Exercice 2 : Acoustique

Concours CPGE (Filière PT) — Physique-Chimie

Thermodynamique industrielle et Ondes : Acoustique

Préambule et consignes de l’examinateur

Ce problème guidé aborde l’étude de la propagation acoustique, un classique des concours de la filière PT. L’objectif est de lier les notions de thermodynamique des gaz (transformations quasi-statiques et adiabatiques) à l’étude des ondes mécaniques (équation d’onde, impédance acoustique, et atténuation). Soyez particulièrement rigoureux sur l’homogénéité des expressions et l’utilisation des notations normalisées.

Énoncé du Problème

On s’intéresse à la propagation d’une onde acoustique plane progressive harmonique (1D) dans un gaz parfait (air) au repos, de masse volumique au repos $\rho_0$ , de pression au repos $P_0$ et de température $T_0$ .

On note :

$s(x, t)$ le déplacement d’une tranche de gaz par rapport à sa position d’équilibre $x$ .
$p'(x, t) = P(x, t) - P_0$ la surpression acoustique.
$\rho'(x, t) = \rho(x, t) - \rho_0$ la variation de masse volumique.

On se place dans l’approximation des petits perturbations : $| \frac{\partial s}{\partial x} | \ll 1$ , $| p' | \ll P_0$ et $| \rho' | \ll \rho_0$ .

Partie I : Établissement de l’équation de propagation

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à une tranche de gaz comprise entre $x$ et $x + dx$ de section $S$ , établir l’équation locale liant la masse volumique au repos $\rho_0$ , l’accélération $\frac{\partial^2 s}{\partial t^2}$ et la surpression $p'$ .

2. En exprimant la conservation de la masse pour cette même tranche, relier $\rho'$ à $\rho_0$ et à la dérivée spatiale du déplacement $\frac{\partial s}{\partial x}$ .

3. La transformation subie par le gaz lors du passage de l’onde acoustique est modélisée par un processus adiabatique réversible (isentropique). Rappeler la relation différentielle liant $p'$ et $\rho'$ en introduisant le coefficient isentropique $\gamma$ du gaz et la pression d’équilibre $P_0$ . En déduire l’expression de la célérité du son $c$ dans le gaz en fonction de $\gamma$ , $P_0$ et $\rho_0$ .

4. À l’aide des questions précédentes, montrer que la surpression $p'(x,t)$ vérifie l’équation d’onde : $\frac{\partial^2 p'}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} = 0$

Partie II : Onde plane progressive harmonique et Impédance acoustique

5. On considère une onde acoustique plane progressive harmonique se propageant dans le sens des $x$ croissants. La surpression associée s’écrit sous la forme complexe : $\underline{p'}(x,t) = \underline{P_0} e^{j(\omega t - k x)}$ où $\underline{P_0} = P_m e^{j\varphi}$ est l’amplitude complexe, $\omega$ la pulsation et $k$ le nombre d’onde. Exprimer le vecteur d’onde $k$ en fonction de $\omega$ et $c$ .

6. Déterminer l’expression de la vitesse acoustique complexe $\underline{v}(x,t) = \frac{\partial \underline{s}}{\partial t}$ en fonction de $\underline{p'}(x,t)$ , $\rho_0$ et $c$ .

7. On définit l’impédance acoustique caractéristique du milieu par $\underline{Z}_c = \frac{\underline{p'}}{\underline{v}}$ . Exprimer $\underline{Z}_c$ en fonction de $\rho_0$ et $c$ . Calculer sa valeur numérique pour l’air sachant que $\rho_0 \approx 1,20 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$ et $c \approx 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Préciser son unité dans le système international.

Partie III : Analyse énergétique et atténuation

8. L’intensité acoustique $I$ est définie comme la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting acoustique (produit de la surpression par la vitesse particulaire). Montrer que pour une onde progressive, $I = \frac{P_m^2}{2 Z_c}$ (avec $Z_c$ réel).

