Cours : Probabilités continues

Fiche de Cours : Probabilités continues (BCPST 2)

1. Généralités sur les variables aléatoires à densité

A. Définitions fondamentales

Définition (Variable aléatoire à densité) : Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle $X$ est dite à densité s’il existe une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, positive et continue par morceaux, telle que pour tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ de la forme $[a, b], ]a, b[, [a, b[, ]a, b]$ : $P(X \in I) = \int_I f(t) \, dt$ La fonction $f$ est appelée densité de probabilité de $X$.

Conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction soit une densité : Une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une densité de probabilité s’il and seulement si :

1. Positivité : Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $f(t) \ge 0$.
2. Continuité par morceaux : $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$.
3. Condition de normalisation : L’intégrale généralisée converge et : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = 1$

Propriété fondamentale : Si $X$ est une variable aléatoire à densité, alors pour tout $x_0 \in \mathbb{R}$, $P(X = x_0) = 0$. Conséquence : Les inégalités larges et strictes sont équivalentes pour le calcul des probabilités ($P(X < a) = P(X \le a)$).

B. Fonction de répartition

Définition : La fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ (discrète ou à densité) est la fonction $F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]$ définie par : $F_X(x) = P(X \le x)$

Théorème (Lien entre densité et fonction de répartition) : Si $X$ est une variable aléatoire à densité de densité $f$, alors sa fonction de répartition $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points où $f$ présente des discontinuités de première espèce), et : $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \quad \text{et} \quad F_X'(x) = f(x) \text{ (là où } f \text{ est continue)}$

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2. Espérance, Variance et Moments

A. Espérance mathématique

Définition : Soit $X$ une variable aléatoire à densité de densité $f$. On dit que $X$admet une espérance (ou qu’elle est d’ordre 1) si l’intégrale généralisée suivante converge absolument : $\int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt$ Dans ce cas, l’espérance de $X$, notée $E(X)$, est définie par : $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt$

B. Théorème de transfert (loi de l’statisticien inconscient - LIEG)

Théorème : Soit $X$ une variable aléatoire à densité de densité $f$ et $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux. La variable aléatoire $\varphi(X)$ admet une espérance si et seulement si l’intégrale suivante converge absolument : $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) f(t) \, dt$ Dans ce cas : $E(\varphi(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) f(t) \, dt$

C. Variance et Écart-type

Définition : Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2 (c’est-à-dire que $E(X^2)$ existe). On dit que $X$ admet une variance, notée $V(X)$ (ou $\sigma^2(X)$), définie par : $V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - (E(X))^2$ L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Propriétés (identiques au cas discret) :

• Linéarité de l’espérance : $E(aX + b) = aE(X) + b$.
• Propriété de la variance : $V(aX + b) = a^2 V(X)$.
• König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

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3. Lois usuelles

A. Loi uniforme sur $[a, b]$ ($\mathcal{U}([a, b])$ avec $a < b$)

• Modélisation : Choix “au hasard” d’un réel dans un intervalle.
• Densité : $f(t) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } t \in [a, b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$
• Espérance : $E(X) = \frac{a+b}{2}$
• Variance : $V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

B. Loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ ($\mathcal{E}(\lambda)$)

• Modélisation : Durée de vie d’un composant sans vieillissement, temps d’attente entre deux événements de Poisson.
• Densité : $f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \text{si } t \ge 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}$
• Fonction de répartition : $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ pour $x \ge 0$.
• Espérance : $E(X) = \frac{1}{\lambda}$
• Variance : $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
• Propriété d’absence de mémoire : Pour tous $s, t \ge 0$ : $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$

C. Loi normale (ou de Gauss) d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ ($\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$)

• Densité : $f(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
• Espérance : $E(X) = \mu$
• Variance : $V(X) = \sigma^2$
• Cas particulier ($\mathcal{N}(0, 1)$ - Loi normale centrée réduite) : Sa densité est notée $\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}$ et sa fonction de répartition $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \varphi(t) \, dt$. Propriété de symétrie : $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$.

Théorème (Centrage-Réduction) : Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors la variable aléatoire $Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$.

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4. Couples de variables aléatoires à densité

A. Densité conjointe

Définition : Un couple $(X, Y)$ de variables aléatoires est à densité s’il existe une fonction $f_{X,Y} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, positive et continue par morceaux, telle que pour tout domaine $D \subset \mathbb{R}^2$ (convenable) : $P((X, Y) \in D) = \iint_D f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy$ La fonction $f_{X,Y}$ est la densité conjointe du couple. Elle vérifie $\iint_{\mathbb{R}^2} f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy = 1$.

B. Densités marginales

Théorème : Si $(X, Y)$ a pour densité conjointe $f_{X,Y}$, alors $X$ et $Y$ sont des variables à densité dont les densités marginales $f_X$ et $f_Y$ sont données par : $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dy \quad \text{et} \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx$

C. Indépendance

Définition : Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites indépendantes si pour tout $x, y \in \mathbb{R}$ : $F_{X,Y}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$ Dans le cas à densité, cela équivaut à : $f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) \quad \text{presque partout}$

Théorème (Espérance du produit) : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance, alors $XY$ admet une espérance et : $E(XY) = E(X)E(Y)$

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5. Méthodes et Savoir-faire

1. Vérifier ou déterminer une constante de normalisation :

   • Méthode : Intégrer la densité sur $\mathbb{R}$ (ou le support) et poser l’intégrale égale à $1$. Souvent lié à des primitives classiques ou à des intégrales de Gauss ($\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}$).

2. Calculer la loi d’une fonction d’une variable aléatoire (Méthode de la fonction de répartition) :

   • Étape 1 : Soit $Y = \varphi(X)$. On cherche $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(\varphi(X) \le y)$.
   • Étape 2 : Résoudre l’inéquation $\varphi(X) \le y$ en fonction de $X$.
   • Étape 3 : Exprimer $F_Y(y)$ à l’aide de la fonction de répartition $F_X$ ou par une intégrale.
   • Étape 4 : Dériver $F_Y$ (si possible) pour obtenir la densité $f_Y$.

3. Calcul de transformées de variables (Somme de variables indépendantes) :

   • Si $X$ et $Y$ sont indépendantes à densités, la densité de $S = X + Y$ s’obtient par le produit de convolution : $f_S(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t) f_Y(s-t) \, dt$

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6. Pièges classiques à éviter

• Confondre $P(X=x)$ et $f(x)$ : Pour une variable à densité, $P(X=x) = 0$, mais $f(x)$ peut être strictement supérieur à $1$ (par exemple, une loi uniforme sur $[0, 0.5]$ a pour densité $f(t) = 2$). La densité n’est pas une probabilité.
• Oublier le domaine de validité : Une densité est nulle en dehors de son support. Ne jamais oublier de préciser les “sinon $0$” dans l’écriture d’une densité par morceaux.
• Mauvaise gestion des bornes lors du calcul des marginales : Bien dessiner le domaine $D$ où $f_{X,Y}$ est non nulle pour déterminer les bornes des intégrales (en particulier pour les intégrales de Fubini sur des domaines non rectangulaires).
• Conclure hâtivement à l’indépendance : $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ doit être vrai pour tout $(x,y)$ (ou presque partout), et les supports doivent être des produits cartésiens d’intervalles.