Exercice 1 : Conditionnement et indépendance

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ un espace probabilisé fini. On considère une expérience aléatoire modélisée par une suite d’événements. Dans ce problème, on s’intéresse à l’évolution de la probabilité d’un événement au cours d’itérations successives, à l’aide d’un système complet d’événements et de la formule des probabilités totales.

Soit $N \in \mathbb{N}^*$. On se donne une famille d’événements $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\Omega$ et une suite de réels $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la relation de récurrence : $p_0 = P(A_0) \in ]0, 1[$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $p_{n+1} = P(A_{n+1} \mid A_n) p_n + P(A_{n+1} \mid \overline{A_n}) (1 - p_n)$ où l’on pose $p_n = P(A_n)$, en supposant que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $P(A_n) \in ]0, 1[$, et avec les notations classiques pour les probabilités conditionnelles.

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

• $\alpha_n = P(A_{n+1} \mid A_n)$
• $\beta_n = P(A_{n+1} \mid \overline{A_n})$

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❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

1. Rappels et mise en place a) Justifier l’expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$, $\alpha_n$ et $\beta_n$ à l’aide de la formule des probabilités totales. b) On suppose dans cette question que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\alpha_n = a$ et $\beta_n = b$ où $a, b \in ]0, 1[$. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$, $p_0$, $a$ et $b$.

2. Étude asymptotique du modèle stationnaire a) Dans le cas où $\alpha_n = a$ et $\beta_n = b$ avec $a \neq 1-b$, déterminer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, indépendamment de $p_0$. b) Que se passe-t-il si $a + b = 1$ ?

3. Génération de chaînes et indépendance On suppose à présent que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\alpha_n = \alpha$ et $\beta_n = \beta$ avec $\alpha, \beta \in ]0, 1[$. a) Calculer la probabilité conjointe $P(A_0 \cap A_1 \cap A_2)$ en fonction de $p_0$, $\alpha$ et $\beta$. b) À quelle condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ et $\beta$ les événements $A_0$ et $A_1$ sont-ils indépendants ? Interpréter ce résultat.

4. Analyse critique du modèle Dans la pratique, les hypothèses d’invariance des probabilités conditionnelles ($\alpha_n = \alpha$ et $\beta_n = \beta$) sont souvent violées. Discuter de la validité de ce modèle si $\alpha_n$ dépend de l’historique complet $(A_0, A_1, \dots, A_n)$ et non seulement de $A_n$. Quel nom porte ce type de processus en mathématiques ?

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Q1.a) Penser à utiliser le système complet d’événements $(A_n, \overline{A_n})$.
• Q1.b) Il s’agit d’une suite arithmético-géométrique. Rechercher le point fixe de la relation de récurrence.
• Q2.a) Étudier la convergence de la suite géométrique associée.
• Q3.b) Utiliser la définition de l’indépendance de deux événements : $P(A_0 \cap A_1) = P(A_0)P(A_1)$.
• Q4. Penser à la notion de mémoire d’un processus stochastique (propriété de Markov vs processus général).

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📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Rappels et mise en place

a) Soit $n \in \mathbb{N}$. L’univers $\Omega$ étant muni de la partition $(A_n, \overline{A_n})$, la formule des probabilités totales appliquée à l’événement $A_{n+1}$ donne : $P(A_{n+1}) = P(A_{n+1} \mid A_n)P(A_n) + P(A_{n+1} \mid \overline{A_n})P(\overline{A_n})$ Puisque $P(\overline{A_n}) = 1 - P(A_n)$ et en posant $p_n = P(A_n)$, $\alpha_n = P(A_{n+1} \mid A_n)$ et $\beta_n = P(A_{n+1} \mid \overline{A_n})$, on obtient immédiatement : $p_{n+1} = \alpha_n p_n + \beta_n (1 - p_n)$

