Exercice 2 : Frottement de Coulomb

PROBLÈME GUIDÉ : Étude d’un système freiné par adhérence et pivotement (MPSI - SII)

En tant qu’examinateur en classes préparatoires MPSI, j’attends des candidats non seulement une maîtrise rigoureuse des outils de modélisation mécanique, mais aussi une capacité à interpréter physiquement les résultats et à identifier les limites des modèles (ici, le modèle de Coulomb).

I. Présentation du système et objectifs

On considère un dispositif industriel destiné à bloquer une charge lourde en cas de panne. Le système est modélisé par un cylindre (corps 1) de rayon $R$ et de masse $M$ , posé sur un plan incliné (corps 0) faisant un angle $\alpha$ avec l’horizontale.

L’objectif de ce problème est de déterminer la condition limite de non-glissement du cylindre sur le plan incliné en présence du frottement de Coulomb, puis d’analyser l’influence des paramètres géométriques et physiques.

II. Modélisation et Paramétrage

Référentiel $\mathcal{R}_0 (\ O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0 \ )$ : lié au plan incliné 0, supposé galiléen.
- $\vec{x}_0$ est dirigé vers le bas de la pente.
- $\vec{y}_0$ est normal au plan, dirigé vers l’extérieur du plan (vers le cylindre).
- $\vec{z}_0$ est orthogonal au plan et au mouvement.
Paramètres cinématiques et géométriques :
- Le cylindre 1 est en contact ponctuel (ou sur une ligne de contact modélisée par un point $C$ ) avec le plan 0.
- Le champ de pesanteur est $\vec{g} = -g \sin(\alpha) \vec{x}_0 - g \iso{cos}(\alpha) \vec{y}_0$ .

III. Résolution guidée pas à pas

Étape 1 : Isolement et Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (AME)

Question 1. Isoler le cylindre (1). Identifier et exprimer dans la base $\mathcal{R}_0$ les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur (1).

Action de la pesanteur : $\{ \mathcal{V}_{\text{pes}} \} = \left\{ \vec{R}_{\text{pes}} = -Mg \sin(\alpha) \vec{x}_0 - Mg \cos(\alpha) \vec{y}_0 ; \vec{M}_{G, \text{pes}} = \vec{0} \right\}$ où $G$ est le centre de masse du cylindre.
Action du plan (0) sur le cylindre (1) au point de contact $C$ : L’action mécanique de contact est modélisée par une force $\vec{R}_{0 \to 1} = N \vec{y}_0 + T_x \vec{x}_0 + T_z \vec{z}_0$ , où $N > 0$ est la composante normale, et $\vec{T} = T_x \vec{x}_0 + T_z \vec{z}_0$ est la composante tangentielle (effort tranchant).

Étape 2 : Application du PFD / PFS

Le système est étudié à la limite du mouvement (statique limite). Le principe fondamental de la statique (PFS) s’applique.

Question 2. Appliquer le théorème de la résultante statique (TRS) au cylindre (1) en projection dans la base $\mathcal{R}_0$ .

Projection sur $\vec{x}_0$ : $Mg \sin(\alpha) + T_x = 0 \implies T_x = -Mg \sin(\alpha)$
Projection sur $\vec{y}_0$ : $-Mg \cos(\alpha) + N = 0 \implies N = Mg \cos(\alpha)$
Projection sur $\vec{z}_0$ : $T_z = 0$

Question 3. Appliquer le théorème du moment statique (TMS) au point $C$ . En déduire l’allure du problème.

En écrivant le TMS au point $C$ : $\vec{M}_{C, \text{ext}} = \vec{0} \implies \vec{CG} \wedge \vec{R}_{\text{pes}} = \vec{0}$ Le moment de la force de pesanteur en $C$ est nul car la droite d’action passe par $C$ (le cylindre ne subit pas de couple moteur externe, il est en équilibre sous l’effet de son poids et du contact).

Étape 3 : Loi de frottement de Coulomb

Question 4. Rappeler la loi de Coulomb au point de contact $C$ caractérisée par un coefficient de frottement statique $f$ .

À la limite du glissement, la norme de l’effort tangentiel est liée à la composante normale par la relation de Coulomb : $\|\vec{T}\| = f N$

Question 5. Établir l’expression de l’angle limite de frottement $\varphi$ tel que $\tan(\varphi) = f$ , et déterminer la condition d’adhérence en fonction de $\alpha$ et $f$ .

En injectant les expressions de $N$ et $T_x$ trouvées à l’étape 2 : $\|\vec{T}\| = |T_x| = Mg \sin(\alpha)$ $N = Mg \cos(\alpha)$

La condition de non-glissement (loi de Coulomb) s’écrit : $Mg \sin(\alpha) \le f Mg \cos(\alpha)$

Soit : $\tan(\alpha) \le f$

En introduisant l’angle de frottement $\varphi$ défini par $\tan(\varphi) = f$ , la condition devient : $\alpha \le \varphi$

IV. Analyse critique des résultats

Examen de la criticité physique : Le résultat montre que la condition d’adhérence est indépendante de la masse $M$ du cylindre ainsi que de son rayon $R$ . C’est un résultat classique mais contre-intuitif pour un non-initié, qui s’explique par le fait que la force motrice (composante du poids) et la force résistante (frottement) sont toutes deux proportionnelles à la masse $M$ .
Limites du modèle de Coulomb :
1. Le modèle suppose un contact ponctuel parfait, ce qui n’existe pas en réalité (le contact se fait sur une surface de Hertz due à la déformation élastique des corps).
2. Le coefficient $f$ est supposé constant, or il dépend de la vitesse de glissement (transition statique/dynamique), de l’état de surface, de la température et de la présence éventuelle de lubrifiant.
3. Si l’angle $\alpha$ dépasse $\varphi$ , le cylindre se met à rouler et glisser simultanément, ce qui invalide le modèle purement statique et nécessite l’introduction de la dynamique de rotation (théorème du moment cinétique).