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CPGE Futur

Exercice 2 : Espaces euclidiens et Fourier

CONCOURS CPGE - FILIÈRE PSI

Section titled “CONCOURS CPGE - FILIÈRE PSI”

Mathématiques : Espaces euclidiens et Séries de Fourier

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En tant qu’examinateur, ce problème a pour objectif de tester la maîtrise conjointe de la théorie des espaces préhilbertiens réels, de l’approximation par projection orthogonale (théorème de la meilleure approximation) et des outils d’analyse de Fourier.

Préambule et notations

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On note E=C0([−π,π],R)E = \mathcal{C}^0([-\pi, \pi], \mathbb{R}) l’espace vectoriel des fonctions continues de [−π,π][-\pi, \pi] dans R\mathbb{R}. On muni EE du produit scalaire défini pour tout (f,g)∈E2(f, g) \in E^2 par : ⟨f,g⟩=1π∫−ππf(t)g(t) dt\langle f, g \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)g(t) \, dt On note ∥f∥2=⟨f,f⟩\|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f \rangle} la norme euclidienne associée.

Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, on définit le sous-espace vectoriel des polynômes trigonométriques : Fn=Vect(e0,(ek)1≤k≤n,(e~k)1≤k≤n)F_n = \text{Vect}\left( e_0, (e_k)_{1 \le k \le n}, (\tilde{e}_k)_{1 \le k \le n} \right) où, pour tout t∈[−π,π]t \in [-\pi, \pi] :

  • e0(t)=12e_0(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}
  • ek(t)=cos⁡(kt)e_k(t) = \cos(kt)
  • e~k(t)=sin⁡(kt)\tilde{e}_k(t) = \sin(kt)

Partie I : Structure euclidienne et orthogonalité

Section titled “Partie I : Structure euclidienne et orthogonalité”

Question 1. Montrer que ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle définit bien un produit scalaire sur EE.

Indication de l’examinateur : On veillera à bien vérifier les quatre propriétés caractéristiques, en insistant particulièrement sur la définite-positivité dans le cadre des fonctions continues. Correction: ** Soit (f,g,h)∈E3(f, g, h) \in E^3 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.

  1. Symétrie : Par commutativité du produit dans R\mathbb{R} : ⟨g,f⟩=1π∫−ππg(t)f(t) dt=1π∫−ππf(t)g(t) dt=⟨f,g⟩\langle g, f \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(t)f(t) \, dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)g(t) \, dt = \langle f, g \rangle
  2. Bilinéarité : Par linéarité de l’intégrale : ⟨λf+h,g⟩=1π∫−ππ(λf(t)+h(t))g(t) dt=λ⟨f,g⟩+⟨h,g⟩\langle \lambda f + h, g \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\lambda f(t) + h(t))g(t) \, dt = \lambda \langle f, g \rangle + \langle h, g \rangle La symétrie assure la linéarité par rapport à la seconde variable.
  3. Positivité : Pour tout f∈Ef \in E, f2f^2 est positive sur [−π,π][-\pi, \pi], donc son intégrale l’est également : ⟨f,f⟩=1π∫−ππ(f(t))2 dt≥0\langle f, f \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(t))^2 \, dt \ge 0
  4. Caractère défini : Soit f∈Ef \in E telle que ⟨f,f⟩=0\langle f, f \rangle = 0. Alors : ∫−ππ(f(t))2 dt=0\int_{-\pi}^{\pi} (f(t))^2 \, dt = 0 L’application t↦(f(t))2t \mapsto (f(t))^2 est continue et positive sur [−π,π][-\pi, \pi]. Son intégrale étant nulle, cette fonction est identiquement nulle sur [−π,π][-\pi, \pi]. Par conséquent, pour tout t∈[−π,π]t \in [-\pi, \pi], f(t)=0f(t) = 0, soit f=0C0f = 0_{\mathcal{C}^0}.

⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle est donc un produit scalaire sur EE. ■\quad\blacksquare

Question 2. Établir que la famille Bn=(e0,e1,…,en,e~1,…,e~n )\mathcal{B}_n = \left( e_0, e_1, \dots, e_n, \tilde{e}_1, \dots, \tilde{e}_n \text{ } \right) forme une famille orthonormée (FON) de l’espace euclidien (E,⟨⋅,⋅⟩)(E, \langle \cdot, \cdot \rangle).

