Cours : Mécanique des fluides

Fiche de Cours : Mécanique des Fluides (CPGE BCPST 1ère année)

Introduction et Définitions Fondamentales

La mécanique des fluides étudie le comportement des fluides (liquides et gaz) au repos (statique des fluides) ou en mouvement (cinématique et dynamique).

1. Modèle du milieu continu

À l’échelle macroscopique, on oublie la nature discontinue de la matière (molécules, atomes). On définit des champs scalaires et vectoriels continus et dérivables.

• Particule de fluide : Volume élémentaire $d\tau$ centré en un point $M$, grand devant la distance intermoléculaire mais petit devant les dimensions macroscopiques du système.

2. Grandeurs caractéristiques

• Masse volumique $\rho$ ($\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$) : $\rho = \frac{dm}{d\tau}$
• Pression $P$ ($\text{Pa}$ ou $\text{N}\cdot\text{m}^{-2}$) : Force pressante élémentaire $d\vec{f}$ exercée par un fluide sur une surface élémentaire $d\vec{S} = dS \, \vec{n}$ (où $\vec{n}$ est la normale extérieure au fluide) : $d\vec{f} = -P \, d\vec{S}$ Note: La pression est toujours isotrope et dirigée vers l’intérieur de la surface considérée.*
• Caractère d’un fluide :
  • Incompressible : $\rho = \text{cste}$ (très bon modèle pour les liquides).
  • Parfait : Absence de viscosité (frottements internes négligeables). Le tenseur des contraintes se réduit à la pression.

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I. Statique des Fluides

1. Équation fondamentale de la statique des fluides (EFSF)

Dans un référentiel galiléen, appliquons le PFD à une particule de fluide au repos. Les forces volumiques (poids) compensent les forces surfaciques (pression).

Théorème : Pour un fluide au repos soumis à un champ de pesanteur uniforme $\vec{g} = -g \, \vec{e}_z$ (avec $\vec{e}_z$ vertical ascendant) : $\vec{\nabla} P = \rho \vec{g}$

En projection selon l’axe vertical $z$ : $\frac{dP}{dz} = -\rho g$

2. Conséquences et théorèmes classiques

• Loi de l’hydrostatique (fluide incompressible, $\rho = \text{cste}$) : En intégrant entre une altitude $z_1$ et une altitude $z_2$ : $P(z_2) - P(z_1) = -\rho g (z_2 - z_1)$ Souvent écrite sous la forme : $P + \rho gz = \text{cste}$.

• Principe de Pascal : Toute variation de pression en un point d’un fluide incompressible et au repos se transmet intégralement à tout le fluide.

• Principe d’Archimède : Tout corps plongé dans un fluide au repos, subit de la part de celui-ci une force verticale, dirigée de bas en haut, appelée poussée d’Archimède, égale au poids du volume de fluide déplacé : $\vec{F}_{\text{Archimède}} = -\iint_{\text{surface}} P \, d\vec{S} = \rho_{\text{fluide}} V_{\immergé} g \, \vec{e}_z$

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II. Cinématique des Fluides

1. Description du mouvement

• Champ d’9e vitesse : $\vec{v}(M, t)$ désigne la vitesse de la particule de fluide se trouvant au point $M$ à l’instant $t$.
• Lignes de courant : Courbes tangentes au champ des vitesses à un instant donné.
• Trajectoire : Courbe décrite par une même particule de fluide au cours du temps.
• Attention (Piège classique) : En régime permanent (stationnaire), les lignes de courant et les trajectoires confondues. En régime non stationnaire, elles sont généralement différentes.

2. Conservation de la masse : Équation de continuité

Pour un écoulement quelconque, la conservation de la masse se traduit par l’équation locale : $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0$

• Cas particulier d’un fluide incompressible ($\rho = \text{cste}$) : $\operatorname{div}(\vec{v}) = 0$

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III. Dynamique des Fluides Parfaits

1. Équation d’Euler

C’est l’application du PFD à une particule de fluide parfait en mouvement. $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} P + \rho \vec{g}$

2. Théorème de Bernoulli

Théorème : Le long d’une même ligne de courant, pour un écoulement stationnaire, incompressible et non visqueux (fluide parfait), la quantité suivante se conserve : $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gz = \text{cste}$

• Démonstration (méthode usuelle) : On projette l’équation d’Euler le long d’une ligne de courant en régime permanent. $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = 0$. Le terme d’accéleration convective $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}$ projeté donne $\frac{v dV}{ds}$. En intégrant le long de la ligne de courant avec $dP = -\rho g dz - \rho v dv$, on obtient le résultat.

• Interprétation énergétique :

  • $P$ : Pression statique (énergie potentielle élastique liée à la compression).
  • $\frac{1}{2}\rho v^2$ : Pression dynamique (énergie cinétique par unité de volume).
  • $\rho gz$ : Pression de pesanteur (énergie potentielle de pesanteur par unité de volume).

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IV. Méthodes et Savoir-Faire en BCPST

1. Comment appliquer le théorème de Bernoulli ?

   • Vérifier les 4 hypothèses : Fluide parfait (viscosité négligeable), incompressible ($\rho = \text{cste}$), stationnaire ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$), et se placer le long d’une même ligne de courant.
   • Identifier deux points $A$ et $B$ sur cette ligne de courant.
   • Écrire : $P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho gz_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho gz_B$.
   • Utiliser souvent l’équation de continuité ($S_A v_A = S_B v_B$) pour lier les vitesses si la section du conduit varie (effet Venturi).

2. Méthode pour un problème de statique (ex: manomètre, barrage) :

   • Isoler le fluide, identifier les forces (poids, pressions).
   • Projeter l’EFSF selon un repère bien choisi (souvent vertical descendant ou ascendant).
   • Intégrer en tenant compte des interfaces (pression atmosphérique $P_0$ à la surface libre).

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V. Pièges à Éviter (Alerte Colles / Concours)

• Confondre statique et dynamique : N’utilisez jamais Bernoulli si le fluide est au repos (dans ce cas, $v=0$ partout, Bernoulli redonne la loi de l’hydrostatique, ce qui est logique, mais l’utilisation de l’EFSF est plus directe).
• Oublier la pression atmosphérique : Dans les applications numériques ou littérales, attention aux pressions effectives vs pressions absolues. Souvent, $P_{\text{surface}} = P_{\text{atm}}$. Si on oublie de l’ajouter d’un côté de l’équation, l’erreur se propage.
• Ligne de courant vs ensemble du fluide : Le théorème de Bernoulli lie deux points sur la même ligne de courant. S’il n’y a pas de tourbillon (écoulement irrotationnel), la constante est la même dans tout le fluide. En BCPST, on admet souvent cette extension, mais mentionner l’hypothèse est un plus rigoureux.
• Homogénéité : Vérifiez toujours l’homogénéité de vos expressions (par exemple, $\frac{1}{2}\rho v^2$ a bien la dimension d’une pression en $\text{Pa}$ ou $\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$).