊnominateur=π×3,694×10−4=1,160×10−3\text{Dénominateur} = \pi \times 3{,}694 \times 10^{-4} = 1{,}160 \times 10^{-3} pH=2,597×10141,160×10−3=2,238×1017≈4,96×108 Pa=496 MPap_H = \sqrt{\frac{2{,}597 \times 10^{14}}{1{,}160 \times 10^{-3}}} = \sqrt{2{,}238 \times 10^{17}} \approx 4{,}96 \times 10^8\text{ Pa} = 496\text{ MPa}

  3. Analyse critique : La pression maximale calculée pH=496 MPap_H = 496\text{ MPa} est inférieure à la pression limite admissible au matage plim=1200 MPap_{\text{lim}} = 1200\text{ MPa}. Le dimensionnement est donc validé vis-à-vis du risque d’écrasement superficiel (matage).

Analyse critique et synthèse (Attendu type Concours PT)

Section titled “Analyse critique et synthèse (Attendu type Concours PT)”

Question 6 : Discuter des limites de ce modèle statique bidimensionnel et proposer une amélioration pour un fonctionnement réel à grande vitesse.

Corrigé guidé :

  • Limites du modèle : Le calcul mené ici est purement statique (ou quasi-statique) et néglige les phénomènes dynamiques d’engrènement. À 1500 tr/min1500\text{ tr/min}, les erreurs de theoricité du profil, les défauts de taille et la flexibilité variable des dents (due au nombre de dents en prise tournoyant de 1 à 2) engendrent des chocs dynamiques et des vibrations.
  • Amélioration : Il conviendrait d’introduire un coefficient dynamique KvK_v (facteur de service fonction de la vitesse linéaire et de la précision de taillage) qui majore l’effort nominal TT : Tdyn=Kv⋅TT_{\text{dyn}} = K_v \cdot T. De plus, une analyse thermique s’impose pour vérifier que les pertes par frottement n’entraînent pas une destruction du lubrifiant.