Indication de l’examinateur : Calculer explicitement les différents types de produits scalaires en utilisant les formules trigonométriques usuelles. Correction: ** Il s’agit de calculer les produits scalaires entre les éléments distincts de Bn\mathcal{B}_n et de vérifier qu’ils valent 00, et de calculer la norme au carré de chaque vecteur (qui doit valoir 11). Rappelons les intégrales fondamentales pour p,q∈N∗p, q \in \mathbb{N}^* :

  • ∥e0∥22=1π∫−ππ(12)2dt=12π[t]−ππ=1\|e_0\|_2^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 dt = \frac{1}{2\pi} [t]_{-\pi}^{\pi} = 1.
  • Pour k≥1k \ge 1 : ∥ek∥22=1π∫−ππcos⁡2(kt) dt=12π∫−ππ(1+cos⁡(2kt)) dt=12π[t+sin⁡(2kt)2k]−ππ=1\|e_k\|_2^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(kt) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (1 + \cos(2kt)) \, dt = \frac{1}{2\pi} \left[ t + \frac{\sin(2kt)}{2k} \right]_{-\pi}^{\pi} = 1 De même, ∥e~k∥22=1π∫−ππsin⁡2(kt) dt=1\|\tilde{e}_k\|_2^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(kt) \, dt = 1.

Pour l’orthogonalité (k≠lk \neq l) :

  • ⟨ek,el⟩=1π∫−ππcos⁡(kt)cos⁡(lt) dt=12π∫−ππ[cos⁡((k−l)t)+cos⁡((k+l)t)] dt=0\langle e_k, e_l \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kt)\cos(lt) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [\cos((k-l)t) + \cos((k+l)t)] \, dt = 0 (car k≠lk \neq l).
  • ⟨e~k,e~l⟩=0\langle \tilde{e}_k, \tilde{e}_l \rangle = 0 par un calcul analogue.
  • ⟨ek,e~l⟩=1π∫−ππcos⁡(kt)sin⁡(lt) dt=0\langle e_k, \tilde{e}_l \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kt)\sin(lt) \, dt = 0 par impaticité de la fonction t↦cos⁡(kt)sin⁡(lt)t \mapsto \cos(kt)\sin(lt) sur le segment symétrique [−π,π][-\pi, \pi].

La famille Bn\mathcal{B}_n est donc orthonormée. ■\quad\blacksquare

Partie II : Projection orthogonale et minimisation

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On considère la fonction ff définie sur [−π,π][-\pi, \pi] par f(t)=tf(t) = t. On cherche à approcher ff par des polynômes trigonométriques.

Question 3. Calculer les coefficients de Fourier de ff associés à la base Bn\mathcal{B}_n, c’est-à-dire :

  • a0=⟨f,e0⟩a_0 = \langle f, e_0 \rangle
  • ak=⟨f,ek⟩a_k = \langle f, e_k \rangle pour k≥1k \ge 1
  • bk=⟨f,e~k⟩b_k = \langle f, \tilde{e}_k \rangle pour k≥1k \ge 1 Correction: **
  • Pour a0a_0 : a0=1π∫−ππt2 dt=0(fonction impaire sur un intervalle symeˊtrique)a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{t}{\sqrt{2}} \, dt = 0 \quad \text{(fonction impaire sur un intervalle symétrique)}
  • Pour aka_k (k≥1k \ge 1) : ak=1π∫−ππtcos⁡(kt) dt=0(inteˊgrande impair)a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \cos(kt) \, dt = 0 \quad \text{(intégrande impair)}
  • Pour bkb_k (k≥1k \ge 1) : par une integration par parties (IPP) rigoureuse, en posant u(t)=tu(t) = t (u′(t)=1u'(t)=1) et v′(t)=sin⁡(kt)v'(t) = \sin(kt) (v(t)=−cos⁡(kt)kv(t) = -\frac{\cos(kt)}{k}) : bk=1π([−tcos⁡(kt)k]−ππ+∫−ππcos⁡(kt)k dt)b_k = \frac{1}{\pi} \left( \left[ -t \frac{\cos(kt)}{k} \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos(kt)}{k} \, dt \right) bk=1π(−πcos⁡(kπ)k−(−π)cos⁡(−kπ)k+0)=1π(−2π(−1)kk)=2(−1)k+1kb_k = \frac{1}{\pi} \left( -\pi \frac{\cos(k\pi)}{k} - (-\pi)\frac{\cos(-k\pi)}{k} + 0 \right) = \frac{1}{\pi} \left( -2\pi \frac{(-1)^k}{k} \right) = \frac{2(-1)^{k+1}}{k}

Question 4. Soit PnP_n la projection orthogonale de ff sur FnF_n. Donner l’expression explicite de Pn(t)P_n(t) en fonction de nn et de tt. Correction: ** Puisque Bn\mathcal{B}_n est une base orthonormée de FnF_n, la projection orthogonale s’exprime par : Pn=⟨f,e0⟩e0+∑k=1n(⟨f,ek⟩ek+⟨f,e~k⟩e~k)P_n = \langle f, e_0 \rangle e_0 + \sum_{k=1}^n \left( \langle f, e_k \rangle e_k + \langle f, \tilde{e}_k \rangle \tilde{e}_k \right) En injectant les coefficients calculés précédemment : Pn(t)=0⋅12+∑k=1n(0⋅cos⁡(kt)+2(−1)k+1ksin⁡(kt))P_n(t) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{k=1}^n \left( 0 \cdot \cos(kt) + \frac{2(-1)^{k+1}}{k} \sin(kt) \right) Soit : Pn(t)=2∑k=1n(−1)k+1ksin⁡(kt)P_n(t) = 2 \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} \sin(kt) ■\quad\blacksquare

