Cours : Réduction, Séries et Algèbre bilinéaire

Fiche de Cours : Réduction, Séries et Algèbre bilinéaire

Niveau: ** Mathématiques MP/PC (Deuxième année) - Filière PC
Matière : Mathématiques

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Module 1 : Réduction des endomorphismes et des matrices

1. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et $f \in \mathcal{L}(E)$.

• Définition : Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $f$ s’il existe un vecteur non nul $x \in E$, appelé vecteur propre associé à $\lambda$, tel que : $f(x) = \lambda x$
• Sous-espace propre : Pour $\lambda \in \text{Spec}(f)$, le sous-espace propre associé est défini par : $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \text{Id}_E) = \{x \in E \mid f(x) = \lambda x\}$
• Propriété fondamentale : La somme des sous-espaces propres est toujours directe. Si $(\lambda_i)_{1 \le i \le p}$ sont des valeurs propres distinctes, alors : $\sum_{i=1}^p E_{\lambda_i}(f) = \bigoplus_{i=1}^p E_{\lambda_i}(f)$

2. Polynôme caractéristique

• Définition : Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, le polynôme caractéristique est défini par : $\chi_A(X) = \det(X I_n - A) = \det(A - X I_n) \cdot (-1)^n$ C’est un polynôme unitaire de degré $n$.
• Propriétés :
  • Les racines de $\chi_A$ dans $\mathbb{K}$ sont exactement les valeurs propres de $A$.
  • Le coefficient constant $\chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$.
  • Le coefficient de $X^{n-1}$ est l’opposé de la trace : $\text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{i,i}$.

3. Diagonalisation et trigonalisation

• Théorème de diagonalisation : $f \in \mathcal{L}(E)$ (ou $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$) est diagonalisable si et seulement si :
  1. Le polynôme caractéristique $\chi_f(X)$ est scindé sur $\mathbb{K}$.
  2. Pour toute valeur propre $\lambda$, la dimension du sous-espace propre est égale à sa multiplicité algébrique $m(\lambda)$ : $\dim(E_\lambda) = m(\lambda)$. Autrement dit : $\sum_{\lambda \in \text{Spec}(f)} \dim(E_\lambda) = \dim(E)$.
• Théorème de trigonalisation : $f$ est trigonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_f(X)$ est scindé sur $\mathbb{K}$.

4. Polynômes d’endomorphismes et de matrices

• Théorème de Cayley-Hamilton : Si $P = \chi_f$ est le polynôme caractéristique de $f$, alors : $\chi_f(f) = 0_{\mathcal{L}(E)} \quad \text{et} \quad \chi_A(A) = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}$
• Polynôme annulateur : Un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ est dit annulateur de $f$ si $P(f) = 0$. L’idéal des polynômes annulateurs de $f$ est engendré par un unique polynôme unitaire, le polynôme minimal $\pi_f$.
• Caractérisation des endomorphismes diagonalisables : Un endomorphisme $f$ est diagonalisable si et seulement s’il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

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Module 2 : Séries numériques et vectorielles

1. Généralités sur les séries

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé $E$ (le cas échéant, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

• Sommes partielles : $S_N = \sum_{n=0}^N u_n$.
• Convergence : La série $\sum u_n$ converge si la suite $(S_N)_{N \in \mathbb{N}}$ converge dans $E$. Sa somme est alors $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} S_N$.
• Condition nécessaire de convergence : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. (Attention : la réciproque est fausse).

2. Séries à termes réels positifs

Soit $\sum u_n$ une série à termes réels positifs ($u_n \ge 0$).

• Théorème de la limite monotone : La série converge si et seulement si la suite des sommes partielles $(S_N)$ est majorée.
• Règles de comparaison :
  • Si $0 \le u_n = O(v_n)$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
  • Si $u_n \sim v_n$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
• Comparaison série-intégrale : Si $f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est positive, continue et décroissante, alors la série $\sum f(n)$ et l’intégrale $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ sont de même nature.
• Règle de d’Alembert : Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} L$.
  • Si $L < 1$, la série converge.
  • Si $L > 1$, la série diverge grossièrement.
  • Si $L = 1$, conclusion impossible.