b) Si $\alpha_n = a$ et $\beta_n = b$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, la relation devient : $p_{n+1} = (a - b)p_n + b$ C’est une relation de récurrence linéaire d’ordre 1 à coefficients constants. Cherchons le point fixe $\ell$ de la relation : $\ell = (a - b)\ell + b \implies \ell(1 - a + b) = b \implies \ell = \bfit{\frac{b}{1 - a + b}}$ (en supposant $1 - a + b \neq 0$, ce qui est garanti si $a \neq b+1$). Introduisons la suite auxiliaire $u_n = p_n - \ell$ : $u_{n+1} = p_{n+1} - \ell = (a - b)p_n + b - ((a - b)\ell + b) = (a - b)(p_n - \ell) = (a - b)u_n$ Ainsi, $(u_n)$ est géométrique de raison $a - b$. Par conséquent, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = (a - b)^n u_0 = (a - b)^n (p_0 - \ell)$ Et donc : $p_n = (a - b)^n \left(p_0 - \frac{b}{1 - a + b}\right) + \frac{b}{1 - a + b}$

2. Étude asymptotique du modèle stationnaire

a) Si $a \neq 1-b$, alors $|a - b| < 1$ (car $a, b \in ]0, 1[$ implique $-1 < a - b < 1$). Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} (a - b)^n = 0$. On en déduit que : $\lim_{n \to +\infty} p_n = \frac{b}{1 - a + b}$ Cette limite est atteinte indépendamment de la condition initiale $p_0$.

b) Si $a + b = 1$, alors $a - b = 2a - 1$. Si de plus $a \neq \frac{1}{2}$, la raison est non nulle. Si $a = \frac{1}{2}$, alors $a - b = 0$, et pour tout $n \ge 1$, $p_n = b = \frac{1}{2}$ (stationnarité immédiate).

3. Génération de chaînes et indépendance

a) Par application successive de la définition des probabilités conditionnelles : $P(A_0 \cap A_1 \cap A_2) = P(A_2 \mid A_1 \cap A_0) P(A_1 \mid A_0) P(A_0)$ Le modèle postule que les probabilités conditionnelles à l’étape $n+1$ ne dépendent que de l’état à l’étape $n$. Ainsi, $P(A_2 \mid A_1 \cap A_0) = P(A_2 \mid A_1) = \alpha$. On a donc : $P(A_0 \cap A_1 \cap A_2) = \alpha \alpha p_0 = \alpha^2 p_0$ (Note : sous réserve que $p_0 > 0$ et $P(A_1 \cap A_0) > 0$).

b) Les événements $A_0$ et $A_1$ sont indépendants si et seulement si : $P(A_0 \cap A_1) = P(A_0)P(A_1)$ Or, $P(A_0 \cap A_1) = P(A_1 \mid A_0)P(A_0) = \alpha p_0$. D’autre part, d’après la question 1.b avec $n=0$ : $P(A_1) = p_1 = \alpha p_0 + \beta(1 - p_0)$ L’indépendance s’écrit donc : $\alpha p_0 = p_0 (\alpha p_0 + \beta(1 - p_0))$ Puisque $p_0 \in ]0, 1[\,$, on peut diviser par $p_0$ : $\alpha = \alpha p_0 + \beta(1 - p_0) \iff \alpha(1 - p_0) = \beta(1 - p_0)$ Puisque $p_0 \neq 1$, la condition nécessaire et suffisante est : $\bfit{\alpha = \beta}$ Interprétation : Si $\alpha = \beta$, la survenance de $A_1$ ne dépend pas de la réalisation ou non de $A_0$ ($P(A_1 \mid A_0) = P(A_1 \mid \overline{A_0}) = \alpha$). Le système n’a donc aucune “mémoire” d’un pas sur l’autre, ce qui traduit l’indépendance entre $A_0$ et $A_1$.

4. Analyse critique du modèle

Si $\alpha_n$ dépend de l’historique complet $(A_0, A_1, \dots, A_n)$, la probabilité de transition ne vérifie plus la propriété de Markov (qui énonce que le futur dépend du présent mais est indépendant du passé sachant le présent). Ce type de processus s’appelle un processus stochastique avec mémoire (ou chaîne de Markov d’ordre supérieur, ou processus non markovien). L’étude analytique par simple récurrence d’ordre 1 devient alors caduque, nécessitant l’introduction de lois jointes sur des vecteurs aléatoires de taille croissante, complexifiant grandement la résolution.