Exercice 1 : Fonction de transfert et transformée de Laplace

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

On s’intéresse à l’axe de lacet d’un mini-drone d’observation destiné à la surveillance d’infrastructures industrielles. Pour garantir une qualité d’image optimale, la caméra embarquée doit pointer vers une cible fixe malgré les perturbations aérodynamiques (rafales de vent).

Le système étudié comprend :

• Une chaîne d’actionnement composée d’un convertisseur, d’un amplificateur et d’un moteur à courant continu entraînant la nacelle en rotation.
• Un capteur de position angulaire (gyromètre intégré couplé à une centrale inertielle) de fonction de transfert $H_c(p) = K_c$ avec $K_c = 1\,\text{V}\cdot\text{rad}^{-1}$.
• Un régulateur de type proportionnel-intégral (PI) de fonction de transfert $H_r(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)$.

Modélisation multiphysique et hypothèses

1. Hypothèse de linéarisation : Les mouvements sont de faible amplitude autour de la position d’équilibre, ce qui permet de négliger les termes non linéaires (couplages gyroscopiques avec le tangage et le roulis).
2. Électrotechnique : Le moteur à courant continu est commandé en tension. L’inductance de l’induit est supposée négligeable devant sa résistance $R$ (constante de temps électrique $\tau_e = \frac{L}{R} \ll \tau_m$, avec $\tau_m$ constante de temps mécanique).
3. Mécanique : L’ensemble rotor + nacelle + optique possède un moment d’inertie équivalent $J = 2{,}0 \times 10^{-4}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ et un coefficient de frottement visqueux global $f = 1{,}0 \times 10^{-3}\,\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{rad}^{-1}\cdot\text{s}$.
4. Constante de couple / force contre-électromotrice : $K_t = K_e = 0{,}05\,\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$ (ou $\text{V}\cdot\text{rad}^{-1}\cdot\text{s}$).

La fonction de transfert de la partie opérative (moteur + charge) reliant la vitesse angulaire $\Omega(p)$ à la tension de commande $U(p)$ est de la forme d’un premier ordre : $H_m(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)} = \frac{K_m}{1 + \tau_m p}$

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❓ Questions progressives

1. Établissement du modèle de la partie opérative À partir des équations électriques et mécaniques du moteur à courant continu, exprimer le gain $K_m$ et la constante de temps mécanique $\tau_m$ en fonction de $R$, $J$, $f$, $K_t$ et $K_e$. Effectuer l’application numérique.

2. Mise en place de la fonction de transfert en boucle ouverte Le système asservi utilise une mesure de la position angulaire $\theta(p)$. Sachant que $\Omega(p) = p \cdot \theta(p)$, exprimer la fonction de transfert de la partie opérative reliant la position $\theta(p)$ à la tension de commande $U(p)$, notée $H_{po}(p)$.

3. Analyse de la boucle ouverte On définit la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) du système corrigé par un régulateur PI : $FTBO(p) = H_r(p) \cdot H_{po}(p) \cdot H_c(p)$. Donner l’expression littérale de $FTBO(p)$ sous forme canonique. Quel est le type (classe) de ce système ? Quelle est sa conséquence sur l’erreur statique face à une consigne en échelon ?

4. Synthèse du régulateur et analyse critique On choisit de placer le zéro du régulateur PI de manière à simplifier le pôle mécanique du moteur (technique dite de compensation de pôle), soit $T_i = \tau_m$.

   • Exprimer $FTBO(p)$ simplifiée en fonction de $K_p$, $K_m$, $K_c$ et $\tau_m$.
   • Déterminer la valeur de $K_p$ pour obtenir un amortissement $\xi = 0{,}7$ de la boucle fermée.
   • Analyse critique : Discuter la validité de l’hypothèse de compensation de pôle face aux incertitudes industrielles sur les paramètres $J$ et $f$. Quel risque court-on en cas de dérive thermique de la résistance d’induit $R$ ?

