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CPGE Futur

Exercice 2 : Applications aux équations différentielles

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. On considère l’espace vectoriel Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) des matrices carrées d’ordre nn à coefficients réels. On note C1(R,Rn)\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n) l’espace des fonctions de R\mathbb{R} dans Rn\mathbb{R}^n continûment dérivables.

L’objectif de ce problème est d’étudier la résolution et le comportement asymptotique des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants de la forme : ∀t∈R,X′(t)=AX(t)\forall t \in \mathbb{R}, \quad X'(t) = A X(t) où A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) et X:R→RnX : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n est une fonction inconnue de classe C1\mathcal{C}^1. On identifiera les éléments de Rn\mathbb{R}^n à des matrices colonnes de Mn,1(R)\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}).

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”

  1. Existence et unicité de l’exponentielle de matrice : Pour toute matrice M∈Mn(R)M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), montrer que la série de matrices ∑k=0+∞Mkk!\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!} converge normalement sur tout compact de Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). On définit ainsi exp⁡(M)=∑k=0+∞Mkk!\exp(M) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}.

  2. Propriétés algébriques fondamentales : Soit A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). a) Établir que la fonction t↦exp⁡(tA)t \mapsto \exp(tA) est de classe C1\mathcal{C}^1 sur R\mathbb{R} et calculer sa dérivée. b) Soit X0∈RnX_0 \in \mathbb{R}^n. Montrer que l’unique solution du problème de Cauchy : {X′(t)=AX(t)X(0)=X0\begin{cases} X'(t) = A X(t) \\ X(0) = X_0 \end{cases} est donnée par X(t)=exp⁡(tA)X0X(t) = \exp(tA) X_0.

  3. Réduction et calcul explicite : On considère la matrice A=(1−124)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. a) Déterminer les valeurs propres de AA et préciser si AA est diagonalisable dans Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). b) Déterminer une matrice inversible PP et une matrice simple JJ (diagonale ou de Jordan) telles que A=PJP−1A = P J P^{-1}. c) En déduire l’expression explicite de exp⁡(tA)\exp(tA) pour tout t∈Rt \in \mathbb{R}, puis résoudre le système différentiel associé avec la condition initiale X(0)=(1−1)X(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

  4. Analyse qualitative et critique du modèle : a) Soit A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}). On note Sp⁡(A)\operatorname{Sp}(A) l’ensemble des valeurs propres (éventuellement complexes) de AA. À quelle condition nécessaire et suffisante sur Sp⁡(A)\operatorname{Sp}(A) a-t-on lim⁡t→+∞exp⁡(tA)=0Mn(R)\lim_{t \to +\infty} \exp(tA) = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} ? b) Analyse critique du modèle linéaire : En pratique, les coefficients d’un système physique réel ne sont jamais rigoureusement constants. Si l’on perturbe le système par un terme non linéaire ou dépendant du temps de la forme X′(t)=AX(t)+f(t,X(t))X'(t) = A X(t) + f(t, X(t)), avec ∥f(t,X)∥=o(∥X∥)\|f(t, X)\| = o(\|X\|) en 00, quel théorème permet de relier le comportement qualitatif des solutions du système non linéaire au voisinage de l’origine à celui du système linéaire homogène ? Préciser les hypothèses requises sur Sp⁡(A)\operatorname{Sp}(A) pour assurer la stabilité asymptotique locale.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Q1 : Utiliser une norme subordonnée sur Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) (par exemple ∥⋅∥∞\|\cdot\|_{\infty} ou ∥⋅∥2\|\cdot\|_2) qui vérifie la propriété d’algébrisation ∥AB∥≤∥A∥∥B∥\|AB\| \le \|A\|\|B\|. La convergence normale sur tout compact découle de la convergence normale de la série exponentielle réelle par majoration.
  • Q2 : Pour dériver terme à terme, utiliser le théorème de dérivation des séries de fonctions vectorielles (ou matricielles). L’unicité du problème de Cauchy s’obtient classiquement par la méthode de Gronwall ou en dérivant le produit exp⁡(−tA)X(t)\exp(-tA)X(t).
  • Q3 : Calculer le polynôme caractéristique χA(λ)=det⁡(A−λI2)\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_2). Diagonaliser AA en cherchant des bases de vecteurs propres. Pour exp⁡(tA)\exp(tA), utiliser la formule de conjugaison exp⁡(tA)=Pexp⁡(tJ)P−1\exp(tA) = P \exp(tJ) P^{-1}.
  • Q4 : Utiliser la réduction de Dunford ou la mise sous forme de Jordan pour expliciter exp⁡(tA)\exp(tA) en fonction des valeurs propres et de leurs multiplicités. Pour l’analyse critique, penser au théorème de Lyapunov ou au théorème de Grobman-Hartman (stabilité linéaire).

