📌 1. Définitions & Cadre d'étude

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’analyse harmonique étudie la décomposition de fonctions périodiques en superposition de signaux élémentaires harmoniques (sinusoïdes).

Espaces fonctionnels et produit scalaire

On note $\mathcal{C}_{pm}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux, $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$. Pour toute fonction $T$-périodique (avec $T > 0$, ou de pulsation $\omega = \frac{2\pi}{T}$), on munit l’espace $\mathcal{C}_{pm}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ du produit scalaire hermitien canonique défini par : $\langle f, g \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)\overline{g(t)}\,dt$ La norme associée est la norme quadratique (ou norme $L^2$) : $\|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \left(\frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(t)|^2\,dt\right)^{\frac{1}{2}}$

Coefficients de Fourier

Soit $f \in \mathcal{C}_{pm}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ une fonction $T$-périodique.

• Coefficients complexes (pour $n \in \mathbb{Z}$) : $c_n(f) = \langle f, e_{in} \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t}\,dt$ où $e_{in} : t \mapsto e^{in\omega t}$.

• Coefficients réels (si $f$ est à valeurs réelles, pour $n \in \mathbb{N}$ et $n \in \mathbb{N}^*$) : $a_n(f) = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos(n\omega t)\,dt \quad (n \ge 0)$ $b_n(f) = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin(n\omega t)\,dt \quad (n \ge 1)$

Relations de passage : $a_0 = c_0, \quad a_n = c_n + c_{-n}, \quad b_n = i(c_n - c_{-n})$ $c_n = \frac{a_n - ib_n}{2} \quad (n \ge 1), \quad c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} \quad (n \ge 1), \quad c_0 = a_0$

Série de Fourier

On appelle série de Fourier de $f$ la série de fonctions notée $S(f)$ :

• Sous forme trigonométrique (réelle) : $S(f)(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right)$
• Sous forme exponentielle (complexe) : $S(f)(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f) e^{in\omega t} = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{in\omega t}$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Lemme de Riemann-Lebesgue

Énoncé : Si $f \in \mathcal{C}_{pm}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ est $T$-périodique, alors les coefficients de Fourier de $f$ tendent vers $0$ lorsque $|n| \to +\infty$. $\lim_{|n| \to +\infty} c_n(f) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} a_n(f) = \lim_{n \to +\infty} b_n(f) = 0$

Théorème de Dirichlet (Convergence simple)

Énoncé : Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ est $T$-périodique, de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, alors pour tout $t \in \mathbb{R}$, la série de Fourier de $f$ converge et l’on a : $S(f)(t) = \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ En tout point $t$ où $f$ est continue, la série de Fourier converge vers $f(t)$.

Théorème de Parseval

Énoncé : Si $f \in \mathcal{C}_{pm}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ est $T$-périodique, alors la suite des coefficients de Fourier est de carré sommable, et l’on a l’égalité énergétique : $\|f\|_2^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2 = \left(\frac{a_0}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n(f)^2 + b_n(f)^2\right)$

Démonstration clé (Parseval via Fejér ou convergence uniforme $\mathcal{C}^1$) : Supposons $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ et continue. Posons les sommes partielles de la série de Fourier $S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{in\omega t}$. Par convergence normale (conséquence de la régularité $\mathcal{C}^1$ et de l’inégalité de Cauchy-Schwarz sur les coefficients), $S_N(f)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.

Par continuité du produit scalaire pour la convergence uniforme, on a : $\|f\|_2^2 = \langle \lim_{N \to +\infty} S_N(f), f \rangle = \lim_{N \to +\infty} \langle S_N(f), f \rangle$ Or, par orthogonalité de la famille $(e_{in})_{n \in \mathbb{Z}}$ pour le produit scalaire hermitien : $\langle S_N(f), f \rangle = \left\langle \sum_{n=-N}^{N} c_n e_{in}, \sum_{m=-\infty}^{+\infty} c_m e_{im} \right\rangle = \sum_{n=-N}^{N} c_n \overline{c_n} = \sum_{n=-N}^{N} |c_n|^2$ En passant à la limite lorsque $N \to +\infty$, on obtient bien : $\|f\|_2^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2 \quad \blacksquare$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

1. Exploiter les parités :

   • Si $f$ est paire, $b_n(f) = 0$ pour tout $n \ge 1$ (la série ne contient que des cosinus).
   • Si $f$ est impaire, $a_n(f) = 0$ pour tout $n \ge 0$ (la série ne contient que des sinus).
   • Astuce : Si $f$ ne présente ni parité évidente, penser à la décomposer en $f = f_{pair} + f_{impair}$ où $f_{pair}(t) = \frac{f(t)+f(-t)}{2}$ et $f_{impair}(t) = \frac{f(t)-f(-t)}{2}$.

2. Intégration par parties (IPP) : Pour calculer les coefficients de Fourier d’une fonction régulière par morceaux, on réalise une ou plusieurs IPP pour faire apparaître $n$ au dénominateur, ce qui permet d’obtenir la vitesse de décroissance des coefficients (ex: $O(1/n^2)$ pour une fonction $\mathcal{C}^1$).

3. Utilisation des transformées géométriques ou exponentielles : Privilégier le calcul des coefficients complexes $c_n(f)$ lorsque les intégrales font intervenir des termes en $e^{at}$, car les calculs de primitives de type $\int e^{(\alpha + i\beta)t} dt$ sont souvent plus rapides que la manipulation conjointe de $\cos$ et $\sin$.

4. Sommation de séries numériques via Parseval : Une fois les coefficients $a_n$ ou $b_n$ calculés pour une fonction explicite $f$ dont on connaît $\int |f|^2$, appliquer le théorème de Parseval permet d’obtenir la somme de séries numériques remarquables (ex: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$).

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

• Attention aux conditions de convergence du théorème de Dirichlet : Ne jamais affirmer qu’une série de Fourier converge simplement vers $f(t)$ en un point de discontinuité. Elle converge vers la moyenne $\frac{1}{2}(f(t^+) + f(t^-))$.
• Confusion entre convergence simple, uniforme et quadratique ($L^2$) :
  • La convergence quadratique (Parseval) est immédiate dès que $f \in \mathcal{C}_{pm}$.
  • La convergence simple nécessite au minimum une condition de régularité par morceaux (type Dirichlet).
  • La convergence normale (donc uniforme) exige de la continuité et une régularité $\mathcal{C}^1$ par morceaux (les coefficients sont en $O(1/n^2)$).
• Mauvaise gestion de la période : Vérifier systématiquement que le domaine d’intégration pour le calcul des coefficients correspond exactement à une période $T$ (ou un intervalle de longueur $T$, typiquement $[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$ ou $[0, T]$).
• Oubli du facteur $\frac{a_0}{2}$ : Erreur classique lors de l’écriture de la forme trigonométrique de la série de Fourier, le coefficient constant est $\frac{a_0}{2}$ et non $a_0$.