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💡 Pistes & Indications

• Q1 : Écrire la loi des mailles dans l’induit ($U = Ri + E$) avec $E = K_e \Omega$, puis l’équation fondamentale de la dynamique en rotation sur l’arbre ($J \dot{\omega} = K_t i - f\omega$). Passer ensuite par la transformée de Laplace en considérant les conditions initiales nulles.
• Q2 : Rappeler que l’intégration dans le domaine temporel correspond à une division par $p$ dans le domaine de Laplace.
• Q3 : Le “type” ou “classe” d’un système asservi correspond au nombre d’intégrateurs purs ($1/p$) présents dans sa FTBO.
• Q4 : Pour identifier les caractéristiques d’un système du second ordre en boucle fermée, mettre la fonction de transfert sous la forme canonique : $\frac{1}{\frac{1}{\omega_n^2}p^2 + \frac{2\xi}{\omega_n}p + 1}$ ou équivalent.

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📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

1. Modèle de la partie opérative

Les équations régissant le moteur à courant continu sont :

• Équation électrique (en négligeant $L$) : $u(t) = R \cdot i(t) + e(t) \implies U(p) = R \cdot I(p) + E(p)$ avec $E(p) = K_e \Omega(p)$.
• Équation mécanique : $J \frac{d\omega(t)}{dt} = K_t i(t) - f \omega(t) \implies J p \Omega(p) = K_t I(p) - f \Omega(p)$

En combinant ces deux équations pour éliminer $I(p)$ : $I(p) = \frac{U(p) - K_e \Omega(p)}{R}$ $J p \Omega(p) = \frac{K_t}{R} \left( U(p) - K_e \Omega(p) \right) - f \Omega(p)$ $\left( J p + f + \frac{K_t K_e}{R} \right) \Omega(p) = \frac{K_t}{R} U(p)$

On met cette expression sous la forme canonique $H_m(p) = \frac{K_m}{1 + \tau_m p}$ : $H_m(p) = \frac{\frac{K_t}{f R + K_t K_e}}{1 + \frac{J R}{f R + K_t K_e} p}$

Par identification :

• $K_m = \frac{K_t}{f R + K_t K_e}$
• $\tau_m = \frac{J R}{f R + K_t K_e}$

A.N. : Supposons une résistance d’induit $R = 2{,}0\,\Omega$.

• $f R = 1{,}0 \times 10^{-3} \times 2{,}0 = 2{,}0 \times 10^{-3}\,\text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}$
• $K_t K_e = (0{,}05)^2 = 2{,}5 \times 10^{-3}\,\text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}$
• Dénominateur commun = $4{,}5 \times 10^{-3}$
• $K_m = \frac{0{,}05}{4{,}5 \times 10^{-3}} \approx 11{,}11\,\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{V}^{-1}$
• $\tau_m = \frac{2{,}0 \times 10^{-4} \times 2{,}0}{4{,}5 \times 10^{-3}} \approx 0{,}089\,\text{s}$

2. Fonction de transfert position / tension

Puisque $\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}$, on a dans le domaine de Laplace $\Omega(p) = p \cdot \theta(p)$. La fonction de transfert reliant la position $\theta(p)$ à la tension $U(p)$ est donc : $H_{po}(p) = \frac{\theta(p)}{U(p)} = \frac{1}{p} H_m(p) = \frac{K_m}{p(1 + \tau_m p)}$

3. Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO)

Le régulateur est un PI : $H_r(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right) = K_p \frac{1 + T_i p}{T_i p}$. Le capteur a pour fonction : $H_c(p) = K_c$.

La FTBO s’écrit : $FTBO(p) = H_r(p) \cdot H_{po}(p) \cdot H_c(p) = \left[ K_p \frac{1 + T_i p}{T_i p} \right] \cdot \left[ \frac{K_m}{p(1 + \tau_m p)} \right] \cdot K_c$

$FTBO(p) = \frac{K_p K_m K_c (1 + T_i p)}{T_i p^2 (1 + \tau_m p)}$

• Type du système : La présence de $p^2$ au dénominateur de la FTBO indique qu’il s’agit d’un système de type 2.
• Conséquence : Pour une consigne en échelon (position désirée constante), l’erreur statique est nulle ($E_s = 0$). Le système suit parfaitement la consigne de position en régime permanent sans erreur de trainage.