9. En réalité, les frottements visqueux au sein du fluide provoquent une atténuation de l’onde. L’amplitude de la surpression s’écrit alors : $P_m(x) = P_m(0) e^{-\alpha x}$ où $\alpha$ est le coefficient d’atténuation. Exprimer l’intensité $I(x)$ en fonction de $I(0)$ , $\alpha$ et $x$ . Exprimer le niveau d’intensité acoustique $L(x)$ en décibels ( $\text{dB}$ ) défini par $L(x) = 10 \log_{10}\left(\frac{I(x)}{I_0}\right)$ (avec $I_0 = 10^{-12} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$ ).

CORRIGÉ PAS À PAS

Partie I : Établissement de l’équation de propagation

1. Application du PFD : Considérons une tranche de fluide comprise entre $x$ et $x+dx$ , de section $S$ . La masse de cette tranche est constante et vaut $dm = \rho_0 S dx$ . Les forces s’exerçant sur cette tranche selon l’axe $(Ox)$ sont les forces de pression s’exerçant sur les faces latératales :

En $x$ : $F(x) = P(x,t) S = (P_0 + p'(x,t))S$
En $x+dx$ : $F(x+dx) = -P(x+dx,t) S = -(P_0 + p'(x+dx,t))S$

La somme des forces s’exerçant sur la tranche s’écrit (au premier ordre en $dx$ ) : $\sum F_x = [P(x,t) - P(x+dx,t)]S = -\frac{\partial p'}{\partial x} dx S$

L’accélération de la tranche est $\frac{\partial^2 s}{\partial t^2}$ . D’après le PFD : $(\rho_0 S dx) \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = -\frac{\partial p'}{\partial x} dx S$ $\rho_0 \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = -\frac{\partial p'}{\partial x}$

2. Conservation de la masse : La masse contenue initialement dans le volume $S dx$ est $\rho_0 S dx$ . À l’instant $t$ , ce volume est délimité par $x + s(x,t)$ et $x+dx + s(x+dx, t)$ . Sa nouvelle longueur est $dx + \frac{\partial s}{\partial x}dx$ . La conservation de la masse s’écrit : $\rho_0 S dx = \rho(x,t) S \left(dx + \frac{\partial s}{\partial x}dx\right) = (\rho_0 + \rho') S dx \left(1 + \frac{\partial s}{\partial x}\right)$

En développant et en négligeant les termes d’ordre supérieur (produits de perturbations $\rho' \frac{\partial s}{\partial x} \approx 0$ ) : $\rho_0 = \rho_0 + \rho' + \rho_0 \frac{\partial s}{\partial x} \implies \rho' = -\rho_0 \frac{\partial s}{\partial x}$

3. Loi de comportement et célérité : La transformation est adiabatique réversible pour un gaz parfait, elle suit la loi de Laplace $P \rho^{-\gamma} = \text{cte}$ . En différentiant cette relation autour de l’état d’équilibre $(P_0, \rho_0)$ : $dp = \frac{\gamma P_0}{\rho_0} d\rho \implies p' = \frac{\gamma P_0}{\rho_0} \rho'$

En injectant l’expression de $\rho'$ de la question 2 : $p' = -\gamma P_0 \frac{\partial s}{\partial x}$

Par identification avec l’équation d’onde classique, ou par la suite, la célérité du son $c$ est définie par : $c^2 = \frac{\gamma P_0}{\rho_0}$

4. Établissement de l’équation d’onde pour la surpression : Reprenons l’équation du PFD (1) : $\frac{\partial}{\partial x} \left( \rho_0 \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = -\frac{\partial p'}{\partial x} \right) \implies \rho_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\frac{\partial s}{\partial x}\right) = -\frac{\partial^2 p'}{\partial x^2}$

D’après la conservation de la masse (2), on a $\frac{\partial s}{\partial x} = -\frac{\rho'}{\rho_0}$ . De plus, d’après (3), $\rho' = \frac{\rho_0}{\gamma P_0} p' = \frac{1}{c^2} p'$ . Donc : $\frac{\partial s}{\partial x} = -\frac{p'}{\rho_0 c^2}$ .

