Cours : Espaces préhilbertiens

Espaces préhilbertiens réels et complexes

Professeur de CPGE - MPSI
Rigueur, concision et exigence théorique.

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1. Produit scalaire et espaces préhilbertiens

A. Définitions fondamentales

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

Définition 1 (Forme sesquilinéaire / bilinéaire) Une application $\varphi : E \times E \to \mathbb{K}$ est dite :

1. Sesquilinéaire (si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) si elle est linéaire par rapport à sa seconde variable et antilinéaire par rapport à sa première variable : $\forall (x, y, z) \in E^3, \forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{C}^2, \quad \varphi(\alpha x + \beta y, z) = \bar{\alpha}\varphi(x, z) + \bar{\beta}\varphi(y, z)$ $\quad \varphi(x, \alpha y + \beta z) = \alpha\varphi(x, y) + \beta\varphi(x, z)$
2. Bilinéaire (si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$) si elle est linéaire par rapport à ses deux variables.

Définition 2 (Produit scalaire) On appelle produit scalaire sur $E$ une application, notée $(x \mid y)$ ou $\langle x, y \rangle$, de $E \times E$ dans $\mathbb{K}$ telle que :

1. Hermitienne / Symétrique : $\forall (x, y) \in E^2, \quad (y \mid x) = \overline{(x \mid y)}$. (En particulier, $(x \mid x) \in \mathbb{R}$).
2. Linéaire par rapport à la seconde variable (et donc sesquilinéaire, ou bilinéaire si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$).
3. Positive : $\forall x \in E, \quad (x \mid x) \ge 0$.
4. Définie : $\forall x \in E, \quad (x \mid x) = 0 \iff x = 0_E$.

Définition 3 (Espace préhilbertien) Un couple $(E, (\cdot \mid \cdot))$ formé d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien. Si de plus $E$ est de dimension finie, on parle souvent d’espace euclidien ($\mathbb{K}=\or$) ou hermitien ($\mathbb{K}=\mathbb{C}$).

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2. Norme associée et Inégalités fondamentales

A. Norme associée

Théorème-Définition 1 Soit $(E, (\cdot \mid \cdot))$ un espace préhilbertien. L’application définie pour tout $x \in E$ par : $\|x\| = \sqrt{(x \mid x)}$ est une norme sur $E$, dite norme associée au produit scalaire.

Démonstration (Non-trivialité : Inégalité triangulaire). Repose sur l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Théorème 2 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tout $(x, y) \in E^2$, on a : $|(x \mid y)| \le \|x\| \|y\|$ Cas d’égalité : Il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires (liés).

Théorème 3 (Inégalité triangulaire) Pour tout $(x, y) \in E^2$, on a : $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$

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3. Orthogonalité

A. Définitions et Théorèmes de base

Définition 4 (Orthogonalité) Deux vecteurs $x$ et $y$ d’un espace préhilbertien $E$ sont dits orthogonaux (noté $x \perp y$) si : $(x \mid y) = 0$

Théorème 4 (Identité de Pythagore) Si $x$ et $y$ sont deux vecteurs orthogonaux, alors : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ Par récurrence, si $(x_1, \dots, x_n)$ est une famille de vecteurs deux à deux orthogonaux : $\|\sum_{i=1}^n x_i\|^2 = \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2$

Théorème 5 (Identité du parallélogramme) Pour tous $(x, y) \in E^2$ : $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$

Théorème 6 (Identité de polarisation) Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, pour tous $(x, y) \in E^2$ : $(x \mid y) = \frac{1}{4} \left( \|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 \right)$

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B. Supplémentaire orthogonal

Définition 5 (Orthogonal d’une partie) Soit $A$ une partie non vide d’un espace préhilbertien $E$. On appelle orthogonal de $A$ l’ensemble noté $A^\perp$ défini par : $A^\perp = \{ x \in E \mid \forall a \in A, (x \mid a) = 0 \}$

Proposition 1

1. Pour toute partie $A$, $A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
2. $\{0_E\}^\perp = E$ et $E^\perp = \{0_E\}$.
3. Si $A \subset B$, alors $B^\perp \subset A^\perp$.
4. $A^\perp = (\text{Vect}(A))^\perp$.