Question 5. Énoncer le théorème du cours caractérisant PnP_n comme solution d’un problème de distance, puis calculer la distance minimale inf⁡g∈Fn∥f−g∥2\inf_{g \in F_n} \|f - g\|_2. Correction: **

  • Théorème de la projection orthogonale / de la meilleure approximation : Soit FnF_n un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien EE. Pour tout f∈Ef \in E, la projection orthogonale Pn(f)P_n(f) est l’unique élément de FnF_n réalisant la distance minimale à ff, c’est-à-dire : ∀g∈Fn,∥f−Pn(f)∥2≤∥f−g∥2\forall g \in F_n, \quad \|f - P_n(f)\|_2 \le \|f - g\|_2 avec égalité si et seulement si g=Pn(f)g = P_n(f).

  • Calcul de la distance minimale : D’après le théorème de Pythagore appliqué dans l’espace orthogonal (car f−Pn(f)⊥Fnf - P_n(f) \perp F_n et Pn−g∈FnP_n - g \in F_n) : ∥f−g∥22=∥(f−Pn)+(Pn−g)∥22=∥f−Pn∥22+∥Pn−g∥22\|f - g\|_2^2 = \|(f - P_n) + (P_n - g)\|_2^2 = \|f - P_n\|_2^2 + \|P_n - g\|_2^2 Le minimum est donc atteint pour g=Png = P_n et vaut ∥f−Pn∥2\|f - P_n\|_2.

    Utilisons l’égalité de Parseval (ou le théorème de Pythagore généralisé sur la base Bn\mathcal{B}_n) : ∥f−Pn∥22=∥f∥22−∥Pn∥22\|f - P_n\|_2^2 = \|f\|_2^2 - \|P_n\|_2^2 Calculons d’abord ∥f∥22\|f\|_2^2 : ∥f∥22=1π∫−ππt2 dt=1π[t33]−ππ=2π23\|f\|_2^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t^2 \, dt = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3} Calculons ∥Pn∥22\|P_n\|_2^2 grâce à l’orthonormalité de Bn\mathcal{B}_n : ∥Pn∥22=∑k=1nbk2∥e~k∥22=∑k=1n(2(−1)k+1k)2(1)=4∑k=1n1k2\|P_n\|_2^2 = \sum_{k=1}^n b_k^2 \|\tilde{e}_k\|_2^2 = \sum_{k=1}^n \left(\frac{2(-1)^{k+1}}{k}\right)^2 (1) = 4 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} Finalement, la distance recherchée est : d(f,Fn)=2π23−4∑k=1n1k2■d(f, F_n) = \sqrt{\frac{2\pi^2}{3} - 4 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}} \quad\blacksquare

Partie III : Analyse critique et Ouverture

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Question 6 (Regard d’examinateur).

  1. Que se passe-t-il lorsque n→+∞n \to +\infty concernant la distance d(f,Fn)d(f, F_n) ? Justifier en lien avec le théorème de Parseval.
  2. Déduire de cette limite la célèbre somme de la série ∑k=1+∞1k2\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}. Correction: **
  3. La fonction t↦tt \mapsto t est continue par morceaux (ici continue tout court) et 2π2\pi-périodique (au sens de sa prolongation ou sur son domaine via la théorie de Fourier L2L^2). Par le théorème de Parseval : ∑k=0+∞a02+∑k=1+∞(ak2+bk2)=∥f∥22\sum_{k=0}^{+\infty} a_0^2 + \sum_{k=1}^{+\infty} (a_k^2 + b_k^2) = \|f\|_2^2 Ce qui signifie que la norme de ff est la somme des carrés de ses coefficients de Fourier. Par conséquent, lim⁡n→+∞∥f−Pn∥22=0\lim_{n \to +\infty} \|f - P_n\|_2^2 = 0. La distance tend vers 00, ce qui traduit la convergence en moyenne quadratique de la série de Fourier de ff vers ff.
  4. En passant à la limite n→+∞n \to +\infty dans l’expression de la norme trouvée à la question 5 : lim⁡n→+∞(2π23−4∑k=1n1k2)=0\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{2\pi^2}{3} - 4 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \right) = 0 On en déduit immédiatement : ∑k=1+∞1k2=2π23×4=π26\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{2\pi^2}{3 \times 4} = \frac{\pi^2}{6}

Commentaire de l’examinateur : C’est un grand classique des concours PSI. Le pont jeté entre l’algèbre linéaire (projection orthogonale, distance dans un espace euclidien) et l’analyse (séries de Fourier, sommation de séries numériques) est typique des écrits de mathématiques. Une rigueur absolue est attendue sur la manipulation des symboles de sommation et les conditions d’application des théorèmes.