3. Convergence absolue et semi-convergence

• Définition : Une série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série numérique à termes réels positifs $\sum \|u_n\|$ converge.
• Théorème : Dans un espace vectoriel normé de dimension finie (et plus généralement dans un espace de Banach), toute série absolument convergente est convergente, et l’on a l’inégalité triangulaire généralisée : $\left\| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right\| \le \sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|$

4. Séries particulières

• Séries géométriques : $\sum z^n$ converge si et seulement si $|z| < 1$. Sa somme vaut alors $\frac{1}{1-z}$.
• Séries de Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
• Séries alternées : Si $(a_n)$ est une suite réelle de signe alterné dont la valeur absolue $|a_n|$ décroît vers $0$, alors la série $\sum a_n$ converge (Critère spécial des séries alternées - CSA). De plus, le reste $R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} a_n$ est du signe du premier terme négligé $a_{N+1}$ et majore en valeur absolue ce dernier : $\left| R_N \right| \le |a_{N+1}|$

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Module 3 : Algèbre bilinéaire

1. Formes bilinéaires et formes quadratiques

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

• Forme bilinéaire : Une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{K}$ est une forme bilinéaire si elle est linéaire par rapport à chaque variable.
• Forme bilinéaire symétrique : $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ pour tout $(x, y) \in E^2$.
• Forme quadratique : Une application $q : E \to \mathbb{K}$ est une forme quadratique s’il existe une forme bilinéaire symétrique $\varphi$ telle que $q(x) = \varphi(x, x)$.
  • La forme polaire associée est $\varphi(x, y) = \frac{1}{2} (q(x+y) - q(x) - q(y))$ (si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

2. Matrice d’une forme bilinéaire / quadratique

Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$.

• La matrice de $\varphi$ dans la base $\mathcal{B}$ est $A = (\varphi(e_i, e_j))_{1 \le i,j \le n}$.
• Si $X$ et $Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées de $x$ et $y$ dans $\mathcal{B}$, alors : $\varphi(x, y) = X^T A Y$
• Si $q$ est la forme quadratique associée à $\varphi$, alors $q(x) = X^T A X$, avec $A$ matrice symétrique.
• Changement de base : Si $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$, la nouvelle matrice $A'$ de la forme bilinéaire est : $A' = P^T A P$

3. Orthogonalité et réduction des formes quadratiques

• Vecteurs orthogonaux : $x$ et $y$ sont orthogonaux au sens de $\varphi$ (noté $x \perp_\varphi y$) si $\varphi(x, y) = 0$.
• Orthogonal d’une partie : Pour $F \subset E$, $F^\perp = \{x \in E \mid \forall y \in F, \, \varphi(x, y) = 0\}$.
• Réduction de Gauss : Toute forme quadratique $q$ sur un espace vectoriel réel de dimension finie peut s’écrire comme une combinaison linéaire (à coefficients réels) de carrés de formes linéaires indépendantes : $q(x) = \sum_{i=1}^r \alpha_i (l_i(x))^2$
• Théorème d’inertie de Sylvester : Le nombre de coefficients strictement positifs et le nombre de coefficients strictement négatifs dans une décomposition de Gauss sont des invariants de la forme quadratique $q$. Leur couple $(s, t)$ est la signature de $q$.

4. Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Un espace préhilbertien réel est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ (forme bilinéaire symétrique définie positive).

• Inégalité de Cauchy-Schwarz : $\forall (x, y) \in E^2, \quad |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.
• Procédé d’orthogonalisation de Schmidt : Toute famille libre $(e_1, \dots, e_p)$ d’un espace préhilbertien peut être transformée en une famille orthonormée $(u_1, \dots, u_p)$ engendrant le même sous-espace vectoriel.
• Adjoint d’un endomorphisme : Soit $E$ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$. Il existe un unique endomorphisme, noté $f^*$, tel que : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle f(x), y \rangle = \langle x, f^*(y) \rangle$
• Endomorphismes symétriques : Un endomorphisme $f$ est dit symétrique si $f^* = f$.
  • Théorème spectral : Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée. (De même, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable par une matrice de passage orthogonale : $A = P D P^T$ avec $P^{-1} = P^T$).