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

  1. Existence et unicité de l’exponentielle de matrice : Munissons Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) d’une norme d’algèbres subordonnée ∥⋅∥\|\cdot\|. On sait que pour toutes matrices A,B∈Mn(R)A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), on a ∥AB∥≤∥A∥∥B∥\|AB\| \le \|A\|\|B\|. Pour tout R>0R > 0 et pour toute matrice MM telle que ∥M∥≤R\|M\| \le R, le terme général de la série matricielle vérifie : ∥Mkk!∥≤∥M∥kk!≤Rkk!\left\| \frac{M^k}{k!} \right\| \le \frac{\|M\|^k}{k!} \le \frac{R^k}{k!} La série numérique ∑Rkk!\sum \frac{R^k}{k!} converge (vers exp⁡(R)\exp(R)). Par conséquent, la série de fonctions matricielles ∑k=0+∞tkMkk!\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k M^k}{k!} (ou la série définissant exp⁡(M)\exp(M)) converge normalement sur toute boule fermée Bˉ(0,R)\bar{B}(0, R), donc sur tout compact de Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}). L’espace Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) étant de dimension finie n2n^2, il est complet (isomorphe à Rn2\mathbb{R}^{n^2}), ce qui assure la convergence absolue et normale de la série pour toute matrice MM.

  2. Propriétés algébriques fondamentales : a) La série ∑k=0+∞tkAkk!\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k A^k}{k!} converge normalement sur tout compact de R\mathbb{R} (par exemple [−R,R][-R, R], majorée par ∑(∣t∣∥A∥)kk!\sum \frac{(|t|\|A\|)^k}{k!}). Par le théorème de dérivation terme à terme des séries de fonctions de classe C1\mathcal{C}^1, la fonction t↦exp⁡(tA)t \mapsto \exp(tA) est de classe C1\mathcal{C}^1 sur R\mathbb{R} et sa dérivée est : ddt(∑k=0+∞tkAkk!)=∑k=1+∞ktk−1Akk!=∑k=1+∞tk−1Ak−1(k−1)!A=(∑j=0+∞tjAjj!)A=exp⁡(tA)A\frac{d}{dt} \left( \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k A^k}{k!} \right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k t^{k-1} A^k}{k!} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^{k-1} A^{k-1}}{(k-1)!} A = \left( \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{t^j A^j}{j!} \right) A = \exp(tA) A b) Soit X(t)=exp⁡(tA)X0X(t) = \exp(tA) X_0. D’après le calcul précédent : X′(t)=ddt(exp⁡(tA))X0=exp⁡(tA)AX0=A(exp⁡(tA)X0)=AX(t)X'(t) = \frac{d}{dt}(\exp(tA)) X_0 = \exp(tA) A X_0 = A (\exp(tA) X_0) = A X(t) De plus, X(0)=exp⁡(0)X0=InX0=X0X(0) = \exp(0) X_0 = I_n X_0 = X_0. X(t)X(t) est donc bien solution. L’unicité se démontre en considérant une autre solution Y(t)Y(t) et en posant Z(t)=exp⁡(−tA)Y(t)Z(t) = \exp(-tA) Y(t). On a : Z′(t)=−Aexp⁡(−tA)Y(t)+exp⁡(−tA)Y′(t)=exp⁡(−tA)(−AY(t)+AY(t))=0Z'(t) = -A \exp(-tA) Y(t) + \exp(-tA) Y'(t) = \exp(-tA)(-A Y(t) + A Y(t)) = 0 Donc Z(t)Z(t) est constante, égale à Z(0)=Y(0)=X0Z(0) = Y(0) = X_0. Ainsi, exp⁡(−tA)Y(t)=X0\exp(-tA) Y(t) = X_0, soit Y(t)=exp⁡(tA)X0=X(t)Y(t) = \exp(tA) X_0 = X(t).

