📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Critère de stabilité de Routh

Pour un système bouclé dont le dénominateur de la FTBF est le polynôme caractéristique $D(p) = a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \dots + a_1 p + a_0$ (avec $a_n > 0$ ), une condition nécessaire (mais non suffisante si $n > 2$ ) de stabilité est que tous les coefficients $a_i$ soient de même signe et non nuls.

Le tableau de Routh permet de conclure quant au nombre de racines à partie réelle strictement positive.

Démonstration du théorème de l’écart final (Précision)

Soit l’erreur $\varepsilon(t) = e(t) - s(t)$ . En régime permanent, pour un signal d’entrée canonique, on définit la classe du système par le nombre d’intégrateurs purs dans la $\text{FTBO}(p)$ .

Exprimons l’erreur dans le domaine de Laplace : $\varepsilon(p) = E(p) - S(p) = E(p)\left(1 - \frac{\text{FTBO}(p)}{1 + \text{FTBO}(p)}\right) = \frac{E(p)}{1 + \text{FTBO}(p)}$

Par application du théorème de la valeur finale (si les conditions de convergence sont réunies, i.e., pôles de $p\varepsilon(p)$ à partie réelle strictement négative) : $\varepsilon(\limite\text{t}{\infty}) = \lim_{p \to 0} p \cdot \varepsilon(p) = \lim_{p \to 0} \frac{p E(p)}{1 + \text{FTBO}(p)}$

Pour un échelon de consigne ( $e(t) = E_0 \cdot \mathcal{U}(t) \implies E(p) = \frac{E_0}{p}$ ) : $\varepsilon_{\infty} = \lim_{p \to 0} \frac{E_0}{1 + \text{FTBO}(p)} = \frac{E_0}{1 + K_p}$ Où $K_p = \lim_{p \to 0} \text{FTBO}(p)$ est le gain de position.

💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Analyse harmonique (Diagrammes de Bode)

L’analyse fréquentielle repose sur la réponse indicielle ou harmonique. Pour une pulsation $\omega$ , la fonction de transfert s’évalue en $p = j\omega$ .

Gain décibel : $G_{\text{dB}}(\omega) = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)$
Phase : $\varphi(\omega) = \arg(H(j\omega))$

Correction des systèmes asservis

Le choix du correcteur $C(p)$ dépend de l’amélioration souhaitée :

Correcteur Proportionnel ( $C(p) = K$ ) :
- Agit sur le gain. Améliore la précision mais dégrade la marge de phase et donc la stabilité si $K$ est trop grand.
Correcteur Proportionnel Intégrateur (PI : $C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)$ ) :
- Objectif : Annuler l’erreur statique (augmente la classe du système de 1).
- Inconvénient : Apporte un déphasage négatif aux basses et moyennes fréquences, réduisant la marge de phase.
Correcteur Proportionnel Dérivé (PD : $C(p) = K_d (1 + T_d p)$ ) :
- Objectif : Améliorer la stabilité (marge de phase) et la rapidité en anticipant l’évolution du signal.
- Inconvénient : Amplifie le bruit de mesure haute fréquence (nécessite un pôle filtre, i.e., correcteur à action dérivée filtrée).

⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

Oubli de la condition d’unicité du retour unitaire : Attention aux schémas blocs comportant un capteur dans la boucle de retour ( $H_c(p) \neq 1$ ). Il faut impérativement ramener le système sous forme canonique avant d’appliquer les formules du premier ordre ou du second ordre sur la FTBF.
Confusion entre FTBO et FTBF : Le critère du revers (Nyquist) s’applique sur la FTBO pour conclure sur la stabilité de la FTBF. Ne jamais tracer le diagramme de Nyquist de la FTBF pour analyser la stabilité !
Erreur d’unité sur les tracés asymptotiques de Bode : Les pentes des asymptotes doivent être exprimées rigoureusement en $\text{dB}/\text{dec}$ (décibels par décade) et non en $\text{dB}/\text{octave}$ (sauf mention explicite, mais le décade est la norme en PT).
Utilisation abusive du théorème de la valeur finale : Vérifier systématiquement que le système en boucle fermée est stable avant d’appliquer $\lim_{p \to 0} p \varepsilon(p)$ . Appliquer ce théorème sur un système instable conduit à des aberrations mathématiques.