📌 1. Définitions & Cadre d'étude

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Produit scalaire

On appelle produit scalaire sur $E$ une application, notée $(x, y) \mapsto \langle x, y \rangle$ ou $(x|y)$, qui à tout couple de vecteurs $(x, y) de E^2$ associe un réel, telle que :

1. Bilinéarité : Pour tout $y \in E$, l’application $x \mapsto \langle x, y \rangle$ est linéaire, et pour tout $x \in E$, l’application $y \mapsto \langle x, y \rangle$ est linéaire.
2. Symétrie : Pour tous $(x, y) \in E^2$, $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$.
3. Positivité : Pour tout $x \in E$, $\langle x, x \rangle \ge 0$.
4. Caractère défini : Pour tout $x \in E$, $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0_E$.

Un espace préhilbertien réel est un couple $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle$ où $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Si de plus $E$ est de dimension finie, on parle souvent d’espace euclidien.

Norme associée

Tout espace préhilbertien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ possède une norme associée définie pour tout $x \in E$ par : $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

Orthogonalité

• Deux vecteurs $x, y \in E$ sont dit orthogonaux (noté $x \perp y$) si $\langle x, y \rangle = 0$.
• Soit $A \subset E$. L’orthogonal de $A$ est l’ensemble noté $A^\perp$ défini par : $A^\perp = \{ x \in E \mid \forall a \in A, \, \langle x, a \rangle = 0 \}$ $A^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel fermé (si $E$ est normé) de $E$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Théorème 1 : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous $(x, y) \in E^2$, on a : $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$ Cas d’égalité : Il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration :

Si $y = 0_E$, l’inégalité est triviale ($0 = 0$). Supposons $y \neq 0_E$. Pour tout réel $\lambda \in \mathbb{R}$, on considère la positivité de la norme du vecteur $x + \lambda y$ : $0 \le \|x + \lambda y\|^2 = \langle x + \lambda y, x + \lambda y \rangle = \|x\|^2 + 2\lambda \langle x, y \rangle + \lambda^2 \|y\|^2$ Soit $P(\lambda) = \|y\|^2 \lambda^2 + 2\langle x, y \rangle \lambda + \|x\|^2$. C’est un polynôme du second degré en $\lambda$ qui est positif ou nul pour tout $\in \mathbb{R}$. Son discriminant réduit $\Delta'$ doit donc être négatif ou nul : $\Delta' = \langle x, y \rangle^2 - \|x\|^2 \|y\|^2 \le 0$ D’où $\langle x, y \rangle^2 \le \|x\|^2 \|y\|^2$. En prenant la racine carrée, on obtient $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$. $\blacksquare$

Théorème 2 : Inégalité triangulaire

Pour tous $(x, y) \in E^2$, $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$

Théorème 3 : Identité de Pythagore

Si $x$ et $y$ sont orthogonaux, alors : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$

Théorème 4 : Projection orthogonale en dimension finie

Soit $E$ un espace euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors : $E = F \oplus F^\perp$ De plus, pour tout $x \in E$, il existe un unique couple $(y, z) \in F \times F^\perp$ tel que $x = y + z$. Le vecteur $y$ est appelé le projeté orthogonal de $x$ sur $F$.

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Algorithme d’orthogonalisation de Gram-Schmidt

Permet de transformer une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ en une base orthogonale (voire orthonormée) $(u_1, \dots, u_n)$.

1. Initialisation : $u_1 = e_1$
2. Récurrence : Pour $k \in \{2, \dots, n\}$, on pose : $u_k = e_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle e_k, u_j \rangle}{\|u_j\|^2} u_j$
3. Normalisation (pour obtenir une base orthonormée) : $\varepsilon_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}$

Représentation matricielle d’un produit scalaire

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. Le produit scalaire est entièrement déterminé par la matrice symétrique $S \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de terme général $S_{i,j} = \langle e_i, e_j \rangle$. Si $X$ et $Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées de $x$ et $y$ dans $\mathcal{B}$, alors : $\langle x, y \rangle = X^T S Y$

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oublier le caractère défini : Ne pas vérifier que $\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0$ lors de l’étude de formes bilinéaires. Une forme bilinéaire symétrique positive est seulement un produit scalaire si elle est non dégénérée (définie).
2. Confondre orthogonal et supplémentaire : Dans un espace préhilbertiens de dimension infinie, un sous-espace vectoriel fermé $F$ n’admet pas toujours $F^\perp$ comme supplémentaire topologique (le théorème de projection sur un convexe fermé s’applique, mais $F \oplus F^\perp = E$ requiert des hypothèses de complétude - espaces de Hilbert).
3. Mauvaise utilisation de Gram-Schmidt : Appliquer la formule de Gram-Schmidt directement sur des vecteurs liés sans s’assurer qu’ils forment une base (le terme $\|u_j\|$ s’annulerait, provoquant une division par zéro).
4. Confusion transposition et adjoignage : Pour un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$, l’adjoint $u^*$ est défini par $\langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$. En base orthonormée, la matrice de $u^*$ est la transités de la matrice de $u$ : $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u^*) = (\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u))^T$. Attention, cela exige une base orthonormée.