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4. Familles orthonormales et Projetés orthogonaux

A. Familles orthonormales

Définition 6 Une famille de vecteurs $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ est dite :

1. Orthogonale si $\forall i \neq j, (e_i \mid e_j) = 0$.
2. Orthonormale (FON) si elle est orthogonale et que $\forall i, \|e_i\| = 1$ (c’est-à-dire $(e_i \mid e_j) = \delta_{ij}$).

Proposition 2 Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Théorème 7 (Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt) Toute famille libre $(x_1, \dots, x_n)$ d’un espace préhilbertien $E$ peut être transformée en une famille orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$ telle que, pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ : $\text{Vect}(x_1, \dots, x_k) = \text{Vect}(e_1, \dots, e_k)$

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B. Projection orthogonale en dimension finie

Théorème 8 (Supplémentaire orthogonal en dimension finie) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. Alors : $E = F \oplus F^\perp$ Conséquence : $\dim(F) + \dim(F^\perp) = \dim(E)$ et $(F^\perp)^\perp = F$.

Définition 7 Soit $E = F \oplus F^\perp$ (avec $\dim(F) < +\infty$). Le projecteur sur $F$ parallèlement à $F^\perp$ est appelé projecteur orthogonal sur $F$, noté $p_F$. Pour tout $x \in E$, $p_F(x)$ est l’unique vecteur de $F$ tel que $x - p_F(x) \in F^\perp$.

Théorème 9 (Caractérisation de la distance / Meilleure approximation) Soit $F$ de dimension finie. Pour tout $x \in E$, le projeté orthogonal $p_F(x)$ est l’unique élément de $F$ réalisant la distance minimale entre $x$ et $F$ : $\|x - p_F(x)\| = \min_{y \in F} \|x - y\|$ Cette valeur minimale est appelée distance de $x$ à $F$ : $d(x, F) = \|x - p_F(x)\|$.

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🛠️ Méthodes

1. Montrer qu’une application est un produit scalaire :

   • Linéarité (ou sesquilinéarité) : souvent par bilinéarité de formes intégrales ou par manipulation algébrique de matrices.
   • Symétrie (ou caractère hermitien) : évident par construction.
   • Positivité : écrire l’expression comme une somme de carrés ou une intégrale d’une fonction positive.
   • Caractère défini : si $(x \mid x) = 0$, montrer que $x = 0$ (souvent par continuité de la fonction si on est dans un espace de fonctions).

2. Calculer une projection orthogonale :

   • Si l’on dispose d’une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$ de $F$ : $p_F(x) = \sum_{i=1}^n (x \mid e_i) e_i$
   • Sinon, trouver une base de $F$, appliquer Gram-Schmidt pour l’orthonormer, puis utiliser la formule ci-dessus.

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⚠️ Pièges classiques à éviter

• Attention au corps de base ($\mathbb{R}$ vs $\mathbb{C}$) : Ne confondez pas symétrie et caractère hermitien. $(y \mid x) = \overline{(x \mid y)}$ en complexe, ce qui implique $(x \mid x) \in \mathbb{R}$ mais $(x \mid y)$ n’est pas nécessairement réel.
• Gram-Schmidt : N’oubliez pas de normaliser les vecteurs ! Le procédé donne d’abord une famille orthogonale, il faut diviser chaque vecteur par sa norme pour obtenir une FON.
• Dimension finie indispensable : Le théorème $E = F \oplus F^\perp$ et l’existence du projeté orthogonal s’effondrent en dimension infinie si $F$ n’est pas fermé (ou de codimension finie). Ne l’appliquez jamais aveuglément dans les espaces de fonctions usuels sans vérifier les hypothèses de topologie.