En remplaçant dans l’équation dérivée du PFD : $\rho_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( -\frac{p'}{\rho_0 c^2} \right) = -\frac{\partial^2 p'}{\partial x^2}$ Soit, en simplifiant : $\frac{\partial^2 p'}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} = 0$ L’équation d’onde est bien établie.

Partie II : Onde plane progressive harmonique et Impédance acoustique

5. Vecteur d’onde : Pour une solution harmonique de type $\underline{p'}(x,t) = \underline{P_0} e^{j(\omega t - k x)}$ , l’injection dans l’équation d’onde donne : $-k^2 - \frac{1}{c^2} (-\omega^2) = 0 \implies k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}$ Puisque le sens de propagation est celui des $x$ croissants ( $k > 0$ ) : $k = \frac{\omega}{c}$

6. Vitesse acoustique complexe : À partir du PFD sous forme locale (1) : $\rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p'}{\partial x}$ (avec $v = \frac{\partial s}{\partial t}$ ). En notation complexe pour une onde harmonique : $j \omega \rho_0 \underline{v} = -(-j k \underline{p'}) = j k \underline{p'}$ $\underline{v} = \frac{k}{\omega \rho_0} \underline{p'}$ Comme $k / \omega = 1/c$ : $\underline{v} = \frac{\underline{p'}}{\rho_0 c}$

7. Impédance acoustique caractéristique : Par définition : $\underline{Z}_c = \frac{\underline{p'}}{\underline{v}} = \rho_0 c$

A.N. : $\underline{Z}_c = 1,20 \times 340 = 408 \text{ Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}$ (ou $\text{kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}$ ).

Partie III : Analyse énergétique et atténuation

8. Intensité acoustique : L’intensité est la valeur moyenne temporelle du produit de la surpression par la vitesse : $I = \langle p'(x,t) \cdot v(x,t) \rangle_t$ Pour une onde progressive réelle $p'(x,t) = P_m \cos(\omega t - kx)$ et $v(x,t) = \frac{P_m}{Z_c} \cos(\omega t - kx)$ : $I = \frac{P_m^2}{Z_c} \langle \cos^2(\omega t - kx) \rangle_t = \frac{P_m^2}{2 Z_c}$

9. Atténuation et Niveau sonore : Puisque $I(x)$ est proportionnel à $P_m(x)^2$ et que $P_m(x) = P_m(0) e^{-\alpha x}$ : $I(x) = \frac{(P_m(0) e^{-\alpha x})^2}{2 Z_c} = I(0) e^{-2\alpha x}$

Le niveau d’intensité acoustique devient : $L(x) = 10 \log_{10}\left(\frac{I(0) e^{-2\alpha x}}{I_0}\right) = 10 \log_{10}\left(\frac{I(0)}{I_0}\right) + 10 \log_{10}(e^{-2\alpha x})$ $L(x) = L(0) - 20 \alpha x \log_{10}(e)$

Analyse critique et perspectives (Expert CPGE)

Limites du modèle : L’hypothèse d’une transformation isentropique néglige les phénomènes dissipatifs (viscosité du fluide et conduction thermique). L’introduction du coefficient $\alpha$ à la partie III est une approche phénoménologique indispensable pour rendre compte de l’amortissement réel.
Ordre de grandeur : L’impédance acoustique de l’air ( $Z_c \approx 408 \text{ SI}$ ) est très faible comparée à celle de l’eau ( $\approx 1,5 \times 10^6 \text{ SI}$ ) ou de l’acier ( $\approx 4 \times 10^7 \text{ SI}$ ). Cela traduit un très fort désaccord d’impédance lors du passage air/paroi ou air/eau, menant à une réflexion quasi-totale de l’onde (principe de l’isolation phonique par rupture d’impédance).