  3. Réduction et calcul explicite : a) Calculons le polynôme caractéristique de A=(1−124)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} : χA(λ)=det⁡(1−λ−124−λ)=(1−λ)(4−λ)+2=λ2−5λ+6=(λ−2)(λ−3)\chi_A(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 2 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda - 3) Les valeurs propres de AA sont λ1=2\lambda_1 = 2 et λ2=3\lambda_2 = 3. Comme AA est une matrice d’ordre 22 et possède 22 valeurs propres distinctes, AA est diagonalisable dans M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}). b) Cherchons les sous-espaces propres associés :

    • Pour λ1=2\lambda_1 = 2 : (A−2I2)V1=0  ⟺  (−1−122)(xy)=(00)  ⟺  x+y=0(A - 2I_2)V_1 = 0 \iff \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \iff x + y = 0. On peut choisir V1=(1−1)V_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
    • Para λ2=3\lambda_2 = 3 : (A−3I2)V2=0  ⟺  (−2−121)(xy)=(00)  ⟺  2x+y=0(A - 3I_2)V_2 = 0 \iff \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \iff 2x + y = 0. On peut choisir V2=(1−2)V_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. On pose alors : P=(11−1−2)etJ=(2003)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad J = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} On a A=PJP−1A = P J P^{-1}. L’inverse de PP se calcule facilement : P−1=(21−1−1)P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}. c) On a exp⁡(tA)=Pexp⁡(tJ)P−1\exp(tA) = P \exp(tJ) P^{-1}. Comme JJ est diagonale, exp⁡(tJ)=(e2t00e3t)\exp(tJ) = \begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{pmatrix}. Ainsi : exp⁡(tA)=(11−1−2)(e2t00e3t)(21−1−1)=(2e2t−e3te2t−e3t−2e2t+2e3t−e2t+2e3t)\exp(tA) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e^{2t} - e^{3t} & e^{2t} - e^{3t} \\ -2e^{2t} + 2e^{3t} & -e^{2t} + 2e^{3t} \end{pmatrix} La solution avec X(0)=(1−1)X(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} est : X(t)=exp⁡(tA)X(0)=(2e2t−e3te2t−e3t−2e2t+2e3t−e2t+2e3t)(1−1)=(e2t−e2t)X(t) = \exp(tA) X(0) = \begin{pmatrix} 2e^{2t} - e^{3t} & e^{2t} - e^{3t} \\ -2e^{2t} + 2e^{3t} & -e^{2t} + 2e^{3t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{2t} \\ -e^{2t} \end{pmatrix}

  4. Analyse qualitative et critique du modèle : a) lim⁡t→+∞exp⁡(tA)=0Mn(R)\lim_{t \to +\infty} \exp(tA) = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} si et seulement si toutes les valeurs propres de AA ont une partie réelle strictement négative (∀λ∈Sp⁡(A),Re(λ)<0\forall \lambda \in \operatorname{Sp}(A), \text{Re}(\lambda) < 0). Justification rapide : En utilisant la réduction de Jordan, exp⁡(tA)=Pexp⁡(tJ)P−1\exp(tA) = P \exp(tJ) P^{-1}. Les blocs de Jordan de exp⁡(tJ)\exp(tJ) sont de la forme eλt∑k=0mtkk!Nke^{\lambda t} \sum_{k=0}^{m} \frac{t^k}{k!} N^k. Si Re(λ)<0\text{Re}(\lambda) <0, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance polynomiale de tt, assurant la limite nulle. b) Analyse critique du modèle linéaire : Pour un système perturbé de la forme X′(t)=AX(t)+f(t,X(t))X'(t) = AX(t) + f(t, X(t)) avec ∥f(t,X)∥=o(∥X∥)\|f(t,X)\| = o(\|X\|) en 00, le théorème de stabilité linéaire (ou théorème de Lyapunov-Poincaré) garantit que si toutes les valeurs propres de AA ont une partie réelle strictement négative, alors l’origine 00 est un point d’équilibre asymptotiquement stable pour le système non linéaire. Limite du modèle : Ce résultat est purement local (au voisinage de l’origine). Si la condition Re(λ)<0\text{Re}(\lambda) < 0 n’est pas vérifiée (par exemple si une valeur propre est de partie réelle nulle), l’analyse linéaire ne permet de conclure ni sur la stabilité, ni sur l’instabilité : les termes non linéaires d’ordre supérieur (négligés par l’approximation linéaire) deviennent déterminants.