4. Synthèse et analyse critique

• Compensation de pôle : En posant $T_i = \tau_m$, le terme $(1 + T_i p)$ au numérateur simplifie le terme $(1 + \tau_m p)$ au dénominateur. La FTBO devient : $FTBO(p) = \frac{K_p K_m K_c}{\tau_m p^2}$

• Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) : $FTBF(p) = \frac{FTBO(p)}{1 + FTBO(p)} = \frac{\frac{K_p K_m K_c}{\tau_m p^2}}{1 + \frac{K_p K_m K_c}{\tau_m p^2}} = \frac{1}{\frac{\tau_m}{K_p K_m K_c} p^2 + 1}$

  Remarque critique : La fonction de transfert en boucle fermée simplifiée est un oscillateur non amorti ($\xi = 0$), ce qui est inacceptable pour un système réel (dépassement infini, oscillations persistantes). Correction de modélisation : Le régulateur PI idéal ne suffit pas à stabiliser un système de type 2 sans amortissement si l’on compense exactement le pôle. Plus rigoureusement, si l’on prend en compte le frottement initial du moteur dans $H_m$ sans simplification hâtive, ou si l’on utilise un correcteur à avance de phase, le comportement diffère. Supposons que la question implique un correcteur PI sur un premier ordre simple (en omettant l’intégration initiale de la position pour le réglage, ou en considérant un modèle de vitesse). Reprenons l’analyse standard sur la boucle de vitesse si le correcteur visait à asservir la vitesse : pour un système de position avec un PI, la FTBF donne un ordre 3. Si l’on simplifie le pôle du moteur avec le zéro du PI, la FTBF en position est : $FTBF(p) = \frac{K_p K_m K_c (1 + \tau_m p)}{\tau_m p^2 + K_p K_m K_c \tau_m p + K_p K_m K_c}$ (après correction du produit). Mettons sous la forme canonique $s^2 + 2\xi\omega_n p + \omega_n^2$ : $FTBF(p) = \frac{\frac{1}{\tau_m}p + \frac{1}{K_p K_m K_c \tau_m} \dots}{\dots \text{(redistribution standard)}}$ Forme classique du second ordre pour un PI sur un système de premier ordre : $FTBF(p) = \frac{1 + \tau_m p}{\frac{\tau_m}{K_p K_m K_c} p^2 + \tau_m p + 1}$ (si réglage spécifique) ou plus communément avec un retour unitaire de vitesse : Identifions par identification directe de $\frac{2\xi}{\omega_n}$ et $\omega_n^2$. Avec le dénominateur $p^2 + \frac{K_p K_m K_c}{\tau_m}p + \frac{K_p K_m K_c}{T_i \tau_m}$ (si non compensé). Si l’on retient la structure classique d’un système du 2ème ordre $1 + \frac{2\xi}{\omega_n}p + \frac{1}{\omega_n^2}p^2$ : $\omega_n = \sqrt{\frac{K_p K_m K_c}{\tau_m}}$ $2\xi \omega_n = \dots$

• Analyse critique de la compensation de pôle : En pratique industrielle, la compensation exacte d’un pôle par un zéro est une méthode fragile.

  1. Dispersion des composants : La résistance $R$ varie avec la température (effet Joule, échauffement du moteur en fonctionnement intensif, $\alpha \approx 4\cdot 10^{-3}\,\text{K}^{-1}$ pour le cuivre). Par conséquent, $\tau_m$ varie. Le zéro du correcteur numérique ou analogique ne compense plus exactement le pôle du système.
  2. Non-linéarités : Les frottements secs et le jeu dans les réducteurs de la nacelle ne sont pas modélisés par le frottement visqueux $f$.
  3. Risque : Un pôle mal compensé génère un dipôle (pôle-zéro très proches dans le plan complexe) qui se traduit par une traîne lente (cinétique longue) dans la réponse temporelle, dégradant la réactivité du mini-drone face aux rafales de vent.