Cours : Interférométrie et réseaux optiques

Interférométrie et réseaux optiques

1. Introduction et rappels sur la cohérence

L’optique ondulatoire repose sur la superposition des champs électriques. Soit deux ondes lumineuses monochromatiques de même pulsation $\omega$, modélisées par leurs champs complexes $\underline{E}_1$ et $\underline{E}_2$. L’intensité lumineuse observée est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ électrique total : $I = \langle |\underline{E}_1 + \underline{E}_2|^2 \rangle = I_1 + I_2 + 2 \text{Re}(\langle \underline{E}_1 \cdot \underline{E}_2^* \rangle)$

Le terme d’interférence est défini par : $I_{12} = 2 \text{Re}(\langle \underline{E}_1 \cdot \underline{E}_2^* \rangle)$

Conditions d’interférence

Pour obtenir des interférences stables et visibles, les sources doivent être :

1. Synchrones : même fréquence $\nu$ (donc même pulsation $\omega$).
2. Cohérentes : la différence de phase $\Delta \varphi(t)$ doit être, sinon constante, du moins à fluctuations lentes devant le temps de réponse du récepteur.
3. Même état de polarisation (pour obtenir un contraste optimal).

---

2. Interféromètres à division d’amplitude

Ces dispositifs séparent l’onde incidente en deux ondes par réflexion et transmission sur une lame semi-réfléchissante.

A. L’interféromètre de Michelson

Le Michelson est constitué de deux miroirs $M_1$ et $M_2$ perpendiculaires et d’une sémi-lame séparatrice $S$ (compensatrice incluse pour égaliser les chemins optiques dans le verre).

• Configuration lame d’air : Miroirs rigoureusement perpendiculaires ($\alpha = 0$). Les franges d’égale inclinaison (anneaux d’Haidinger) sont observées à l’infini.
• Configuration coin d’air : Miroirs formant un angle $\alpha$ faible. Les franges d’égale épaisseur (rectilignes) sont localisées au voisinage des miroirs.

Différence de marche pour le coin d’air

Soit $e(x)$ l’épaisseur de la lame d’air à la distance $x$. La différence de marche entre les deux rayons interfere est : $\delta(x) = 2 e(x) + \lambda / 2$ (Le terme $\lambda/2$ provient du déphasage par réflexion sur une face traitée ou non, selon le modèle exact de la séparatrice).

B. Interfrange et Contraste (Visibilité)

L’intensité lumineuse s’écrit sous la forme classique de Fresnel : $I = I_0 \left[ 1 + \mathcal{V} \cos\left(\frac{2\pi \delta}{\lambda}\right) \right]$

• Interfrange $i$ : distance séparant deux maxima d’intensité consécutifs. $i = \frac{\lambda}{\Delta (\sin i)} \approx \frac{\lambda}{2\alpha} \quad (\text{pour un coin d'air d'angle } \alpha)$
• Contraste (ou visibilité) $\mathcal{V}$ : $\mathcal{V} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$

---

3. Les réseaux de diffraction

A. Définition et description

Un réseau par transmission (ou par réflexion) est un système périodique constitué de $N$ fentes (ou traits) de période spatiale $a$ (le pas du réseau).

B. Formule des réseaux

Considérons une onde plane monochromatique de longueur d’onde $\lambda$ arrivant sous l’incidence $i$ et diffractée sous l’angle $θ$. La différence de marche $\delta$ entre deux rayons diffusés par deux fentes consécutives distantes de $a$ est : $\delta = a (\sin i + \sin \theta)$

Des interférences constructives (principales) s’observent lorsque cette différence de marche est un multiple entier de la longueur d’onde : $a (\sin i + \sin \theta) = p \lambda \quad \text{avec} \quad p \in \mathbb{Z}$ où $p$ désigne l’ordre de diffraction.

C. Structure de la figure d’interférence

Pour un réseau à $N$ motifs :

• L’intensité s’exprime à l’aide de la fonction cardinal sine (sinus cardinal) : $I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(N \beta)}{\sin \beta} \right)^2 \times \left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2$ avec $\beta = \frac{\pi a}{\lambda}(\sin i + \sin \theta)$ et le second terme lié à la diffraction par une fente unique de largeur $b$.
• Maxima principaux : Ils vérifient $a(\sin i + \sin \theta) = p\lambda$. Leur intensité est proportionnelle à $N^2$.
• Minima secondaires : Il y a $N-1$ minima entre deux maxima principaux, délimitant des pics de plus en plus fins lorsque $N$ augmente.

D. Propriétés métrologiques d’un réseau

1. Dispersion angulaire : Elle caractérise la capacité du réseau à séparer spatialement les différentes longueurs d’onde. En différenciant la formule du réseau à incidence $i$ fixée : $\frac{d\theta}{d\lambda} = \frac{p}{a \cos \theta}$

2. Pouvoir de résolution : Noté $R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda_{\min}}$, il quantifie la capacité à séparer deux raies spectrales proches de longueurs d’onde $\lambda$ et $\lambda + \Delta \lambda$. Selon le critère de Rayleigh, deux raies sont résolues si le maximum de l’une coïncide avec le premier minimum de l’autre, ce qui conduit à : $R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = p \cdot N$ (où $N$ est le nombre total de traits éclairés).

---

4. Synthèse et méthodes à maîtriser en CPGE

• Savoir mener un calcul de $\delta$ par la méthode géométrique (tracé des plans d’onde) ou par le formalisme des chemins optiques $[S_1 S_2]$.
• Analyser l’effet d’une source étendue (élargissement, brouillage des franges si la source n’est plus ponctuelle, notion de cohérence spatiale).
• Calculer le pouvoir de résolution d’un instrument dispersif (prisme vs réseau). Le réseau offre généralement un pouvoir de résolution indépendant de la longueur d’onde à ordre $p$ fixé et proportionnel au nombre de traits éclairés.